82單擺受迫振動共振

1、§8.2單擺受迫振動共振、單擺1、定義：在一條不易伸長的，忽略質(zhì)量的細(xì)線下端拴一質(zhì)點，上端固定，構(gòu)成的裝置叫做單擺。2、單擺的振動可看作簡諧運(yùn)動的條件：最大擺角9<1o3、回復(fù)力來源：單擺振動的回復(fù)力是重力的切向分力，不能說成是重力和拉力的合力。汪息: 最高點：向心力為零，回復(fù)力為最大，合外力等于回復(fù)力；最低點：向心力最大，回復(fù)力為零，合外力等于向心力。強(qiáng)調(diào)：單擺的周期與振幅和質(zhì)量無關(guān)；秒擺：周期為2s的單擺.其擺長約為lm。l是等效擺長：擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離。g為等效重力加速度：與單擺所處物理環(huán)境有關(guān)。"不同星球表面，g=GM/r2o單擺處于超重或失重狀態(tài)

2、等效重力加速度分別為g=g°土a,如軌道Vy上運(yùn)行的衛(wèi)星a=g0，完全失重，等效g=0。1不論懸點如何運(yùn)動還是受別的作用力，等效的重力加速度g的取值O總是單擺不振動時，擺線的拉力F與擺球質(zhì)量的比值，即等效圖1g=F/m。擺鐘快慢問題的分析方法（超綱）、在計算擺鐘類的問題時，利用以下方法比單擺的一個重要應(yīng)用就是利用單擺振動的等時性制成擺鐘。較簡單：在一定時間內(nèi)，擺鐘走過的格子數(shù)n與頻率f成正比（n可以是分鐘數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時數(shù)）再由頻率公式可以得到：nf=1g十12二ll擺鐘快慢不同是由擺鐘的周期變化引起的，若擺鐘周期T大于其準(zhǔn)確鐘的周期T。，則為慢鐘；若擺鐘周期T小于其準(zhǔn)確鐘的周

3、期T。，則為快鐘。 由擺鐘的機(jī)械構(gòu)造所決定，無論準(zhǔn)確與否，鐘擺每完成一次全振動，擺鐘所顯示的時間都為一定值，也就是走時準(zhǔn)確的擺鐘的周期To。因鐘面顯示的時間總等于擺動次數(shù)乘以準(zhǔn)確擺鐘的周期To,即t顯=NT0,所以在同一時間t內(nèi)，鐘面指示時間之比等于擺動次數(shù)之比。對于走時不準(zhǔn)確的擺鐘，要計算其全振動的次數(shù)，不能用鐘面上顯示的時間除以其周期，而應(yīng)以準(zhǔn)確時間除以其周期，即N=t/T非。二、簡諧運(yùn)動的能量振動過程是一個動能和勢能不斷轉(zhuǎn)化的過程。在任意時刻動能和勢能之和等于振動物體的總機(jī)械能。簡諧運(yùn)動中機(jī)械能守恒，振動的振幅越大，能量越大。機(jī)械能等于它在平衡位置的最大動能或等于它在最大位移時的勢能。對

4、于給定的振動系統(tǒng)，振動的動能由振動的速度決定，振動的勢能由振動的位移決定，振動的能量就是振動系統(tǒng)在某個狀態(tài)下的動能和勢能的總和。1. 三、阻尼振動、受迫振動和共振阻尼振動和無阻尼振動：振幅越來越小的振動叫做阻尼振動。振幅不變的的振動是等幅振動，也叫做無阻尼振動。受迫振動：物體在外界周期性驅(qū)動力作用下的振動。物體作受迫振動達(dá)到穩(wěn)定后的頻率等于驅(qū)動力的頻率，跟物體的固有頻率無關(guān)。A共振：當(dāng)驅(qū)動力的頻率等于物體的固有頻率時發(fā)生共振，共振時振幅最大。“受迫振動的振幅與驅(qū)動力頻率f的關(guān)系圖：y：例題精析：'f固f例題i:如圖為一單擺及其振動圖象，回答：(1) 單擺的振幅為，頻率為，擺長為，一周期

