卡方分布及其它分布

1、卡方分布一、卡方分布的定義：若 n 個相互獨立的隨機變量 1， 2， n ，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（也稱獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），則這 n 個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的平方和 i 2 構(gòu) 成 一 新 的 隨 機 變 量 ， 其 分 布 規(guī) 律 稱 為 2(n) 分 布 （ chi-squaredistribution），其中參數(shù)n稱為自由度。二、 卡方分布的性質(zhì) ：:（1） ( 可加性 )設(shè) Yi 2ni , i , i1, k,且相互獨立，則這里 nni,i .（ 2）E(2)n,Var(2) 2n4 .n,n ,證明（1）根據(jù)定義易得。（ 2）設(shè) Y n2, , 則依定義，Y可表示為其中

2、X i N (0,1), i1, n1,X n N (,1), 且相互獨立，于是因為代入（ 1），第一條結(jié)論可得證。直接計算可得于是代入（ 2）便證明了第二條結(jié)論。三、卡方分布的概率密度函數(shù)：其中Dx 為n 維x 空間內(nèi)由不等式x12xn2z所定的區(qū)域。即， Dz 為n 維x 空間內(nèi)以坐標(biāo)原點為球心、z 為半徑的球面所圍成的區(qū)域（邊界不在內(nèi)）可以利用極坐標(biāo)來計算這積分。令與這變換相應(yīng)的函數(shù)行列式為：其中括號和都表示1,n 1 的函數(shù)。因此。當(dāng)z0 時，C 是常數(shù)。為了定出 C, 在上述等式的兩端令r, 得到從而，在 分 母 內(nèi) 的積 分 中 令 1 r 21， 即 ， 用 r2 2 作代換，那

3、么，這個積分等于2n -1n11nnn dnn2 22212 d2 2212 21102022n因此，C2n 1n2 22從而，當(dāng) z0 時，即，2的密度函數(shù)為稱這個密度函數(shù)所定的分布為自由度為n 的2 分布，記作（ n）2 。它的圖像如下：圖（一）2 分布密度函數(shù)圖四、卡方分布的累積分布函數(shù)為：Fk xk 2, x2 ，k2其中 (k,z) 為不完全 Gamma函數(shù)。其圖像如下：圖（二）2 分布的分布函數(shù)圖五、 卡方分布的特征函數(shù)及其推導(dǎo)：特征函數(shù)：(t)（）=f(x)dx=dx=六、 論證過程中的心得體會：首先通過對卡方的研究和證明，提高了我們對數(shù)學(xué)的興趣。其次，通過這次的推導(dǎo)和搜索資料進(jìn)

4、行分析，大大提高了我們的獨立思考的能力，我們當(dāng)中很多同學(xué)之前都很害怕類似的證明題，這一次的合力解決難題使我們信心倍增。當(dāng)然同時，這個合作鍛煉了我們團(tuán)隊合作的能力，分工合作解決問題，有的人負(fù)責(zé)收集資料，有點人負(fù)責(zé)推導(dǎo)公式，有的人負(fù)責(zé)輸入文章，整理公式，等等。這讓大家明白了團(tuán)結(jié)的力量。做出合理的時間安排， 做任何事情，合理的時間安排非常重要，多元課程設(shè)計也是一樣，事先要做好一個規(guī) 劃，課程設(shè)計一共分 5 個板塊（定義，性質(zhì)，特征函數(shù)，密度函數(shù)，分布函數(shù)，心得體會）。你每 天要做完哪幾個板塊事先要確定好，這樣做才會使自己游刃有余，保證在 2 周時間內(nèi)內(nèi)完成論文，以避免由于時間上的不妥，以致于最后無法

5、完成論文。另外，寫論文的過程中也使我們對論文的格式有了一個了解，更規(guī)范更具體，為以后的學(xué)業(yè)報告做了一次很好的準(zhǔn)備。論文屬于科學(xué)性的文章，它有嚴(yán)格的書寫格式規(guī)范，因此一篇好的論文一定 要有正確的格式，論文格式錯誤就不能得到好成績，因此我們寫論文時要端正態(tài)度，注意書寫格式。多元課程的設(shè)計更加是豐富了我們的業(yè)余生活， 讓大家聚在一起討論題目， 其樂融融。這樣的課程設(shè)計也能使我們找到志同道合的朋友，發(fā)現(xiàn)生活中的點滴數(shù)學(xué)趣事，從實際出發(fā)思考題目，同時我們對計算機的知識也有了一定的加深， matlab 的使用等等。t 分布的有關(guān)知識t 分布的概述及其歷史在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，學(xué)生t - 分布（ Studen

