單質(zhì)點體系地震作用的處理方法

1、單質(zhì)點體系地震作用的處理方法黃宇 (51116),楊星蕊 (51134),高霰 (52569),馮永艷 (51159)在討論這個題目之前， 首先我們要明確在我們的計算中， 什么是單質(zhì)點體系， 哪些結(jié)構(gòu)可以視作單質(zhì)點體系。根據(jù)我們所學(xué)的知識，地震作用對結(jié)構(gòu)物產(chǎn)生的影響屬于結(jié)構(gòu)動力學(xué)部分分析內(nèi)容。而結(jié)構(gòu)動力分析地基本特征是需要考慮慣性力的作用。所以體系質(zhì)量的分布及其運動方向（即位置變化特征）是決定結(jié)構(gòu)動力特征的關(guān)鍵因素之一。實際結(jié)構(gòu)都是由變形體構(gòu)成的，而且質(zhì)量是連續(xù)分布的。所以，確定振動過程中全部質(zhì)量位置的獨立幾何參數(shù)就需要無限多個，屬于無限自由度的體系。因此，在實際計算時，常常是將無限自由度的振

2、動問題近似的轉(zhuǎn)化為有限自由度的方法。而當(dāng)剛性質(zhì)體的幾何尺寸較小時，又可以忽略因轉(zhuǎn)動引起的慣性力矩，即其視為一個質(zhì)點。實際工程中，由于橫梁的剛度遠(yuǎn)大于柱子的剛度，分析時，可將橫梁視為無限剛性，質(zhì)量分別集中到兩端。因此常將如圖所示的排架視為單質(zhì)點體系。根據(jù)動靜法列靜力平衡方程，質(zhì)體運動微分方程為：mxkxcxFp t地震波是一種彈性波， 它包括體波和面波， 體波分為縱波和橫波， 面波分為瑞雷波和洛夫波。地震波傳播速度以縱波最快，橫波次之，面波最慢?？v波使工程結(jié)構(gòu)產(chǎn)生上下顛簸，橫波使工程結(jié)構(gòu)產(chǎn)生水平搖晃，當(dāng)體波和面波同時到達(dá)時振動最為劇烈。盡管地震運動是三維運動，但是建筑結(jié)構(gòu)通常具備一定的彈性。當(dāng)其

3、處于彈性狀態(tài)時，可將三維地面運動對結(jié)構(gòu)的影響分解為三個一維地面運動對結(jié)構(gòu)的影響之和。 地震水平地面運動作用為例進(jìn)行討論。當(dāng)單質(zhì)點體系受到地震水平地面運動作用時， 將產(chǎn)生相對于地面的水平運動。 質(zhì)體受到三個力作用：一：慣性力：FIm( xg x) ，其中 xa 為地面加速度，x 為質(zhì)體相對的加速度；二：阻尼力：FDcx ；三：彈性恢復(fù)力：FSkx 。三力平衡，對應(yīng)的方程式為：mx cx kx mxg方程表示，當(dāng)結(jié)構(gòu)遇到地震時，相當(dāng)于將等效外力F= MXa 施加于質(zhì)量自由度方向上，體系將在動力作用（即地震作用）下產(chǎn)生振動，此時情況為強(qiáng)迫振動即受迫振動，支承處運動對于體系的動力作用就相當(dāng)于在質(zhì)量上施

4、加一動力荷載。下面開始求解。.y 2y2 yx g1t .e( t)y t0 x asin ( t )d注： d1 -2因為很小，所以我們?nèi)。一般情況下，結(jié)構(gòu)原始處于靜止?fàn)顟B(tài)， 所以以上即可作為結(jié)構(gòu)在地震作用下的運動方程。由于 Xg ( t) 不能表示為時間的確定性函數(shù)， 而只能用概率統(tǒng)計的方法尋求其統(tǒng)計規(guī)律，所以，我們通常的實用方法是地震反應(yīng)譜法。如圖的水塔， 由于質(zhì)量集中在一個確定的位置，結(jié)構(gòu)可以簡化為單質(zhì)點體系 （如圖所示）對其進(jìn)行地震反映分析。盡管地震的地面運動是三維運動，但因此結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)，可將三維地面運動對結(jié)構(gòu)的影響分解為三個一維地面運動隊結(jié)構(gòu)的影響之和。 故以下只討論單向水

5、平地震對單質(zhì)點體系的影響。單質(zhì)點體系在地震水平地面運動作用下，將產(chǎn)生相對于地面的水平運動，如圖所示， 此時質(zhì)點上作用有三種力：式單質(zhì)點系在單向地面水平運動下的運動方程，在數(shù)學(xué)上為二階線性微分方程。在另初始條件（初位移 x (0 ) = 0 , 初速度為 0） 下，方程的解為1t .( t)x td0 x aesin ( t)d該式實際上是用積分形式表達(dá)的單質(zhì)點體系地震位移反映。其中：為無阻尼體系自由振動圓頻率； 為阻尼比。 一般工程結(jié)構(gòu)值較小，在 0.010.1 之間； 為有阻尼時體系自由振動圓頻率。 一般情況下， 若對式關(guān)于時間微分一次和二次，則可得體系地震速度反應(yīng)和地震加速度，注意到一般值