5、內(nèi)位移x(F回、a、Ep)最大的時刻為.解析：由縱坐標(biāo)的最大位移可直接讀取振幅為3crn.橫坐標(biāo)可直接讀取完成一個全振動即一個完整的正弦曲線所占據(jù)的時間.軸長度就是3周期T=2s,進(jìn)而算出頻率f=1/T=0.5Hz，算出擺長l=gT2/42=1mO從圖中看出縱坐標(biāo)有最大值的時刻為0.5s末和1.5s末.若擺球從E指向G為正方向，a為最大擺角，則圖象中O、A、IB、C點分別對應(yīng)單擺中的點.一周期內(nèi)加速度為正且減小，并與速度同方向的時間范圍是。勢能增加且速度為正的時間范圍是.解析：圖象中。點位移為零，O到A的過程位移為正.且增大.A處最大，歷時1/4周期，顯然擺球是從平衡位置E起振并向G方向運(yùn)動的

6、，所以O(shè)對應(yīng)E,A對應(yīng)G.A到B的過程分析方法相同，因而O、A、B、C對應(yīng)E、G、E、F點.擺動中EF間加速度為正，且靠近平衡位置過程中加速度逐漸減小，所以是從F向E的運(yùn)動過程，在圖象中為C到D的過程，時間范圍是1.52.0s間擺球遠(yuǎn)離平衡位置勢能增加，即從E向兩側(cè)擺動，而速度為正，顯然是從E向G的過程.在圖象中為從O到A,時間范圍是00.5s間.(2) 單擺擺球多次通過同一位置時，下述物理量變化的是()A. 位移；B.速度；C.加速度；D.動量；E.動能；F.擺線張力解析：過同一位置，位移、回復(fù)力和加速度不變；由機(jī)械能守恒知，動能不變，速率也不變，擺線張力mgcosa+mv2/L也不變；由運(yùn)

7、動分析，相鄰兩次過同一點，速度方向改變，從而動量方向也改變，故選B、D.如果有興趣的話，可以分析一下，當(dāng)回復(fù)力由小變大時，上述哪些物理量的數(shù)值是變小的？從(1)、(2)、(3)看出，解決此類問題的關(guān)鍵是把圖象和實際的振動一一對應(yīng)起來.(3) 當(dāng)在懸點正下方O,處有一光滑水平細(xì)釘可擋住擺線，且OE=?OE.則單擺周期為s.比較釘擋繩前后瞬間擺線的張力.解析：放釘后改變了擺長，因此單擺周期應(yīng)分成釘左側(cè)的半個周期，前已求出擺線長為lm,所以T左=1s：釘右側(cè)的半個周期T右=&訊石=0.5s,所以T=T左十T右=1.5s.由受力分析，張力T=mg+mv2/L,因為釘擋繩前后瞬間擺球速度不變，球

8、重力不變，擋后擺線長為擋前的1/4.所以擋后繩張力變大.(4) 若單擺擺球在最大位移處擺線斷了，此后球做什么運(yùn)動？若在擺球過平衡位置時擺線斷了，擺球又做什么運(yùn)動？解析：問題的關(guān)鍵要分析在線斷的時間，擺球所處的運(yùn)動狀態(tài)和受力情況.在最大位移處線斷，此時球速度為零，只受重力作用，所以球做自由落體運(yùn)動.在平衡位置線斷，此時球有最大水平速度，又只受重力，所以做平拋運(yùn)動.例題2:有一個單擺，其擺長l=1.02m,擺球的質(zhì)量m=0.1kg，從和豎直方向成擺角0=40的位置無初速度開始運(yùn)動(如圖所示)，問：(1) 已知振動的次數(shù)n=30次，用了時間t=60.8s,重力加速度g多大？二髯"(2) 擺

