小學(xué)奧數(shù)專題--排列組合

1、排列問題題型分類：1. 信號問題2. 數(shù)字問題3. 坐法問題4. 照相問題5. 排隊(duì)問題組合問題題型分類：1. 幾何計數(shù)問題2. 加乘算式問題3. 比賽問題4. 選法問題常用解題方法和技巧1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.優(yōu)先排列法總體淘汰法合理分類和準(zhǔn)確分步相鄰問題用捆綁法不相鄰問題用插空法順序問題用“除法”分排問題用直接法試驗(yàn)法探索法消序法11. 住店法12. 對應(yīng)法13. 去頭去尾法14. 樹形圖法15. 類推法16. 幾何計數(shù)法17.18.標(biāo)數(shù)法對稱法分類相加，分步組合，有序排列，無序組合基礎(chǔ)知識（數(shù)學(xué)概率方面的基本原理）一 . 加法原理：做一件事情，完成它有N 類辦法，在第一

2、類辦法中有M1 中不同的方法，在第二類辦法中有M2 中不同的方法，在第 N 類辦法中有Mn 種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+ +Mn 種不同的方法。二 . 乘法原理：如果完成某項(xiàng)任務(wù)，可分為k 個步驟，完成第一步有n1 種不同的方法，完成第二步有n2 種不同的方法，完成第步有種不同的方法，那么完成此項(xiàng)任務(wù)共有×××種不同的方法。三 . 兩個原理的區(qū)別做一件事，完成它若有n 類辦法，是分類問題，每一類中的方法都是獨(dú)立的，故用加法原理。每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法， 互不相同 (即分類不重 ) ；完成此任務(wù)的任何一種

3、方法，都屬于某一類(即分類不漏 )做一件事，需要分 n 個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n 步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來四 . 排列及組合基本公式1. 排列及計算公式2.3.從 n 個不同元素中，任取m(m n) 個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列；從n 個不同元素中取出m(m n) 個

4、元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n 個不同元素中取出m 個元素的排列數(shù)，用符號Pmn 表示 .Pmn =n(n-1)(n-2) (n-m+1)n!=(規(guī)定 0!=1).(n-m)!組合及計算公式從 n 個不同元素中，任取 m(m n) 個元素并成一組，叫做從 n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合；從n 個不同元素中取出m(m n) 個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n 個不同元素中取出 m 個元素的組合數(shù).用符號 Cmn 表示 .n!Cmn = Pmn /m!=(n-m)! ×m!一般當(dāng)遇到m 比較大時（常常是m>0.5n 時），可用 Cmn = Cn-mn來簡化計算。規(guī)定： C

5、nn =1, C0n=1.n 的階乘 (n!) n 個不同元素的全排列Pnn=n!=n ×(n-1) ×(n-2) 3×2 ×1五 . 兩個基本計數(shù)原理及應(yīng)用1. 首先明確任務(wù)的意義【例 1】從 1 、 2 、3 、 20 這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有_個。分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組合問題。設(shè) a,b,c 成等差， 2b=a+c, 可知 b 由 a,c 決定，又 2b 是偶數(shù)， a,c 同奇或同偶，即：從 1，3， 5， 19 或 2，4， 6， 8， 20 這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進(jìn)行

6、排列，由此就可確定等差數(shù)列，如： a=1 ， =7 ，則 b=4 （即每一組a,c 必對應(yīng)唯一的b，另外 1、 4 、7 和一種等差數(shù)列處理）C210 10 ×9 90 ，同類（同奇或同偶）相加，即本題所求=2 ×90 180 。7、4、1 按同【例 2】某城市有 4 條東西街道和6 條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進(jìn)，則從 M 到 N 有多少種不同的走法?分析：對實(shí)際背景的分析可以逐層深入（一）從 M 到 N 必須向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定

