平面向量重難點解析

1、精選文檔平面對量 重難點解析課文名目 21平面對量的實際背景及基本概念 22平面對量的線性運算 23平面對量的基本定理及坐標(biāo)表示 24平面對量的數(shù)量積 25平面對量應(yīng)用舉例 目標(biāo)：1、理解和把握平面對量有關(guān)的概念；2、嫻熟把握平面對量的幾何運算和坐標(biāo)運算；3、生疏平面對量的平行、垂直關(guān)系和夾角公式的應(yīng)用；4、明確平面對量作為工具在復(fù)數(shù)、解析幾何、實際問題等方面的應(yīng)用；重難點：重點：向量的綜合應(yīng)用。難點：用向量學(xué)問，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)化?！疽c精講】1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向線段表示-(幾何表示法)；用字母、等表示(字母

2、表示法)；平面對量的坐標(biāo)表示（坐標(biāo)表示法）：分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底。任作一個向量，由平面對量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得，叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)， 特殊地，。；若，則，3.零向量、單位向量：長度為0的向量叫零向量，記為； 長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.（注：就是單位向量）4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定與任一向量平行.向量、平行，記作.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.性質(zhì)：是唯一） （其中 ）5.相等向量和垂直向量：相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.垂直向量

3、兩向量的夾角為性質(zhì)： （其中 ）6.向量的加法、減法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。平行四邊形法則： （起點相同的兩向量相加，常要構(gòu)造平行四邊形）三角形法則加法法則的推廣： 即個向量首尾相連成一個封閉圖形，則有向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即： -= + (-)；差向量的意義： = , =, 則=- 平面對量的坐標(biāo)運算：若，則，。向量加法的交換律：+=+；向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)常用結(jié)論：（1）若，則D是AB的中點（2）或G是ABC的重心，則7向量的模：1、定義：向量的大小，記為 | 或 |2、模的求法：若 ，則 |若，

4、則 |3、性質(zhì)：（1）； （實數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化關(guān)系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4） （當(dāng)且僅當(dāng)共線時取“=”）即當(dāng)同向時 ，； 即當(dāng)同反向時 ，（5）平行四邊形四條邊的平方和等于其對角線的平方和，即8實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）|=|；（2）>0時與方向相同；<0時與方向相反；=0時=；（3）運算定律 ()=()，(+)=+，(+)=+交換律：;安排律： ()·=(·)=·();不滿足結(jié)合律：即向量沒有除法運算。如：，都是錯誤的（4）已知兩個非零向量，它們的夾角為，則 =坐標(biāo)運算：，則（5）向量在軸上的投影為：， （為

5、的夾角，為的方向向量）其投影的長為 （為的單位向量）（6）的夾角和的關(guān)系： （1）當(dāng)時，同向；當(dāng)時，反向 （2）為銳角時，則有； 為鈍角時，則有9向量共線定理：向量與非零向量共線（也是平行）的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=。10平面對量基本定理：假如，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2。(1)不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一. 1，2是被，唯一確定的數(shù)量。向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點在原點時

6、，定義向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點不在原點時，向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)11. 向量和的數(shù)量積：·=| |·|cos，其中0，為和的夾角。|cos稱為在的方向上的投影。·的幾何意義是：的長度|在的方向上的投影的乘積，是一個實數(shù)（可正、可負、也可是零），而不是向量。若 =（，）, =（x2，）, 則運算律：a· b=b·a, (a)· b=a·(b)=（a·b）， （a+b）·c=a·c

7、+b·c。和的夾角公式：cos=|2=x2+y2，或|=| a·b | a |·| b |。12.兩個向量平行的充要條件：符號語言：若，則=坐標(biāo)語言為：設(shè)=（x1,y1），=(x2,y2)，則(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實數(shù)是唯一存在的，當(dāng)與同向時，>0；當(dāng)與異向時，<0。|=，的大小由及的大小確定。因此，當(dāng)，確定時，的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中的幾何意義。13.兩個向量垂直的充要條件：符號語言：·=0坐標(biāo)語言：設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2)，則x1x2+y1y2=0【典型例題】例1

8、、如圖，為單位向量，與夾角為1200， 與的夾角為450，|=5，用，表示。解題思路分析：以，為鄰邊，為對角線構(gòu)造平行四邊形把向量在，方向上進行分解，如圖，設(shè)=，=，>0，>0則=+ |=|=1 =|，=| OEC中，E=600，OCE=750，由得： 說明：用若干個向量的線性組合表示一個向量，是向量中的基本而又重要的問題，通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標(biāo)。解題思路分析：用解方程組思想設(shè)D（x，y），則=（x-2，y+1）=（-6，-3），·=0 -6(x-2)-3(y+1

9、)=0，即2x+y-3=0 =(x-3，y-2)， -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 由得： D（1，1），=（-1，2）例3、求與向量=，-1）和=（1，）夾角相等，且模為的向量的坐標(biāo)。 解題思路分析：用解方程組思想法一：設(shè)=（x，y），則·=x-y，·=x+y <，>=<，> 即 又|= x2+y2=2 由得 或（舍）=法二：從分析形的特征著手 |=|=2 ·=0 AOB為等腰直角三角形，如圖 |=，AOC=BOC C為AB中點 C（）說明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。例4、在OA