6、tst -distribution）應(yīng)用在當(dāng)對呈正態(tài)分布的母群體的均值進(jìn)行估計。它是對兩個樣本均值差異進(jìn)行顯著性測試的學(xué)生t 測定的基礎(chǔ)。t 檢定改進(jìn)了Z 檢定，不論樣本數(shù)量大或小皆可應(yīng)用。在樣本數(shù)量大（超過120 等）時，可以應(yīng)用Z 檢定，但Z 檢定用在小的樣本會產(chǎn)生很大的誤差，因此樣本很小的情況下得改用學(xué)生t 檢定。在數(shù)據(jù)有三組以上時，因為誤差無法壓低，此時可以用變異數(shù)分析代替學(xué)生t 檢定。當(dāng)母群體的標(biāo)準(zhǔn)差是未知的但卻又需要估計時，我們可以運用學(xué)生t - 分布。學(xué)生 t - 分布可簡稱為t 分布。其推導(dǎo)由威廉戈塞于1908 年首先發(fā)表，當(dāng)時他還在都柏林的健力士釀酒廠工作。因為不能以他本人的

7、名義發(fā)表，所以論文使用了學(xué)生（ Student ）這一筆名。之后t檢驗以及相關(guān)理論經(jīng)由羅納德費雪的工作發(fā)揚光大，而正是他將此分布稱為學(xué)生分布由于在實際工作中，往往 是未知的，常用s 作為 的估計值，為了與u 變換區(qū)別，稱為 t 變換 t = xu ，統(tǒng)計量 t 值的分布稱為 t 分布。sxt 分布的分布函數(shù)及證明用 T (x; n) 表示 tn 分布的分布函數(shù)，則證明 根據(jù)分布函數(shù)的定義有當(dāng) x 0時，上式為由于t ( y; n)dy1 ，故立即可得A11/ 2 ，為了計算A2 ，我們做變換ty2 /( ny 2 ) 則dy (n y2 )2 /(2ny) dt13t 2(1t) 22dt ，

8、因此故 T (x; n) A1 A211 IX 2 /( n x2 )( 1 , 1 n)2222而當(dāng) x0 時，我們有然后利用剛剛的討論可知綜上所述便得我們所要的結(jié)論。t 分布的密度函數(shù)及證明設(shè), z 為相互獨立隨機變量，服從正態(tài) N (0,1), z 服從自由度為 n 的 2 分布，則t=z的密度函數(shù)為n稱 f t ( x) 是自由度為 n 的 t 分布（或 Student 分布）的密度函數(shù)，證：首先，易知 與 zn 相互獨立，事實上，故得證 與 zn是相互獨立的 . （其實，由商的密度函數(shù)為證明過程用到公式t 分布的 w特征函為：t 分布有如下特征：1、 t 分布是對稱分布，且其均值為0

9、2 分布是一簇曲線， 其形態(tài)變化與 （確切地說與自由度）大小有關(guān)。自由度越小，tnt 分布曲線越低平；自由度 越大， t 分布曲線越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（ u 分布）曲線，如圖1。3、 t 分布是一個分布族，對于不同的樣本容量都對應(yīng)不同的分布，且其均值都為0。4、與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比，t 分布的中心部分較低，2 個尾部較高。5、變量 t 的取值范圍在到之間圖 1 自由度為1、 5、 的 t 分布t 分布有如下性質(zhì)：性質(zhì) 1令 g( x)(1x2) (n 1) / 2n則 g ( x)n 1 (1x 2 ) ( n 3 ) / 2xnng (x)n1(1x2)(n5)/2 (1x2n3 x2 ) 故

10、g( x) 0 的解為 xn /(n 2) ，即分nnnn布密度在 xn /(n2) 處有拐點。性質(zhì) 211x2lim t( x; n)e 22n性質(zhì) 3設(shè) X t n，若 rn ，則 E( X r ) 存在；若 rn ，則 E(X r ) 不存在。此點由微積分中判別積分收斂的法則很容易看出。若 rn ，且 r 為奇數(shù)，由于函數(shù) xr(1x2/ n)(n1) / 2 是 x 的奇函數(shù)，因此，r 0 ；若 rn 且 r 為 偶 數(shù) ， 可 以 算 得rrnr / 21 3 5 (r 1)特 別(n2)(n 4) (n r )E(X)0,Va( Xr )n, n 3,4,r1 0, r2n6, n

