《二次根式》知識點總結(jié)

1、知識點一：二次根式的概念【知識要點】二次根式的定義：形如血0乏。）的式子叫二次根式，其中&叫被開方數(shù)，只有當(dāng)就是一個非負(fù)數(shù)時，石才有意義.【例1】下列各式1）&,2）廠5,3）【典型例題】Jx22,4)西,5)寸(1)2,6)>/r,7)Ja22a1,其中是二次根式的是（填序號）舉一反三:1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、4aB、TTOC、Ja1D、&212、在右、JC、J1x2、扼中是二次根式的個數(shù)有個1.、.一【例2】若式子=有意義，則x的取值范圍是.x3舉一反三：1、使代數(shù)式蘭m有意義的x的取值范圍是（）A、x>3B、x>3C、x>

2、4D、x>3且x乒42、使代數(shù)式Jx22x1有意義的x的取值范圍是【例3】若v=-X5+瑚5x+2009，則x+y=舉一反三：4，、21、若vxlJ1x(xy)，則xy的值為()A.-1B.1C.2D.32、若x、y都是實數(shù)，且y=后萬4,求xy的值3、當(dāng)a取什么值時，代數(shù)式V2a11取值最小,并求出這個最小值。知識點二：二次根式的性質(zhì)【知識要點】1.非負(fù)性：v'a(a0)是一個非負(fù)數(shù).注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運算中經(jīng)常用到.2. (a)2aa0).注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式：a(.a)2(a0)3

3、. JO2|a|a(a0)注意：(1)字母不一定是正數(shù).1 1a(a0)(2) 能開得盡方的因式移到根號外時，必須用它的算術(shù)平方根代替.(3) 可移到根號內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號留在根號外.公式va2|a|°)與(石)2aa0)的區(qū)別與聯(lián)系a(a0)(1) 抒表示求一個數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實數(shù).(2) (局表示一個數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù).(3) va2和(石)2的運算結(jié)果都是非負(fù)的.【典型例題】【例4】若°，則abc舉一反三:1、若vm3(n1)20,2、已知x,y為實數(shù),B.-3Jmn的值為_23y20,貝UxC.

4、1D.-1y的值為（3、已知直角三角形兩邊x、y的長滿足|x24|+(y25y6=0,則第三邊長為ab1與&2b4互為相反數(shù)，貝ua2005bIM京期噩溺憧H危（公式（4a）2a(a0）的運用）【例5】化簡：a1（Ja3）2的結(jié)果為（A、42aC、2a4舉一反三:1、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式:x23=x42；m4mx49,x22.2xa(a0)a(a0）的應(yīng)用）【例6】已知x2，則化簡Jx24x4的結(jié)果是B、C、xD、舉一反三:根式,（3）2的值是（）A.-3B.3或-3C.32、已知2a<0，那么I*a2a可化簡為（）A.3a3、若2pap3，貝U2a2Ja32等于()A.52aB

5、.12aC.2a5D.2a14、若a-3v0,則化簡展6a94a的結(jié)果是()(A)1(B)1(C)2a7(D)72a5、化簡J4x24x1J232得()(A)2(B)4x4(C)-2(D)4x4,a22a1一r2-6、當(dāng)avl且a莉時，化簡aa=.7、已知a0,化簡求值：J。(a92/&ma-b+b)2的結(jié)果【例7】如果表示a,b兩個實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡等于()*AbaoA.-2bB.2bC.-2aD.2aI,aH1012舉一反三：實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：a1J(a2)2.【例8】化簡1xJx28x16的結(jié)果是2x-5，則x的取值范圍是()(A)x為任意

6、實數(shù)(B)1<x<4(C)x>1(D)x<1舉一反三：若代數(shù)式V(2a)2J(a4)2的值是常數(shù)2,則a的取值范圍是()A.a>4b.a<2c.2<a<4d.a2或a4【例9】如果aJa22a11,那么a的取值范圍是()A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a<1舉一反三：1、如果aJa26a93成立，那么實數(shù)a的取值范圍是()A.a0B.a3;C.a3;D.a32、若(x3)2x30,則x的取值范圍是()(A)x3(B)x3(C)x3(D)x3【例10】(A)化簡二次根式a'.a2(B)aJ2a的結(jié)果是()2(C)、a21(D

7、).a21、把二次根式aj-化簡，正確的結(jié)果是()-aA./aB.?aC.-：aD.:a2、把根號外的因式移到根號內(nèi)：當(dāng)b>0時，v'x=；(a1)J一=x1a知識點二：最簡二次根式和同類二次根式【知識要點】1、最簡二次根式：(1)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號.【例11】在根式1)Ja2b2;2)£3)Jx2xy;4)j27abc，最簡二次根式是()A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)解題思路：掌握最簡二次根式的條件。舉一反三：1、*應(yīng),V30,)21(40b2，近4,Vb2)中的最簡二次

8、根式是。22、下列根式中，不是最簡二次根式的是()A.B.43C.巨D(zhuǎn).J2,23、下列根式不是最簡二次根式的是（）An.a21B.、.2x12bC.4D.兩4、下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么?5、把下列各式化為最簡二次根式:ab（ab）、.5.8xy12-45a2b【例12】下列根式中能與J3是合并的是（A.8B.27C.2.5舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（a、扼和418b、的日J(rèn)1c、7和yob2d、ja1和2、在二次根式：J12;寸23；J-;J27中，能與43合并的二次根式,33、如果最簡二次根式J3a8與V172a能夠合并為一個二次根式，則a=知識

9、點四：二次根式計算一一分母有理化【知識要點】1.分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2. 有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：單項二次根式：利用ja石a來確定，如：而與ja,焰與焰b,拓b與Jab等分別互為有理化因式。兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如aVb與aJb,Ta扼與石Jb,a“xbJy與a,xby分別互為有理化因式。3. 分母有理化的方法與步驟：先將分子、分母化成最簡二次根式；將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式。【例13

10、】把卜列各式分母有理化1/、43,、11(4)1'3(1)/,48(2)區(qū)3.7(3)、2.12550【例14】把下列各式分母有理化(4)【例15】把下列各式分母有理化:333223/、結(jié)：一般常見的互為有理化因式有如下幾類:知識點五：二次根式計算一一二次根式的乘除1. 【知識要點】積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。2. 'Tab=aVb(aa0,b>0)二次根式的乘法法則：兩個因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個因式積的算術(shù)平方根。3. 4a爪='?ab.(a>0,b>0)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式

11、的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根4. 二次根式的除法法則：兩個數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術(shù)平方根。注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結(jié)果化成最簡二次根式.【典型例題】【例16】化簡.916.1681(4)9x2y2(x0,y0)【例17】計算（1）Jg淀(3)【例20】能使等式,x2、xx2成立的的x的取值范圍是（）A、x2B、x0C、0x2D、無解知識點六：二次根式計算二次根式的加減【知識要點】1. 同類二次根式（可合并根式）：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個根式。2. 需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。再把同類二注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式,次根式合并.但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù)【典型例題】【例20】計算（1)厄17752/0523I(2)102、.元3-V245;7（3）應(yīng)