7、后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)， 本題答案為： C38=56 。2. 注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合。采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個階段(排序 )可轉(zhuǎn)化為排列問題?！纠?3】在一塊并排的 10 壟田地中，選擇二壟分別種植A ，B 兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A， B 兩種作物的間隔不少于6 壟，不同的選法共有 _種。分析：條件中“要求 A、B 兩種

8、作物的間隔不少于6 壟”這個條件不容易用一個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類： A 在第一壟， B 有 3種選擇；第二類： A 在第二壟， B 有 2種選擇；第三類： A 在第三壟， B 有 1種選擇，同理 A 、B 位置互換 ，共 12種。1 恰好能被6， 7 ， 8， 9 整除的五位數(shù)有多少個?【分析與解】6、7、8、9的最小公倍數(shù)是 504 ，五位數(shù)中，最小的是10000 ，最大為 99999 因?yàn)?10000÷504 ： 19 424 ， 99999 ÷504=198 207 所以，五位數(shù)中，能被504 整除的數(shù)有 198-19=179 個所

9、以恰好能被 6， 7 ，8， 9 整除的五位數(shù)有 179 個2 小明的兩個衣服口袋中各有13 張卡片，每張卡片上分別寫著1， 2， 3， 13如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積那么，其中能被6 整除的乘積共有多少個?【分析與解】這些積中能被6 整除的最大一個是13 ×12=26 ×6，最小是6 但在 l×6 26 ×6 之間的 6 的倍數(shù)并非都是兩張卡片上的乘積，其中有 25×6， 23 ×6， 21 ×6 ，19 ×6， 17×6 這五個不是所求的積共有個

10、3 1， 2， 3， 4 ， 5， 6 這 6 個數(shù)中，選3 個數(shù)使它們的和能被3 整除那么不同的選法有幾種?【分析與解】被3除余 1的有1，4；被3除余 2的有2,5；能被 3 整除的有 3，6從這 6 個數(shù)中選出3 個數(shù)，使它們的和能被3 整除，則只能是從上面3 類中各選一個，因?yàn)槊款愔械倪x擇是相互獨(dú)立的，共有 2 ×2 ×2=8 種不同的選法4 同時滿足以下條件的分?jǐn)?shù)共有多少個?大于，并且小于；分子和分母都是質(zhì)數(shù)；分母是兩位數(shù)【分析與解】由知分子是大于1，小于 20 的質(zhì)數(shù)如果分子是2 ，那么這個分?jǐn)?shù)應(yīng)該在與之間，在這之間的只有符合要求如果分子是3，那么這個分?jǐn)?shù)應(yīng)該在

11、與之間， 15 與 18 之間只有質(zhì)數(shù)17 ，所以分?jǐn)?shù)是同樣的道理，當(dāng)分子是5， 7，11 ， 13 ， 17 ，19 時可以得到下表分子分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)211313517719于是，同時滿足題中條件的分?jǐn)?shù)共13 個5 一個六位數(shù)能被11 整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的將這個六位數(shù)的6 個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11 整除的六位數(shù) ?【分析與解】設(shè)這個六位數(shù)為，則有、的差為 0或 11 的倍數(shù)且 、 、均不為0 ，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)先考慮、偶數(shù)位內(nèi)，、 奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有× =36 種順序；再考慮形如這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有× =36

12、種順序所以，用均不為0 的 、 、 最少可以排出 36+36=72個能被 11整除的數(shù) ( 包含原來的)所以最少還能排出72-1=71個能被 11 整除的六位數(shù)6 在大于等于 1998 ，小于等于 8991的整數(shù)中，個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有多少個?【分析與解】先考慮 2000 8999之間這 7000 個數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有7×10×=6300 但是 1998 ，8992 8998 這些數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字也不同，且1998在 1998 8991內(nèi)， 8992 8998 這 7 個數(shù)不在1998 8991 之內(nèi)所以在 1998 8991之內(nèi)的個位數(shù)字與