9、球的最大回復(fù)力多大？，/(3) 擺球經(jīng)過最低點時速度多大？/(4) 此時懸線拉力為多大？(5) 如果將這個擺改為秒擺，擺長應(yīng)怎樣改變？為什么？、/W(取sin4°=0.0698,cos40=0.9976,u3.14)M【解析】(1)0<5°,單擺做簡諧運(yùn)動，其周期T=t/n=60.8/30s=2027s,根據(jù)T=2jL/g得，g=4X兀X102/2.0272=9.791m/s2°(2) 最大回復(fù)力為F=mgsin4o=0.1X9.791>0.0698N=0.068N單擺振動過程中，重力勢能與動能互相轉(zhuǎn)化，不考慮阻力，機(jī)械能守恒，其總機(jī)械能E等于擺球在最

10、高處的重力勢能E,或在最低處的速度v=j2gL(1cos40)=0.219m/s。由Tmg=mv2/L得懸線拉力為T=mg十mv2/L=0.l>10十0.l02192/1.02=0.52N(3) 秒擺的周期T=2s,設(shè)其擺長為L。，根據(jù)T=2j'L/g得，g不變，則TJL即T：丁。=JLL0B, 故L0=T02L/T2=22*.02/2.0272=0.993m，其擺長要縮短n=LLo=l02m0.993m=0.027m例題3:如圖所示，在光滑導(dǎo)軌上有一個滾輪A,質(zhì)量為2m,軸上系一根長為L的線，下端懸掛一個擺球質(zhì)量為m,設(shè)B擺小球作小幅度振動，求振動周期?！痉治觥繉?m的A球和m

11、的B球組成系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)的重心O點可視為單擺的懸點，利用水平方向動量守恒可求出等效擺長。【解析】A和B兩物體組成的系統(tǒng)由于內(nèi)力的作用，在水平方向上動量守恒，因此A和B速度之比跟質(zhì)量成反比，即VA/vB=mB/mA=1/2.因此A和B運(yùn)動過程中平均速度VA/VB=1/2，亦即位移Sa/Sb=1/2。，因為OAAsOBB(，貝UOB/OA=2/1。對B球來說，其擺長應(yīng)為2/3L,因此B球的周期T=2兀j2L/3g。說明：據(jù)動量守恒條件，2m在A位置時，m在B位置，當(dāng)2m運(yùn)動到A，時，m運(yùn)動到B，。例題4:如圖所示，三根細(xì)線OA,OB,OC結(jié)于。點，A,B端固定在同一水平面上且相距為L,使AO

12、B成一直角三角形，/BAO=300，已知OC繩長也為L,下端C點系一個可視為質(zhì)點的小球，下面說法中正確的是A、當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動時，周期為:EgB.當(dāng)小球在垂直紙面方向做小角度振動時，周期為T=2-"旦2gC.當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動時，周期為T31"2'-2gD.當(dāng)小球在垂直紙面內(nèi)做小角度振動時，周期為解析：當(dāng)小球在紙面內(nèi)做簡諧振動時，是以0點為圓心,OC長L為半徑做變速圓周運(yùn)動，OA和OB繩沒有松弛，其擺長為L,所以周期是T=2兀I-;當(dāng)小球在垂直于紙面的方向上做簡諧振動時，擺球是以O(shè)Cg的延長線與AB交點為圓心做振動，其等效的擺長為L十Lsin600

13、/2=L十煎L/4，其周期為=2兀43L4g故選A.拓展:若將上題中的小球改為裝滿沙子的漏斗，在漏斗擺動的過程中，讓沙子勻速的從漏斗底部漏出，則單擺的周期如何變化？（因沙子遂漸漏出，其重心的位置先下移后上升，等效擺長先增加后減小，所以周期先變長后減?。?。例題5:在圖中的幾個相同的單擺在不同的條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，判斷正確的是（）A、T1>T2>T3>T4；B、VT2=T3<T4C、T1>T2=T3>T4、；、D、T1VT2vT3vT4【解析】單擺的周期與重力加速度有關(guān).這是因為是重力的分力提供回復(fù)力.當(dāng)單擺處于（1）圖所示的條件下，當(dāng)擺球偏離平衡位置后