10、B的邊OA、OB上分別取點M、N，使|=13，|=14，設(shè)線段AN與BM交于點P，記= ，=，用 ，表示向量。解題思路分析： B、P、M共線 記=s 同理，記 = ,不共線 由得解之得： 說明：從點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進而引入?yún)?shù)（如s，t）是常用技巧之一。平面對量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s，t的方程。例5、已知長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點，P為AB上一點（1） 利用向量學(xué)問判定點P在什么位置時，PED=450；（2） 若PED=450，求證：P、D、C、E四點共圓。解題思路分析：利用坐標(biāo)系可以確定點P位置如圖，建立平面直角坐標(biāo)系則C（2，

11、0），D（2，3），E（1，0）設(shè)P（0，y） =（1，3），=（-1，y） ·=3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2 點P為靠近點A的AB三等分處（3） 當(dāng)PED=450時，由（1）知P（0，2） =（2，1），=（-1，2） ·=0 DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四點共圓說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)點的坐標(biāo)；求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；利用向量的運算計算結(jié)果；得到結(jié)論。【考點剖析】考點一：向量的概念、向量的基本定理【內(nèi)容解讀】了解向量的實際背景，把握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的

12、幾何表示，把握平面對量的基本定理。留意對向量概念的理解，向量是可以自由移動的，平移后所得向量與原向量相同；兩個向量無法比較大小，它們的?？杀容^大小。假如和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量有且只有一對實數(shù)1、2，使=1+2. 留意：若和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，【命題規(guī)律】有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中檔類型。例1、（2007上海）直角坐標(biāo)系中，分別是與軸正方向同向的單位向量在直角三角形中，若，則的可能值個數(shù)是（）1 2 3 4解：如圖，將A放在坐標(biāo)原點，則B點坐標(biāo)為(2,1)，C點坐標(biāo)為(3,k)，所以C點在直線x=3上，

13、由圖知，只可能A、B為直角，C不行能為直角所以 k 的可能值個數(shù)是2，選B點評：本題主要考查向量的坐標(biāo)表示，接受數(shù)形結(jié)合法，奇妙求解，體現(xiàn)平面對量中的數(shù)形結(jié)合思想。例2、（2007陜西）如圖，平面內(nèi)有三個向量、,其中與與的夾角為120°，與的夾角為30°,且|1，| ，若+（，R）,則+的值為 .解：過C作與的平行線與它們的延長線相交，可得平行四邊形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四邊形的邊長為2和4，2+4=6點評：本題考查平面對量的基本定理，向量OC用向量OA與向量OB作為基底表示出來后，求相應(yīng)的系數(shù)，也考查了平行四邊形法則。考點二：向

14、量的運算【內(nèi)容解讀】向量的運算要求把握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則、三角形法則進行向量的加減運算；把握實數(shù)與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會推斷兩個向量的平行關(guān)系；把握向量的數(shù)量積的運算，體會平面對量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，把握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面對量積的運算，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用向量積推斷兩個平面對量的垂直關(guān)系?！久}規(guī)律】命題形式主要以選擇、填空題型消滅，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運算，有時也會與其它內(nèi)容相結(jié)合。例3、(2008湖北文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則

15、(a+2b)·c=（ ）A.(15,12)B.0 C.3 D.11解：(a+2b)，(a+2b)·c ，選C點評：本題考查向量與實數(shù)的積，留意積的結(jié)果還是一個向量，向量的加法運算，結(jié)果也是一個向量，還考查了向量的數(shù)量積，結(jié)果是一個數(shù)字。例4、(2008廣東文)已知平面對量，且，則=（ ） A（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）解：由，得m4，所以，（2，4）（6，12）（4，8），故選（C）。點評：兩個向量平行，其實是一個向量是另一個向量的倍，也是共線向量，留意運算的公式，簡潔與向量垂直的坐標(biāo)運算混淆。例5、(2008海南、寧夏

16、文)已知平面對量=（1，3），=（4，2），與垂直，則是（ ）A. 1 B. 1C. 2D. 2解：由于，即，選點評：本題考查簡潔的向量運算及向量垂直的坐標(biāo)運算，留意不要消滅運算出錯，由于這是一道基礎(chǔ)題，要爭取滿分。例6、(2008廣東理)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F. 若, ,則（ ） AB. C. D. 解:,由A、E、F三點共線,知而滿足此條件的選擇支只有B，故選B.點評：用三角形法則或平行四邊形法則進行向量的加減法運算是向量運算的一個難點，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。例7、（2008江蘇）已知向量和的夾角為，則解：=，7點評：向

