行列式解法技巧論文

1、1行列式的基本理論1.1行列式定義定義 行列式與矩陣不同，行列式是一個值，它是所有不同行不 同列的數(shù)的積的和，那些數(shù)的乘積符號由他們的逆序數(shù)之和有 關(guān)，逆序數(shù)之和為偶數(shù)符號為正，逆序數(shù)之和為奇數(shù)符號為負(fù)。這一定義可以寫成a11ai2Kama21a22a2njlj2L jnjlj2L jn.a1 j1a2j2 L anjn，這里an1an2 Lann表示對所有n級排列求和.j1j2L jn1.2行列式的性質(zhì)1、行列式的行列互換，行列式不變;a11a12a1na11a21an1a21a22a2na12a22an2an1an2anna1na2nann2、互換行列式中的兩行或者兩列，行列式反號;a11

2、ai2alna11ai2alnai1ai2ainak1ak2aknakiak2aknaiiai2aina n1an2annan1an2ann3、行列式中某行乘以一個數(shù)等于行列式乘以這個數(shù);a11ai2ainaiiai2ainkaiikai2kainkai1ai2ainan1an2annan1an2ann4、行列式的某兩行或者某兩列成比例，行列式為零;a11ai2aiiai2kai1kai2anian2ainaiiai2ai nainaiiai2ainkkainaiiai2aina nnanian2a nn5、行列式的某一列或者某一行可以看成兩列或兩行的和時，行列式可拆另兩個行列式的和aiiai

3、2ainanai2ai naiiai2ainb cib2 C2bnCnbb2bnCiC2Cnanian2annanian2annanian2ann6、把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。7、行列式有兩行（列）相同，則行列式為零1.3基本理論CA 1B2 .降階定理AC4. ABAb5 .非零矩陣k左乘行列式的某一行加到另一行上，則新的分塊行列式與原來相等。1.4幾種特殊行列式的結(jié)果1 .三角行列式aii0ai2a22ai na2nann （上三角行列式）annai1a2i0a22如（下三角行列式）3n13n 2ann2.對角行列式an00a22aiia22annann3 .對稱與反對稱行列式a

4、iia2iai2a22aina2n滿足 aj aji(i 1,2 n, j 1,2 n) , D 稱為對an1an2ann稱行列式0ai2ai3a i na2i0a 23a2nDa3ia320a3naijaji (i, janian2an30對稱行列式。若階數(shù)n為奇數(shù)時,則D=0i111aia2a3an4 Dn2 ai2a22a32 an(aii j i naj)n in in in iaia2a3an1,2 n) , D稱為反2行列式的計算技巧0ai2ai300a2ia22a23a24a25a3ia32a33a34a350a42a43000a52a5300(i)jn(ji，j2.，jn)aa

5、ijia2j2anjn ,且 aiiai4ai50 ,所a44 a45 ai4a550，因2.1定義法例1 ：計算行列式D解：由行列式定義知D以D的非零項j,只能取2或3,同理由a4iji而j4j5只能取2或3，又因ji j5要求各不相同，故ajiaj2 a5項中至少有一個必須取零，所以D=02.2化成三角形行列式法將行列式化為上三角形行列式計算步驟，如果第一行第一個元素 為零，首先將第一行（或第一列）與其它任一行（或列）交換，使第一行 第一個元素不為零，然后把第一行分別乘以適當(dāng)數(shù)加到其它各行， 使 第一列除第一個元素外其余元素全為零，再用同樣的方法處理除去第一行加第一列余下的低階行列式依次做

6、下去，直至是它成為上三角形 行列式，這時主對角線上元素的乘積就是行列式的值。abb bab例2計算行列式DnbbabbbbbbaDna (n 1)b ba (na1)ba (nbbba1 000b a b00a (n1)bb 0a b0b 00a ba (n 1)b (a b)n 111111)bbbbaa (n 1)bbbabbbba解：各行加到第一行中去例3計算行列式1 232 3 4D 3 4 5n 12n 1nn112n 2 n 1解：從倒數(shù)第二行(-1)倍加到第n行1231111111 1 n 1n 1 nn(n 1)23n 1n211 n01111 n1 n 1將所有列加到第一列上

7、011111 101 n1111 11nn(n 1)n 0n(n 1)( n 12n02nn11n(n 1)(1)2(1nn)n12n(n 1)第一行的（1）倍加各行上 u2.3兩條線型行列式的計算除了較簡單的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定義直接 計算，少數(shù)幾類行列式可利用行列式性質(zhì)直接計算外， 一般行列式計 算的主要方法是利用行列式的性質(zhì)做恒等變形化簡， 使行列式中出現(xiàn) 較多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值來計算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）例4 計算n階行列式 D解：按第1列展開得展開定理降低行列式的階數(shù)。a1b1000a20000an 1bn 1bn00ana20