14、，是重力平行斜面的分量（mgsin。）沿切向分量提供回復(fù)力，回復(fù)力相對豎直放置的單擺是減小的，則運(yùn)動中的加速度減小，回到平衡位置的時間變長，周期T1>T3.對于（2）圖所示的條件，帶正電的擺球在振動過程中要受到大花板上帶正電小球的斥力，但是兩球間的斥力與運(yùn)動的方向總是垂直，不影響回復(fù)力，故單擺的周期不變，T2=T3.在（4）圖所示的條件下，單擺與升降機(jī)一起作加速上升的運(yùn)動，也就是擺球在該升降機(jī)中是超重的，相當(dāng)于擺球的重力增大，沿擺動的切向分量也增大，也就是回復(fù)力在增大，擺球回到相對平衡的位置時間變短，故周期變小，T4<T3.綜上所述，只有C選項正確.點評：對于單擺的周期公式，在擺長

15、不變的條件下，能影響單擺振動的周期的因素就是運(yùn)動過程中的回復(fù)力發(fā)生的變化，回復(fù)力增大，周期變小，回復(fù)力變小，周期變大.這是判斷在擺長不變時單擺周期變化的唯一例題6:有一擺鐘的擺長為ll時，在某一標(biāo)準(zhǔn)時間內(nèi)快amino若擺長為版時，在同一標(biāo)準(zhǔn)時間內(nèi)慢bmin。,求為使其準(zhǔn)確，擺長應(yīng)為多長？（可把鐘擺視為擺角很小的單擺）。t60a=LTT2【解析】設(shè)該標(biāo)準(zhǔn)時間為ts,準(zhǔn)確擺鐘擺長為lm,走時快的鐘周期為Tis，走慢時的周期為T2S,準(zhǔn)確的鐘周期為T3。不管走時準(zhǔn)確與否，鐘擺每完成一次全振動，鐘面上顯示時間都是Tso（法一）由各擺鐘在ts內(nèi)鐘面上顯示的時間求解,對快鐘：t+60a=T;對慢鐘:Ti聯(lián)

16、立解，可得b=V*邪空aT/Ti-1§口(a+bfL1L2取后可彳苛L=2a.L1b“L2（法二）由各擺鐘在ts內(nèi)的振動次數(shù)關(guān)系求解：設(shè)快鐘的ts內(nèi)全振動次數(shù)為Q,慢鐘為8,次，慢鐘比準(zhǔn)確的鐘少振動60b/T次，故：對快鐘：nl=t/T1=n+60a/T=t/T+60a/T對慢鐘：n2=t/T2=n60b/T=t/T60b/T準(zhǔn)確的鐘為n。顯然，快鐘比準(zhǔn)確的鐘多振動了60a/T(a+bfL1L2聯(lián)解式，并利用單擺周期公式T=2兀jL/g同樣可得L=_2a,L1b.L2點竅：對走時不準(zhǔn)的擺鐘問題，解題時應(yīng)抓?。河捎跀[鐘的機(jī)械構(gòu)造所決定，鐘擺每Q完成一次全振動，擺鐘所顯示的時間為一定值，

17、也就是走時準(zhǔn)確的擺鐘的周期To卜寸/例題7:(1998年全國)圖中兩單擺擺長相同，平衡時兩擺球剛好觸.現(xiàn)將擺球A在兩擺匚瘋"線所在平面向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩球分開各自做簡諧運(yùn)動.以mA、mB分別表示擺球A、B的質(zhì)量，貝U().習(xí)|.A.如果mA>mB,下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側(cè)左|右如果mAvmB,下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側(cè)11無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側(cè)f無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側(cè)解析：由于兩球線長相等，所以兩球做單擺運(yùn)動的周期必然相等.兩球相碰后有這幾種可能：碰后兩球速度方向相反，這樣兩球