13、十位數(shù)字不同的有6300+1-7=6294個7 個位、十位、百位上的3 個數(shù)字之和等于12 的三位數(shù)共有多少個?【分析與解】12=0+6+6=0+5+7=0+4+8=0+3+9=1+5+6=1+4+7=1+3+8=1+2+9=2+5+5=2+4+6=2+3+7=2+2+8=3+4+5=3+3+6=4+4+4其中三個數(shù)字均不相等且不含0 的有 7 組，每組有種排法，共7×=42 種排法；其中三個數(shù)字有只有2 個相等且不含0 的有 3 組，每組有÷2 種排法，共有3 ×÷2=9其中三個數(shù)字均相等且不含0 的只有 1 組，每組只有1 種排法；種排法；在含有0

14、的數(shù)組中，三個數(shù)字均不相同的有3 組，每組有2種排法，共有3×2×=12種排法；在含有0 的數(shù)組中，二個數(shù)字相等的只有1 組，每組有2÷2 種排法，共有2 種排法所以，滿足條件的三位數(shù)共有42+9+1+12+2=66個8 一個自然數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)”例如 1331 ， 7， 202 都是回文數(shù)，而220 則不是回文數(shù)問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個? 其中的第1996 個數(shù)是多少 ?【分析與解】我們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、六位來逐組計算所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有 9 個；在二位數(shù)中，必須為形式的，即有 9

15、個 (因?yàn)槭孜徊荒転?0 ，下同 )；在三位數(shù)中，必須為( 、可相同，在本題中，不同的字母代表的數(shù)可以相同)形式的，即有 9×10 =90個；在四位數(shù)中，必須為形式的，即有 9 ×10 個；在五位數(shù)中，必須為形式的，即有9 ×10 ×10=900 個；在六位數(shù)中，必須為形式的，即有9×10×10=900 個所以共有 9+9+90+90+900+900=1998個，最大的為 999999 ，其次為 998899，再次為 997799 而第 1996 個數(shù)為倒數(shù)第3 個數(shù)，即為 997799 所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有1998個，其

16、中的第 1996 個數(shù)是 997799 9 一種電子表在6 時 24 分 30 秒時的顯示為6:24，那么從8 時到 9 時這段時間里，此表的 5 個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個?【分析與解】設(shè) A:BC是滿足題意的時刻，有A 為 8， B、 D 應(yīng)從 0，1， 2，3， 4，5這 6 個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有種選法，而C 、E 應(yīng)從剩下的7 個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有種選法，所以共有×=1260 種選法，即從 8 時到 9 時這段時間里，此表的5 個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260 個10 有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自 1 ， 2， 3 ，4， 5，并且任意相鄰兩

17、位數(shù)字 (大減小 )的差都是 1 問這樣的五位數(shù)共有多少個 ?【分析與解】如下表，我們一一列出當(dāng)首位數(shù)字是5， 4 ， 3 時的情況首位數(shù)字543所有滿足題意的數(shù)字列表滿足題意的6912數(shù)字個數(shù)因?yàn)閷ΨQ的緣故，當(dāng)首位數(shù)字為1 時的情形等同與首位數(shù)字為首位數(shù)字為2 時的情形等同于首位數(shù)字為4 時的情形所以，滿足題意的五位數(shù)共有6+9+12+9+6=42個5 時的情形，11用數(shù)字 1， 2 組成一個八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是1 的有多少個 ?【分析與解】當(dāng)只有四個連續(xù)的 1 時，可以為 11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,* *211112 ， * * * 21

18、111 ，因?yàn)?* 號處可以任意填寫 1 或 2，所以這些數(shù)依次有 23 ，22 ， 22 ， 22， 23個，共28 個；當(dāng)有五個連續(xù)的l 時，可以為111112 * * ，2111112 * ， *2111112， * * 211111，依次有 22 ， 2， 2， 22 個，共12 個；當(dāng)有六個連續(xù)的1 時，可以為1111112 * ， 21111112， * 2111111，依次有 2，1， 2 個，共 5 個；當(dāng)有七個連續(xù)的1 時，可以為11111112 ，21111111，共 2個：當(dāng)有八個連續(xù)的l 時，只能是11111111 ，共 1 個所以滿足條件的八位數(shù)有 28 + 12 +