8、b2a30000aa20b20000Da1bn( 1)010a3b3000an 1bn 1000an000bna?an1n1b1b2bn.2.4箭型行列式的計算對于形如的所謂箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性質(zhì)化為三角或次三角形行列式來計算,即利用對角元素或次對角元素將一條邊消為J | A零計算行列式Dn11000 n 1n02101Dn1Cn 2Cn1111 1 -2n2 0n(n 1)1 n! (1CnC1 n2.5三對角行列式的計算對于形如的所謂三對角行列式，可直接展開得到兩項遞推關(guān)系Dn Dn 1 Dn 2，然后采用如下的一些方法求解。方法1如果n比較小，則直接遞推計算方法2用

9、第二數(shù)學(xué)歸納法證明：即驗證 n=1時結(jié)論成立，設(shè) n k時結(jié)論也成立，若證明n二k+1時結(jié)論也成立，則對任意自然數(shù) 相應(yīng)的結(jié)論成立方法 3 將 DnDn 1 Dn 2 變形為 Dn pDn 1 q（Dn 1 pDn 2），其中p q,pq由韋達(dá)定理知p和q是一元二次方程2XX0的兩個根。確定p和q后，令f x Dn pDn 1，則利用f n qfn 1遞推求出f n，再由Dn pDn 1 f n遞推求出Dn。方法4設(shè)Dn Xn，代入Dn Dn 1 Dn 2 0得X“ X 0 (稱之為特征方程），求出其根X1和X2 （假設(shè)X1 X2 ），則Dn k1X? k2X2，這里k，k2可通過n=1和n=

10、2來確定。000100例6計算行列式Dn0 1000 000 001解：將行列式按第n展開，有Dn()Dn 1Dn 2 ,DnDn 1( Dn 1 Dn 2 ),Dn Dn 1( Dn 1 Dn 2 ),同理，得Dn(n所以Dn2.6利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素遞增的特點。因此遇到具有逐行（或 列）元素方幕遞增或遞減的所謂范德蒙型的行列式時，可以考慮將其 轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式并利用相應(yīng)的結(jié)果求值111X11X21Xn1222X1X1X2X2XnXnn-1n 2n-1n 2n-1n 2X1X1X2X2XnXn例7計算行列式D第3行,以此推直到把新的第o1行的-1倍加到第n行，便得范德蒙

11、行列式11L1片X2LXnD2X12X2L2Xi(XiXj).MMMni j 1n 1n 1n 1X1X2LXn解:把第1行的一1倍加到第2行，把新的第2行的一1倍加到2.7 Hessenberg 型行列式的計算對于形如，的所謂Hessenberg型行列式，可直接展開得到遞推公式，也可利用 行列式的性質(zhì)化簡并降階。例8計算行列式 D解：將第1, 2n1列加到第n 列,n(n 1)Dn(nn2)1n(n2H?( 1)1 n(nn2)1(nn2)11)n(n 1)(n 1)!22.8降階法將行列式的展開定理與行列式性質(zhì)結(jié)合使用,即先利用性質(zhì)將行列式的某一行（或某一列）化成僅含一個非零元素，然后按此

12、行 （列）展 開，化成低一階的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列 式直接計算出結(jié)果。a2 a4 abb2b4c2 c4 cdd2d4(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(c d)(ad)左邊(ba)(ca)(da)(db)(c2bc1b2)a(cb) (abd1b2)a(bd)(ab)(ac)(ad)(bc)(b d)(cd)(ac d)1000bac ad aabacad a.222 2.2 22.22 22.2 2bac ad aaba cad aZ1 22、八22、z 22、， 2 2、z . 22 x z .2 2、4.4444.44(ba)(b a )(ca )(c a

13、 )(da )(d a )aba cad a111(ba)(ca)(da)b ac aa d(b22a )(a b)(c2a2)(c a)(a22d )(d a)例9計算行列式a1 ana2an其中n2,aii 1ana1ana2解:2a12a2a?aa?a?a1an2anana1ana2a2an2a12a2a111 1a211011101a1a2an2 anan12a22an 10一 0 12a1(2)n ai 1a j2j1 j1aiann(2)n 2ai (n 2)2i 12.9加邊法（升階法）行列式計算的一般方法是降階，但對于某些特殊的2a21aj akj,k 1a112anan 1n