18、各自到達(dá)最高點再返回到平衡位置所用的時間相等，故兩球只能在平衡位置相遇；碰后兩球向同一方向運(yùn)動，則每個球都先到達(dá)最大位移處然后返回平衡位置，所用的時間也都是半個周期，兩球仍只能在平衡位置相遇：碰后一球靜止，而另一球運(yùn)動，則該球先到最大位移又返回到平衡位置，所用時間還是半個周期，在平衡位置相遇.因此，不管mA>mB,還是mAvmB還是mA=mB,無論擺球質(zhì)量之比為多少，下一次碰撞都只能發(fā)生在平衡位置，也就是說不可能發(fā)生在平衡位置的右側(cè)或左側(cè)，所以選項C、D正確.拓展:兩球的碰撞是否是彈性碰撞？例題8:如圖所示，兩個完全相同的彈性小球1,2,分別掛在長L和L/4的細(xì)線上，重心在同一水平面上且

19、小球恰好互相接觸，把第一個小球向右拉開一個不大的距離后由靜止釋放，經(jīng)過多長時間兩球發(fā)生第10次碰撞？解析：因?qū)⒌?個小球拉開一個不大的距離，故擺動過程應(yīng)符合單擺的周期公式有T2=2二3系統(tǒng)振動周期為TW，在同一個T內(nèi)共發(fā)生兩次碰撞，球1從最大00位移處由靜止釋放后.經(jīng)5T=15冗2L發(fā)生10次碰撞，且第10次碰后球1又?jǐn)[支最大位移例題9:一單擺的擺長為L,擺球的質(zhì)量為m,原來靜止，在一個水平?jīng)_量I作用下開始擺動.此后，每當(dāng)擺球經(jīng)過平衡位置時，便給它一個與其速度方向一致的沖量I,求擺球經(jīng)過多長時間后其擺線與豎直方向間的夾角可以達(dá)到心(av°5不計阻力，所施沖量時間極短)解析：設(shè)擺球經(jīng)過

20、平衡位置的次數(shù)為n,則擺球達(dá)最大偏角a時需用時間t=(nl)T十T24?mv2=mgl(1cos由動量定理和機(jī)械能守恒定律得:nl=mv單擺周期T=2二，1聯(lián)立一式得：t=.21-cos、：例題10:如圖所示，AB為半徑點與圓弧導(dǎo)軌相切，BC離地高度kg的小球置于B點，現(xiàn)給小球B時與m2發(fā)生彈性正碰，g取10m/s2,求:(1)兩球落地的時間差A(yù)tR=7.50m的光滑的圓弧形導(dǎo)軌，BC為長s=0.90m的光滑水平導(dǎo)軌，在Bh=1.80m，一質(zhì)量m=0.10kg的小球置于邊緣C點，另一質(zhì)量m?=0.20m1一個瞬時沖量使它獲得大小為0.90m/s的水平向右速度，當(dāng)m1運(yùn)動到(2)兩球落地點之間的

21、距離s.解析:(1)mi與m2發(fā)生彈性正碰，則設(shè)碰后mi和m?速度分別為v；和v；,有mlvm1v1m2v2/21/21/2,一mv°=mvi+m2v2得v1=0.3m/s,v2=0.6m/s22可見m1以0.3m/s速度反彈，從B到C,t=s/v1/=3s,m2以0.6m/s速度沖上圓弧軌道，可證明m2運(yùn)動可近似為簡諧運(yùn)動，在圓弧上運(yùn)動時間為上=兀此=2.72s,再從B到C,t2=s/v2/=1.5s則t=t2+T/2一E1.22s.2.g(2)利用平拋運(yùn)動知識不難求得s=0.18m.例題11:如圖所示，a、b、Co質(zhì)量相等的三個彈性小球(可視為質(zhì)點)，a、b分別懸掛在L1=1.0