19、 5 + 2 + 1=48個12 在 1001 ， 1002 ， 2000 這 1000 個自然數(shù)中，可以找到多少對相鄰的自然數(shù)，滿足它們相加時不進(jìn)位?【分析與解】設(shè)我們只用考察我們先不考慮數(shù)字9為滿足條件的兩個連續(xù)自然數(shù)，有的取值情況即可的情況 (因?yàn)槿?9 ，則為 0，也有可能不進(jìn)位=)，+1 則 只能取 0，1， 2，3，4； 只能取 0，1，2，3，4； 只能取 0，1，2，3，4；對應(yīng)的有 5 ×5 ×5=125 組數(shù)當(dāng)=9 時，有的下一個數(shù)為，要想在求和時不進(jìn)位，必須9，所以此時只能取 0，1，2，3，4；而 也只能取 0，1，2，3，4；共有 5×5

20、=25 組數(shù)當(dāng)=99 時，有的下一個數(shù)為，要想在求和時不進(jìn)位，必須+( +1)9，所以此時只能取 0， 1， 2， 3，4；共有 5 組數(shù)所以，在 1001 ， 1002 ， 2000這 1000 個自然數(shù)中，可以找到 125+25+5=155對相鄰的自然數(shù)，滿足它們相加時不進(jìn)位13 把 1995 ， 1996 ，1997 ，1998 ，1999 這 5 個數(shù)分別填入圖20-1 中的東、南、西、北、中5 個方格內(nèi)，使橫、豎3 個數(shù)的和相等那么共有多少種不同填法?【分析與解】顯然只要有“東”+“西=”“南+”“北”即可，剩下的一個數(shù)字即為“中”因?yàn)轭}中五個數(shù)的千位、百位、十位均相同，所以只用考慮

21、個位數(shù)字，顯然有 5+9=6+8 ，5+8=6+7 ，6+9=7+8 先考察 5+9= 6 + 8 ，可以對應(yīng)為“東”+“西=”“南+”“北，”因?yàn)椤皷|、”“西”可以調(diào)換“，南、”“北”可以對調(diào)，有2×2=4 種填法，而“東、西”，“南、北”可以整體對調(diào)，于是有 4×2=8 種填法5+8=6+7， 6 + 9 = 7 + 8 同理均有 8 種填法，所以共有 8×3=24 種不同的填法14在圖20-2 的空格內(nèi)各填人一個一位數(shù)，使同一行內(nèi)左面的數(shù)比右面的數(shù)大，同一列內(nèi)上面的數(shù)比下面的數(shù)小，并且方格內(nèi)的6 個數(shù)字互不相同，例如圖20-3 為一種填法那么共有多少種不同的

22、填法?23圖 20-2642753圖 20-3【分析與解】為了方便說明，標(biāo)上字母：CD2AB3要注意到， A 最大， D 最小， B、 C 的位置可以互換但是， D 只能取 4 ， 5，6 ，因?yàn)槿绻?，就找不到3 個比它大的一位數(shù)了當(dāng) D 取 4， 5，6 時分別剩下5，4， 3 個一位大數(shù)有B、 C 可以互換位置所有不同的填法共×2+×2+×2=10 ×2+4 ×2+1 ×2=30 種(2003 年一零一中學(xué)小升初第12 題 )將一些數(shù)字分別填入下列各表中，要求每個小格中填入一個數(shù)字，表中的每橫行中從左到右數(shù)字由小到大，每一豎列