6、很小，則兩式可近似簡化為.t .e( t)x (t )0 x acos (t)d.t .(t)x g(t )x (t)d0 x aesin (t)d對于工程設(shè)計來說，最有用的是結(jié)構(gòu)地震時程反應(yīng)（內(nèi)力、變形等）的最大值。由數(shù)學(xué)原理知，當(dāng)結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)取最大值時, 結(jié)構(gòu)速度反應(yīng)為0 。對比上面的表達(dá)式得。xgx2 X。m xg x m a x k X m a x。上式左端為質(zhì)點的最大慣性力，將其定義為地震作用，即F= m xg x max則式 F= k X max 成為一靜力方程。按靜力分析方法就可得到結(jié)構(gòu)的最大地震位移及相應(yīng)的內(nèi)力反應(yīng)。為計算地震作用，定義如下地震加速度反應(yīng)譜Sa= xgx max

7、因地震反應(yīng)譜可預(yù)先計算得到，若以確定地震反應(yīng)譜，則單質(zhì)點體系的地震作用可根據(jù)其子鎮(zhèn)周期對應(yīng)的反應(yīng)譜值十分簡便地按F=mSa(T) 計算得到。又因地震反應(yīng)譜與地面運動幅值和頻譜有關(guān)，為分別考慮他們的影響，引進(jìn)兩個參數(shù).xg max地震系數(shù) k=動力系數(shù)Sa(T)(T)g.xg max地震反應(yīng)譜即可表達(dá)為：Sa（ T） =kg( T)1. 地震系數(shù)的取值可與地震烈度設(shè)防標(biāo)準(zhǔn)相聯(lián)系。設(shè)防烈度一般定義為結(jié)構(gòu)設(shè)計基準(zhǔn)內(nèi)超越概率為 10的烈度水平， 各地的設(shè)防烈度即可取為當(dāng)?shù)氐幕玖叶?。?dāng)結(jié)構(gòu)設(shè)計基準(zhǔn)期為50 年時，小震烈度比中震烈度約小 1.5度，大烈度比中烈度約大1 度（當(dāng)基本烈度為 9度時不到1 度

8、）。2. 動力系數(shù)的取值與結(jié)構(gòu)的阻尼有關(guān)，其圖如下， 我國建筑物和構(gòu)筑物抗震設(shè)計規(guī)范均取T=0 時結(jié)構(gòu)剛度無限大，結(jié)構(gòu)絕對加速度反應(yīng)與地面運動加速度完全相同，故=1 ；T=0T 時，一般為直線b ;(T )TgTT T 時，有max對于參數(shù) b,一般取值為 0.651.0 之間。最后得地震作用的計算公式F = ( mg)k( T ) = G( T )G- 單質(zhì)點體系質(zhì)量(T ) -地震影響系數(shù)，其變化規(guī)律同動力系數(shù)這就是地震反應(yīng)譜法的全過程。下面給出反應(yīng)譜理論一種直接算法的推導(dǎo)：空間結(jié)構(gòu)在X 方向水平地面加速度作用下的動力學(xué)方程為：M DC DK DM E x xg其中M、C、 K 分別是質(zhì)量

9、矩陣、 阻尼矩陣和剛度矩陣；D 是結(jié)構(gòu)位移向量； E x是列向量，對應(yīng)結(jié)構(gòu)X 方向位移的向量元素為1, 其余向量元素為0。向量元素1和0分別表示質(zhì)量矩陣中相應(yīng)的質(zhì)量元素對于X 方向地面加速度 xg 產(chǎn)生或不產(chǎn)生慣性力。求解結(jié)構(gòu)特征值問題的方程：K, d2 M ,d可以得到結(jié)構(gòu)的n 階自振頻率j j1,2,n 及 n 階振型 d j j 1,2,n 。將各dj 排列成 nn的振型矩陣 d ，然后用d T 左乘式，得到：*TMU CU KUd M E x xg其中，M*d T M,d ， C *d T C,d* TKdK,d ， Dd U由于， d 關(guān)于 M 、 K 的正交性，同時在工程上通常假定

10、d 關(guān)于阻尼矩陣C 也具有正交性，所以M*、C*、 K *都是對角矩陣。若設(shè) c j *2 j j m j *，這樣式可以表示為在 n 階振型向量的正交空間下的n 個獨立的單變量微分方程問題如下：mj * u jc j * u jk j *d Tj M , E X xg ( j1,2 , n)或 u j2jj u j2j u jtj xg ( j1,2, n)式中， u j是位移向量D 在由振型向量定義的正交空間內(nèi)所表示的廣義位移向量U的第 j 個元素，2*tj 定義為 X 方向地面振動時，結(jié)構(gòu)計入扭轉(zhuǎn)的第jjk j/ m j。這里將階振型參與系數(shù)，表示為：T*TTtjd j M ,E X / mjd j M , E X/ d j M d jnnX ji M i/ X ji2Yji2ri 2ji2 M ii 1i 1比較式與式，根據(jù)單質(zhì)點體系的計算方法，得到廣義位移uj 的最大值：ujtjj g /j2，于是，對應(yīng)于結(jié)構(gòu)