14、階行列式,如除對角元（或次對角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有時加上一行一列變成n+1階的行列式，特別是第1列為1,0,.O 丁并適當(dāng)選擇第1行的元素，就可以使消零化簡單方便,且化簡后常變成箭型行列式，這一方法稱為升階法或加邊法例10計算n階行列式xa1a1a1a2x a2a2a3a3xa3ananana1a2解：DriA(i2,n1)a3111a1x0a20xanan00an2.10計算行（列）和相等的行列式對于各行（或各列）之和相等的行列式，將其各列（或各行）加到第1列（或行）或第n列（或行），然后再化簡11 1 01101例11計算n階行列式Dn1 0110 111解:DnCnC

15、i(i 1,2 n 1)1 11 11 00 11 n0 n1 n1 n1100riA (i 2,3 n)0110n(n 1)(1)( 1)(n1)(n1n 1100000(n 2)( n 1)1)(1)2 (n 1)以下不作要求2.11相鄰行（列）元素差 1的行列式計算以數(shù)字1,2, n為（大部分）元素，且相鄰兩行（列）元素差 1 的n階行列式可以如下計算：自第1行（列）開始，前行（列）減去 后行（列）；或自第n行（列）開始，后行（列）減去前行（列）， 即可出現(xiàn)大量元素為1或一1的行列式，再進(jìn)一步化簡即出現(xiàn)大量的 零兀素。對于相鄰行（列）元素相差倍數(shù)k的行列式，采用前行（列）減去后行（列）的

16、一k倍，或后行（列）減去前行k倍的步驟，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素例12計算n階行列式D1n 1 an 2 aa1n 1 a2 aa1n an an aDJ_an 1(i_1,2_n_1)3 a2 a4 a3 a(1 a)n12.12線性因子法0xyz1 x111x0zy11 x11yz0x111 z1zyx01111 z例13計算行列式（1）D可被x y解：（1）由各列加上第一列可見，行列式z整除。第二列加到第一列，并減去第三、四列可見,D可被y zx整除，由第三列加于第一列，并減去第二、四列可見，D被x y z整除。最后 由第四列加于第一列，并減去第二、三列可見，D可被x y z整除。

17、我們把x,y,z視為獨立未知量，于是上述四個線性因子式是兩兩互素 的，因此，D可被它們的乘積(x y z)(y z x)(x y z)(x y z)整除。此乘積中含有一項：z4，而D中含有一項：(1)c4z4 z4所以 D (x y z)(y z x)(x y z)(x y z)x4 y4 z4 2x2y2 2x2z2 2y2z2(2)將行列式D的前兩行和兩列分別對換，得1 x 11111x11D111 z 11111 z如果以x代替x，又得原來形式的行列式。因此，如果D含有因 式x，必含有因式x，由于當(dāng)x 0時，D有兩列相同，故D確有因式 x，從而D含有因式x2。同理D又含有因式z2，而D的

18、展開式中有一 項：x2z2，從而 D x2z21 11例14計算行列式：Dn11 x11 1(n 1) x解：由n階行列式定義知，Dn的展開式是關(guān)于x的首項系數(shù)為(1)n 1 的(n 1)次多項式 Dn(x),當(dāng) x k(k 0,1,2 n 2)時，Dn(k) 0,因此 n 2 Dn(x)有n 1個互異根0, 1、2n 2由因式定理得(x k)|Dn(x)k 0n 2故 Dn ( 1)n 1 (x k)2.13輔助行列式法fi(ai)的)例15計算行列式Dn仁佝)fnn)其中 fi (x)(i1, n)為次數(shù)W n 2的數(shù)域F上多項式a1an為F中任意n個數(shù)。解：若a1an中有兩個數(shù)相等，則D

19、n 0若a1an互異，則每個n階行列式fl(x)fi( 2)fi(an)G(X)是 fl(x), f2(x)fn(x)fn(x)仁)fn(an)的線性組合，據(jù)題fi(x)的次數(shù)W2(i1 n)因而G(x)的次數(shù)Wn 2,但 G (a2 )G(an)0,這說明G(x)至少有(n1)個不同的根，故G(x) 0,所以G(ai)Dn(x)02.14 n階循環(huán)行列式算法例16計算行列式D解：設(shè) f(x) a b(xx,i1n),貝S Dnf (Xi)由 f(x)nb&xx21x)其中 abc 0.b cbub 0的n個根為f(xj a(a b)Xj(c a)Xi1Xi1利用關(guān)系式 XixixjX