23、中從上到下數(shù)字也由小到大排列(1) 將 1 至 4 填入表 1 中，方法有 _ 種：(2) 將 1 至 6 填入表 2 中，方法有 _ 種；(3) 將 1 至 9 填入表 3 中，方法有 _ 種【分析與解】(1)2 種：如圖， 1 和 4 是固定的，另外兩格任意選取，故有2 種；(2)5 種： 1 和 6 是固定的，其他的格子不確定有如下5 種：(3)42 種：由 (2) 的規(guī)律已經(jīng)知道，3 ×2 是 5 種：1 、 2 、 3 確定后，剩下的6 個格子是3×2 ，為 5 種如下：同理也各對應(yīng) 5 種；注意到例外，對應(yīng)的不是5 種，因?yàn)榈谝慌庞疫叺臄?shù)限制了其下方的數(shù)字，滿足

24、條件的只有如下幾種：共計 5+5+5+4+2=21種另外，將以上所有情況翻轉(zhuǎn)過來，也是滿足題意的排法，所以共21×2=42 種15 從1 至 9這9 個數(shù)字中挑出6 個不同的數(shù)填在圖204 的6 個圓圈內(nèi)，使任意相鄰兩個圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)那么共能找出多少種不同的挑法(6 個數(shù)字相同、排列次序不同的都算同一種)?【分析與解】顯然任意兩個相鄰圓圈中的數(shù)一奇一偶，因此，應(yīng)從2、4、6、8中選3 個數(shù)填入3個不相鄰的圓圈中是質(zhì)數(shù) )沒有1+6 7 種：填入3、9 的有2、 4、 6，這時1種；有 3或3 與 9 不能同時填入9 的，其他3 個奇數(shù)(否則總有一個與 l 、 5、 7 要去掉

25、6 相鄰，和1 個，因而有3+6 或2 ×3=69+6 不種，共個，有：填入 2、4、8這時 4 種選法，都符合要求7 不能填入(因?yàn)?+2 ，7+8都不是質(zhì)數(shù))，從其余4 個奇數(shù)中選3：填入 2、 6 、8 這時 7 不能填入，而3 與 9 只能任選1 個，因而有2 種選法：填入4、 6 、 8這時 3 與 9 只能任選1 個， 1 與 7 也只能任選1 個因而有2 ×2=4種選法總共有 7+4+2+4=17種選法20 一個骰子六個面上的數(shù)字分別為0， 1 ，2， 3，4 ， 5 ，現(xiàn)在擲骰子，把每次擲出的點(diǎn)數(shù)依次求和，當(dāng)總點(diǎn)數(shù)超過12 時就停止不再擲了，這種擲法最有可能

26、出現(xiàn)的總點(diǎn)數(shù)是幾？1.從甲地到乙地有2 種走法，從乙地到丙地有4 種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3 種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有種2. 甲、乙、丙 3 個班各有三好學(xué)生 3， 5， 2 名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選兩名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會，共有種不同的推選方法3. 從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名參加某天的一項(xiàng)活動，其中一名同學(xué)參加上午的活動，一名同學(xué)參加下午的活動有種不同的選法4.從 a、 b、 c、d 這 4 個字母中，每次取出 3 個按順序排成一列，共有種不同的排法5.若從 6 名志愿者中選出4 人分別從事翻譯、 導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作， 則選派的方案有種6.有 a， b， c，d ， e 共 5 個火車站，都有往返車，問車站間共需要準(zhǔn)備種火車票7.某年全國足球甲級聯(lián)賽有14 個隊(duì)參加， 每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主、客場分別比賽一場， 共進(jìn)行場比賽8.由數(shù)字 1、 2、3、 4、5、 6 可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)9.用 0 到 9 這 10 個數(shù)字可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)10.（ 1 ）有 5 本不同的書，從中選出3 本送給 3 位同學(xué)每人 1 本，共有種不同的選法；（ 2）有 5 種不同的書，要買3本送