第一章復(fù)變函數(shù)

1、11.4 1.4 擴充復(fù)平面與復(fù)球面擴充復(fù)平面與復(fù)球面復(fù)平面加上點復(fù)平面加上點 后稱為擴充復(fù)平面。記作后稱為擴充復(fù)平面。記作C+ = C擴充復(fù)平面的一個幾何模型就是復(fù)球面擴充復(fù)平面的一個幾何模型就是復(fù)球面 的幾何解釋的幾何解釋：由于在復(fù)平面上沒有一點能與由于在復(fù)平面上沒有一點能與 相對應(yīng)，所以，只相對應(yīng)，所以，只得假想在復(fù)平面上添加一個得假想在復(fù)平面上添加一個“假想點假想點”（或（或“理想理想點點”）使它與）使它與 對應(yīng)，我們稱此對應(yīng)，我們稱此“假想點假想點”為無窮為無窮遠點遠點 關(guān)于無窮遠點，我們約定：在復(fù)平面添加假想關(guān)于無窮遠點，我們約定：在復(fù)平面添加假想點后所成的平面上，每一條直線都通過

2、無窮遠點，同點后所成的平面上，每一條直線都通過無窮遠點，同時，時，任一半平面都不包含無窮遠點任一半平面都不包含無窮遠點2 , 0 的球面的球面點點取一個與復(fù)平面切于原取一個與復(fù)平面切于原 z , )( 如如圖圖與與原原點點重重合合球球面面上上一一點點S 作作垂垂直直于于復(fù)復(fù)平平面面的的通通過過 S . , 為為南南極極為為北北極極稱稱SNxyNOS , N點點直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一擴充復(fù)平面擴充復(fù)平面與復(fù)球面與復(fù)球面3 球面上的點球面上的點, 除去北極除去北極 N 外外, 與復(fù)平面內(nèi)與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系. 我們用球面我們用球面上的

3、點來表示復(fù)數(shù)上的點來表示復(fù)數(shù). 球面上的北極球面上的北極 N N 不能對應(yīng)復(fù)平面上的定不能對應(yīng)復(fù)平面上的定點，但點，但球面上的點離北極球面上的點離北極 N N 越近，它所表示越近，它所表示的復(fù)數(shù)的模越大的復(fù)數(shù)的模越大. .xyPNOS),(yx1P),(11yx4 我們規(guī)定我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個唯一的復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠點相對應(yīng)與復(fù)平面上的無窮遠點相對應(yīng), 記作記作 . 因而因而, 球面上的北極球面上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示的幾何表示.xyNOS 5包括無窮遠點的復(fù)平面稱為包括無窮遠點的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面擴充復(fù)平面. . 不包括無窮

4、遠點的復(fù)平面稱為有限不包括無窮遠點的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面復(fù)平面, , 或簡稱復(fù)平面或簡稱復(fù)平面. . 引入復(fù)球面后，能將擴充復(fù)平面的無窮遠引入復(fù)球面后，能將擴充復(fù)平面的無窮遠點明顯地表示出來點明顯地表示出來. . 球面上的每一個點與擴充復(fù)平面的每一個球面上的每一個點與擴充復(fù)平面的每一個點構(gòu)成了一一對應(yīng)點構(gòu)成了一一對應(yīng), , 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復(fù)球面復(fù)球面或或RiemannRiemann球面球面. .:| - | | |的的鄰鄰域域表表示示為為 N N( ( ) ) R R 或或 R R z az6 的幾何解釋：的幾何解釋：由于在復(fù)平面上沒有一點能與由于在復(fù)平面上沒有一點能與 相對應(yīng)，

5、所相對應(yīng)，所以，只得假想在復(fù)平面上添加一個以，只得假想在復(fù)平面上添加一個“假想點假想點”（或（或“理想點理想點”）使它與）使它與 對應(yīng)，我們稱此對應(yīng)，我們稱此“假想點假想點”為無窮遠點為無窮遠點 關(guān)于無窮遠點，我們約定：在復(fù)平面添加假想關(guān)于無窮遠點，我們約定：在復(fù)平面添加假想點后所成的平面上，每一條直線都通過無窮遠點后所成的平面上，每一條直線都通過無窮遠點，同時，點，同時，任一半平面都不包含無窮遠點任一半平面都不包含無窮遠點7復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)平面表示法平面表示法定義表示法定義表示法三角表示法三角表示法曲線與區(qū)域曲線與區(qū)域球面表示法球面表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法指數(shù)表示法指數(shù)表示法復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的運算共

6、軛運算共軛運算代數(shù)運算代數(shù)運算乘冪與方根乘冪與方根本章主要內(nèi)容向量表示法向量表示法8復(fù)數(shù)運算和各種表示法復(fù)數(shù)運算和各種表示法 復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域本章注意兩點本章注意兩點91707.4.151707.4.15生于瑞士，巴塞爾生于瑞士，巴塞爾1783.9.181783.9.18卒于俄羅斯，彼得堡卒于俄羅斯，彼得堡L. EulerL. Euler( (歐拉歐拉) )簡介簡介 EulerEuler是是1818世紀的數(shù)學(xué)世紀的數(shù)學(xué)巨星；是那個時代的巨人，巨星；是那個時代的巨人，科學(xué)界的代表人物。歷史上科學(xué)界的代表人物。歷史上幾乎可與幾乎可與Archime

7、desArchimedes、NewtonNewton、GaussGauss齊名齊名。 他在微積分、幾何、數(shù)論、變分學(xué)等領(lǐng)域有巨他在微積分、幾何、數(shù)論、變分學(xué)等領(lǐng)域有巨大貢獻?？梢哉f大貢獻?？梢哉f NewtonNewton、LeibnizLeibniz發(fā)明了微積分，發(fā)明了微積分，而而EulerEuler則是數(shù)學(xué)大廈的主要建筑師則是數(shù)學(xué)大廈的主要建筑師。10A. de Moivre A. de Moivre 棣莫佛簡介棣莫佛簡介 5. 265. 26生于法國生于法國 1754. 11. 271754. 11. 27卒于英國卒于英國在概率論、復(fù)數(shù)理論等領(lǐng)域在概率論、復(fù)數(shù)理論等領(lǐng)域做了一些出色的工作。做了一些出色的工作。解決斐波那契數(shù)列的通項問解決斐波那契數(shù)列的通項問題。題。L.FibonacciL.Fibonacci(1170-