20、i1Xi2Xi,n 10X1X2Xn1)得Dn(a b)Xi(C a)Xi 1(a b)Xi(c a)i 1n(x 1)i 1n 1 cnn1) (a b) (c a) b(1)n1bbc(a b)n b(a c)n例17證明:證明:ddx(1)n設(shè) fj(x),(i,j1,2,n）都是x的可微函數(shù)fii(x)fm (X)ddxfn(X) f21 (X)f12（X）f22（X）f1n (X) f2n(X)dxfi1(X)dXfin(X)fn1 (X)fn2（X）fnn (X)fn1（X）fnn(X)fn(x)f12（X）ff21（X）f22（X）f；fn1（X）fn2（X）1n(X)2n(X)

21、ddxj1(1)jn（j2jn) f1j1(X)f2j2(X)fnjn(x)fnn(X)(1)j1 j2 jn-Jm jtf1j1(X)f2j2(X) 5-J(1) (j1j2 jn)-f1j1(x)f2j2(x)fnjn(x)j1j2 jndX(f1j1(X)f2j2(X)n 1 jn1(X)転 fnjn(x)(1)jlj2 jn(jlj2 jn)(dxf1j1(X)f2j2(X)fnjn(X)(1) (jlj2jl j2 jndfiji(x)f n 1 jn 1dxfn(x)f12（X）f 1n (X)f21（X）f22（X）f2n (X)fn 1,1 (X)fn 1,2 (X)fn 1,

22、n(x) fn1 (x)dx fn2(X)dx-fnn (x)dxfn(x)f12(x)fm (X)n fi1(X)1dXdx fi2(x)£ 仏(x)fn1（X）fn2 (X)fnn (X)ddd-f11 (x)f12(X)f1n(x)fn(x)f12（X）f1n(x)dxdxdxdddf21 ( x)f22（X）f2n(x)f21(X)二 f22(X)3- f2nn(X)dxdxdxfn1（X）fn2（X）fnn(x)fn1（X）fn2（X）fnn(x)2.15有關(guān)矩陣的行列式計算例18設(shè)A與B為同階方陣:證明:證明:A BABBAA B0A B A BB ABABA B例19設(shè)

23、A為n階可逆方陣,為兩個n維列向量，則A(1A 1a) A證明： AA1|a(1 a 1 )1 (n 1)(n 1)01 A例20若n階方陣A與B且第j列不同證明：21 n A B A B證明:a-b1a1b1a2b2a2b22 *2 *2 *2 *2 *2 *anbnanbnA Ba1b12 n 1* *2* 1* *anbn2n1(A 21nA B A B2.16用構(gòu)造法解行列式例 21 設(shè) f(x) (aix)(a2x)(a3 x),aa f(b) bf(a)a ba-iaa證明：Dba2abba3證明：構(gòu)造出多項式:a1xaxaxa1xaa1aa1bxa2xaxbxa2babbxbxa

24、3xbx0a3bD(x)aaaa a1 aa1aa1ba2b a bx1 a2 b a bb0a3 b10a3ba-ia a1 aa1aa3ba2ax1 a2 b a bb b a310a3bD(x) D xD1a,D( a)a1( a) 00b a a2( a) 0(ab a b a a3 aa)®a)(a3 a)D aD1f(a)b,D( b)a1b a ba b0 a2b a b00a3 b(a- b)® b)(a3 b)D bD1f(b)D af(b) bf(a) a b2.17利用拉普拉斯展開例22證明：n級行列式D0an0an 10an 2xa2ai證明：利用拉

25、普拉斯展開定理，按第以上等式右端的n10000x0000x100001000(1)n 2 an 10001000010000x1000x1nian行展開有:Dn ( 1)nx1000x10000x1000x100(1)n (n2)a2(1)n(n1 )(a1 x)000x0000x000010000x(八n 1/1) an(1)n1(1)nan 1 (1) x(1)n(n2)a2( 1)xn2 (1)n(n 1)(a1x)2n2r1 1nanan 1Xan 2xa?xaxxn 1 X1級行列式均為“三角形行列式”。計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算行列式的幾種方法，計算行列式時，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。3用多種方法解題F面我們運(yùn)用上面的介紹的各種方法，選用多種方法解題。例23計算：Dnx (n 1)ax (n 1)ax (n 1)a111axaaxaDnaaax (n 1)aaaaaaxaax法1:將第2,3,行都加到第1行上去，得n再將第一行通乘a，然后分別加到第2,3，n行上，得Dnx (n 1)a(x a)n1x (n 1)a法2:將2,3，n行分別減去第1行得Dn再將第2,3，n列都加