17、量的模、向量的數(shù)量積的運算是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，難度不大，只要細心，運算不要消滅錯誤即可。考點三：定比分點【內(nèi)容解讀】把握線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式，并能嫻熟應(yīng)用，求點分有向線段所成比時，可借助圖形來掛念理解?！久}規(guī)律】重點考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型消滅，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會與三角函數(shù)，解析幾何一并考查，若消滅在解答題中，難度以中檔題為主，間或也以難度略高的題目。例8、(2008湖南理)設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且則與( )A.反向平行 B.同向平行 C.相互垂直 D.既不平行也不垂直解：由定比分點的向量式得:同理，有：以上三式相加得

18、所以選A.點評：利用定比分點的向量式，及向量的運算，是解決本題的要點.考點四：向量與三角函數(shù)的綜合問題【內(nèi)容解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常消滅的問題，考查了向量的學(xué)問，三角函數(shù)的學(xué)問，達到了高考中試題的掩蓋面的要求。【命題規(guī)律】命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題。例9、（2008深圳福田等）已知向量 ,函數(shù)(1)求的最小正周期; (2)當(dāng)時, 若求的值解：(1) . 所以，T. (2) 由得， 點評：向量與三角函數(shù)的綜合問題是當(dāng)前的一個熱點，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)

19、的條件，并結(jié)合簡潔的向量運算，而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等學(xué)問點.例10、（2007山東文）在中，角的對邊分別為（1）求；（2）若，且，求解：（1）又 解得，是銳角（2）由， ，又點評：本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。例11、（2007湖北）將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）解： 由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對對應(yīng)點，則，代入到已知解析式中可得選 點評：本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本學(xué)問，以平移公式切入，為中檔題。留意不要將向量與對應(yīng)點的挨次搞反，或死記硬背以為是先向右平移個單位，再向下平

20、移2個單位，誤選考點五：平面對量與函數(shù)問題的交匯【內(nèi)容解讀】平面對量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要留意自變量的取值范圍?！久}規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題。例12、（2008廣東六校聯(lián)考）已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，（1）求（2）設(shè)函數(shù)+，求函數(shù)的最值及相應(yīng)的的值。解：（I）由已知條件： ， 得： （2） 由于：，所以：所以，只有當(dāng)： 時， ，或時，點評：本題考查向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)問，經(jīng)過配方后，變成開口向下的二次函數(shù)圖象，要留意sinx的取值范圍，否則簡潔搞錯?？键c六：平面對量在平面幾何中的應(yīng)用OxACBa例13圖yACBaQP【內(nèi)

21、容解讀】向量的坐標(biāo)表示實際上就是向量的代數(shù)表示在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起因此，很多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉(zhuǎn)化為大家生疏的代數(shù)運算的論證也就是把平面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賜予幾何圖形有關(guān)點與平面對量具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。例13、如圖在RtABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以A為中點，問與的夾角取何值時， 的值最大？并求出這個最大值。 解：以直角頂點A為坐標(biāo)原點，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖

22、所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-x，-y），cx-by=a2cos.=- a2+ a2cos.故當(dāng)cos=1，即=0（方向相同）時，的值最大，其最大值為0.點評：本題主要考查向量的概念，運算法則及函數(shù)的有關(guān)學(xué)問，平面對量與幾何問題的融合?？疾橥瑢W(xué)運用向量學(xué)問解決綜合問題的力量。平面對量 全章檢測說明：本試卷分第卷和第卷兩部分.第卷60分，第卷90分，共150分，答題時間120分鐘.第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（每小題5分，共60分，請將所選答案填在括號內(nèi)）1在

23、ABC中，肯定成立的是（ ）AasinA=bsinB BacosA=bcosB CasinB=bsinADacosB=bcosA 2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為（ ） A直角三角形B等腰直角三角形C等邊三角形D等腰三角形3在ABC中，較短的兩邊為,且A=45°,則角C的大小是（ ）A15°B75C120°D60°4在ABC中，已知,則·等于（ ）A2B2C±2D±45設(shè)A是ABC中的最小角，且，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）Aa3Ba1C1a3Da06在ABC中,三邊長AB=7，BC=5，AC=6，則

24、·等于（ ）A19B14C18D197在ABC中，AB是sinAsinB成立的什么條件（ ）A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要 8若ABC的3條邊的長分別為3，4，6，則它的較大的銳角的平分線分三角形所成的兩個三角形的面積比是（ ）A11B12C14D34 9已知向量，若與垂直，則實數(shù)=（ ）A1B1C0D2 10已知向量a=，向量b=，則|2ab|的最大值是（ ）A4B4C2D211已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(ab)垂直的（ ）A充分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件12有一長為1公里的斜坡，它的傾斜角為20&#

25、176;，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要伸長（ ）A1公里Bsin10°公里Ccos10°公里Dcos20°公里第卷（非選擇題，共90分）二、填空題（每小題4分，共16分，答案填在橫線上）13在ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14在ABC中，已知AB=l，C=50°，當(dāng)B= 時，BC的長取得最大值.15向量a、b滿足（ab）·（2a+b）=4，且|a|=2，|b|=4，則a與b夾角的余弦值等于 .16已知ab、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2bc) .三、解答題（本大題共74分，1721題每題12分，22題14分）17設(shè)e1、e2是兩個相互垂直的單位向量，且a=3e1+2e2,b=3e1+4e2,求a&