n階行列式的計(jì)算方法

1、n階行列式的計(jì)算方法1.利用對(duì)角線(xiàn)法則“對(duì)角線(xiàn)法則”：項(xiàng)，三階行列式（1）二、三階行列式適用“對(duì)角線(xiàn)法則”；（2）二階行列式每項(xiàng)含2每項(xiàng)含3項(xiàng)，每項(xiàng)均為不同行、不同列的元素的乘積；（3）平行于主對(duì)角線(xiàn)的項(xiàng)為正號(hào)，平行于副對(duì)角線(xiàn)的項(xiàng)為負(fù)號(hào)。計(jì)算二階行列式解:計(jì)算三階行列式解:2.利用n1204-380-12=1(-X(-3)x03)X2+2X2X4X0+01X8x(-1)1)=-14階行歹0式的定義a11a12a1nn階行列式D其中TP2?項(xiàng)。a21a-n1a22an2a2n?annPn）,求和式中共有(P1n!a1P2?Pn)a2P?anp顯然有上三角形行列式卜三角形行列式a11a11a21a

2、12a22a22a1n?a222annann=a11a22annaa?anln2nn入2對(duì)角陣D=Il入in入n入n(n-1)入=(-1)21另外D=入n例3計(jì)算行列式cn=010200?00000n解cn中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t（n-1n2-1aa?aa=n!.1n-12n-2n-11nn(n-1)(n-2)等于nt2(n-1)(n-2)n!2cn=n)(-1)3.利用行列式的性質(zhì)計(jì)算性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=D注由性質(zhì)1知道，行列式中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質(zhì)，它的列也同樣具有。性質(zhì)2交換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)推論若行列式中

3、有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式為零。性質(zhì)3aa?aaa?a11121n11121n?=?aakai1kai2kainki1i2ain?用數(shù)k乘行列式的某一行（列）,等于用數(shù)k乘此行列式，即=kDoaan1n2annaan1n2ann第i行（列）乘以k，記為rixk（或Cixk）。的外面。推論1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符推論2行列式中若有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。性質(zhì)4若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如，性質(zhì)5例4計(jì)算解Dna1112?1n?.?b+cb+c?b+cD=i1i1i2i2inin0?aaan1n2?nnaa?aa?1112

4、an1112a1n?bb?cci1i2bin+i1i2Gn?aaaan1n2annn1n2annaaa則（列）的所有元素都乘以數(shù)行列式不變。將行列式的某一行位置的元素上，r+(r+?12X+(=x+(n-1)ax+(n-例5一個(gè)n階行列式n-1)1)x-aa(Dn=aijx-x-n-1a)I的素滿(mǎn)足=D1+D>ok后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)aj=-aji,i,j=1,2,?,n,則稱(chēng)Dn為反對(duì)稱(chēng)行列式，證明：奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)行列式為零證明：由aij=-aji知aii=-an,即aii=0,i=1,2,?,n故行列式Dn可表示為Dh=由行列式的性質(zhì)D=Vaa?01213ana?-a12-a0-a2

5、3a2/132303n?-a-a-a23?1nnn00-?-a2a3a1na-a?-12023a2naa?-13230a3n?aaa1n2n3n?0aa01213-aa2023-1)-na3a230?-a3-a-a=(12nnna3na1na2nn(-1)Dh當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),得Dh=-Dh因而得Dh4.利用行歹U式按行（列）展開(kāi)aA+aAi1j1i2+?+a例6計(jì)算D=j2injn0ii豐j1-5-33120-1o31-12413-j=1,2,?,n)16(-1)3+221271-1-43160011011124-320052+(-1)(-1)21-12205-71701=(-1)555. 利用

6、化上三角形法若能把一個(gè)行列式經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積。因此化三角形是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法。一般的數(shù)字元素的行列式化為上三角形行列式的步驟:（1）觀(guān)察元素aii,若不為1通過(guò)變換化為1；（這可以通過(guò)對(duì)調(diào)兩行或兩列實(shí)現(xiàn)，有時(shí)1也可以把第一行或第一列乘_實(shí)現(xiàn)，但要避免元素變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)，否則將給后面的計(jì)算增加a11困難。）（2）對(duì)第一行分別乘的：第一a21,-a31,?，-am加到第2,3,?n行對(duì)應(yīng)元素上去；（目列aii以下的元素全部化為零）（3）用類(lèi)似的方法把主對(duì)角線(xiàn)元素a21,a31,?,am以下的元素全部化為零。=1,2,這樣行列式就化為上三角形行列式了，在上述變換過(guò)程中，主對(duì)角線(xiàn)元素aii,（i不能為零，若出現(xiàn)零，可通過(guò)行（列）對(duì)調(diào)使得主對(duì)角線(xiàn)上元素不為零。?n)計(jì)算3-1-53-31-o-1-53010-5502-110111016-10=50-(-5)1102300-23021-911011102-111-3-531-533=0111=0111(-5)0(-5)00-230-230-300-100