22、m,L2=0.25m的輕質(zhì)細(xì)線上，它們剛好與光滑水平面接觸而不互相擠壓，ab相距10cm。若c從a和b的連線中點處以v°=5cm/s的速度向右運(yùn)動，則c將與b和a反復(fù)碰撞而往復(fù)運(yùn)動。已知碰撞前后小球c均沿同一直線運(yùn)動，碰撞時間極短，且碰撞過程中沒有機(jī)械能損失，碰撞后a和b的擺動均可視為簡諧振動。以c球開始運(yùn)動作為時間零點，以向右為正方向，試在圖中畫也在l0s內(nèi)C、b兩球運(yùn)動的位移一時間圖像，兩圖像均以各自的初位置為坐標(biāo)原點。(運(yùn)算中可認(rèn)為、10【答案】如圖運(yùn)動員登上一無名高峰，但不知此峰的高度，他們想迅速估測出高峰的海拔高度，但是他們只帶了一些輕質(zhì)繩子、小刀、小鋼卷尺、可當(dāng)作秒表用的

23、手表和一些食品，附近還有石子、樹木等，其中一個人根據(jù)物理知識很快就測出了海拔高度，請寫出測量方法，需記錄的數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出計算高峰的海拔高度的計算式.解析:用細(xì)線和小石塊做一個單擺，量出擺線長L，并測出單擺周期T1.設(shè)小石塊重心到細(xì)線與小石塊的連接處的距離為d,則工=2兀工，改變擺線長為L2,測出周期T2,則T2=2琳上M，可得當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹?gg/g22T2-T212«(L1f)口土/Mm】曰R|9(12一2),又由mg=G2，彳苛h=JRRh2二.L2-L例題13:在長方形桌面上放有：秒表、細(xì)繩、鐵架臺、天平、彈簧秤、鉤碼，怎樣從中選取器材可較為準(zhǔn)確地測出桌面面積S?并寫出面積表達(dá)

24、式.【解析】用細(xì)繩量桌面長，并用此繩(包括到鉤碼重心)、鉤碼、鐵架臺做成單擺，由秒表測出其振動周222期；同理量桌面寬，做單擺，測出周期T2.答案：S=g12416二鞏固練習(xí):1.（07黃岡月考）將一測力傳感器連接到計算機(jī)上就可以測量快速變化的力，如圖所示，（甲）圖中O點為單擺的懸點，現(xiàn)將小球（可視為質(zhì)點）拉到A點，此時細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，則擺球在豎宜平面內(nèi)的ABC之間來回擺動，其中B點為運(yùn)動中最低位置，/AOB=/COB=籃a小于10°且是未知量.圖（乙）表示由計算機(jī)得到細(xì)線對擺球的拉力大小F隨時間變化的曲線，且圖中t=0時刻為擺球從A點開始運(yùn)動的時刻，根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中信息（g取10m/s2）求:單擺的周期和擺長；（2）擺球的質(zhì)量；（3）擺動過程中的最大速度答案:(1)T=0.4兀sL=0.4m(2)0.05kg(3)0.283m/s2.有一秒擺，懸點為O,在。點正下方O,處有一釘子，如圖甲所示，擺從平衡位置向左擺時擺線碰到釘子擺長改變，從平衡位置向右擺時又變?yōu)樵瓟[的長度，其振動圖象如圖乙所示（g=輸,則（A.此擺的周期為2sB.懸點離釘子的距離為0.75mC.碰到釘子瞬間，擺球的動量大小不變D.碰釘子后，擺球的角速度增大)答案BCD3.將一單擺向左拉至水平標(biāo)志線上，從靜止釋放，當(dāng)擺球運(yùn)動到最低點時，擺線碰到障礙物，擺球