數列求和方法

1、數列求和方法數列求和，是指按照一定規(guī)律對排列的數進行求和。常見的方法有公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數學歸納法、通項化歸、并項求和。數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎。在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位。數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。(一) 公式法等差數列求和公式：等比數列求和公式：(二) 錯位相減法適用題型：適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式和等差等比數列相乘an、bn分別是等差數列和等比數列 .例如：Tn=±述式子 /(1-q)此外.式可變形為為bn的前n項和.

2、此形式更理解也好記(三) 倒序相加法這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列(反序)，再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)Sn=a1+a2+a3+ +anSn=an+a(n-1)+a(n-2)+a1上下相加得到 2Sn即Sn= (a1+an)n/2(四) 分組求和法有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可 .例如：an=2人 n+n-1(五) 裂項相消法適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即 =(+1) () ，然后 累加時抵消中間的許多項。常用

3、公式：(1) 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1), 1/ (n-1) -1/n>1/n2>1/n-1/n+1(n2) 一般形式(2) 1/(2n-1)(2n+1)=1/21/(2n-1)-1/(2n+1)(3) 1/n(n+1)(n+2)=1/21/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)(4) 1/( Va+Vb)=1/(a-b)( Va - Vb)(5) n n!=(n+1)!-n!(6) 1/ (Vn+V( n+a) =1/a (V( n+a)- Vn)例 求數列 an=1/n(n+1) 的前 n 項和 .解： an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂項)則

4、Sn=1-1/2+1/2- 1/3+1/4 +1/n -1/(n+1)(裂項求和)=1-1/(n+1)=n/(n+1)小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。注意：余下的項具有如下的特點1、余下的項前后的位置前后是對稱的。2、余下的項前后的正負性是相反的。(六) 數學歸納法一般地，證明一個與 正整數 n 有關的命題，有如下步驟：(1)證明當 n 取第一個值時命題成立；(2)假設當n=k (k>n的第一個值，k為自然數)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。例：求證：1 x 2X 3X 4+2X 3X 4X 5+3X 4X 5

5、X 6+.+n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n +1)(n+2)(n+3)( n+4)/5證明：當 n=1 時，有：1 x 2x 3x 4=24=2x 3x 4x 5/5假設命題在 n=k 時成立，于是：1 x 2x3x 4+2X 3x 4x 5+3X 4x 5x 6+.+k(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)(k+3)(k +4)/5則當 n=k+1 時有：1 x 2X 3X 4+2X 3X 4X 5+3X 4X 5X 6+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=1 x 2x 3X 4+2X 3X 4*5+3x 4x 5x 6+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)/5+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5+1)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)/5即 n=k+1 時原等式仍然成立，歸納得證七)通項化歸法先將通項公式進行化簡，再進行求和。女口：求數列1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4,的前n項和。此時先將 an求出，再利用分組等方法求和。(八)并項求和法(常采用先試探后求和的方法)例：1 2+3-4+5 6+ ( 2n-1 ) -2n方法一：(并項)求出奇數項