11、5,6,n24性質(zhì) 4 t n 分布由于只有 n1階矩存在，故沒有矩母函數(shù)存在。性質(zhì) 5如 X1和 X 2 獨立同分布于2n ，則隨機變量 Y1( X 2 X 1 ) / X 1 X 2 t n 。2t 分布的分位數(shù)t 分布的分位數(shù)記作 t n . 如圖所示，當(dāng) Xt n 時， P X t n=. 給出概率和自由度 n , 可從 t 分布的分為表中查出 tn . 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相類似 ,根據(jù) t 分布密度曲線的對稱性 , 也有 t nt1 n , 論述同 uu1 . 如果在 t 分布的分為表中沒有負(fù)的分位, 則先查出 t1n , 然后得到 t nt 1 n .例如 ,t 0.95 4 2.13

12、2, t 0.9754 2.776,t 0.995 44.604,t 0.005 44.604, t 0 .025 42.776,t 0.02542.132另外 , 當(dāng) n30 時,在比較簡略的表中查不到t n , 可用 u 作為 t n 的近似值 .t 分布的分位數(shù)t 分布表n0.250.20.150.10.050.0250.010.0050.00250.0010.000511.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657127.32318.31636.6220.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.08923

13、.32631.59830.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.21312.92440.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.6150.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.86960.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.95970.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.40880.7060.8

14、891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.04190.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781100.700.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318130.6940.8701.0791.3501.771

15、2.1602.6503.0123.3723.8524.221140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.14150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783

16、.1973.6103.922190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.85210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.8073.1043.4853.76724

17、0.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.69280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674290.6830.8541.0551

18、.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.7503.0303.3853.646400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.7042.9713.3073.551600.6790.8481.0451.2961.6712.0002.3902.6602.9153.2323.461200.6770.8451.0411.2891.6581.982.3582.6172.8603.1603.3730.6740.8421.0361.2821.6451.962.326

19、2.5762.8073.093.291廣義非中心 t 分布定義：1設(shè)xx1其中x( 2): n 1且 （,0,）。（*）x( 2) ECn 1 ( , I n 1, ),0t稱為廣義非中心 t 分布，記為t Gt n (, ) 或 t Gt n (, f ) 。定理 1：設(shè) t Gt n ( , f ) ，則 t的密度是（ *1）1n1 (n 1)2 )y n dy ,2(n) 2(n t 2 ) 2f ( y221 y10(n)21n 2 X 11 的分布( x( 2) x( 2) ) 2t ，其中1t /( nt 2 ) 2 。證：設(shè) x ECn 1 (, I n 1 , f ) ，其中(

20、 ,0,0)且 h() 是 Borel函數(shù)使得 E(h(t )。1mm1 m 11 mx2i )dx1 , , dx m( )21 m)1 I 1 ( f 1 m) 對 于利 用f (y 2f ( y)dy( ) 2(11022(m)21n122X 2 , X n1 ，則我們有 E (h(t)h( n 2 x1 / r ) f ( x1)2r2 ) rn1drdx 1( 1 n)0221 n12（ *2）10h(t) f (tr / n 2) 2r 2 )r n drdt( 1 n)n 22因此， t 的密度是1 n122f (t2n)r2n12t rn22)rndr ，1( 1 n)0n 2

21、21令 y(t 2n) / n) 2 r ，我們立得（ * ）。當(dāng)0 時，（ *1 ）成為我們熟悉的密度 t 。1 n推論 1：設(shè) t Gt n ( , f ), E h(t )，則（ *3 ）E(h(t)2 2M ( ) n f ( 2 )d , 其中（ *4 ）10()21M ( )x(h( n 20cos ) /(sin ) sin n 1 d。證：做變換x1推論 2：設(shè) E tkcos , rsin ，則由（ *2 ）結(jié)論得證。1 k( 1 ( n k )k! k 21n 2k 2 j2( k 2 j )，則（ *5 ） E(t k )222 jj! (k 2 j )! cn k 2

22、j 11n)j 0(21l )(其中 x 表示 x 的整數(shù)部分， 且 c 由 cl 1 l2定義。特別（注意 cn 11）r l 1f (r 2 )dr2 20E(t)（*6 ）E(t 2 )var(t )1( 1 (n(n ) 21)2n1(1 n)cn2n2 2 21n2ncn1n221n2cn1n2 ( (1 ( n 1) /( ( 1 n)cn 1 ) 222由（ *3 ），（ *4 ）和 Legendre 倍量公式 (2a)22 a 11 ) ，結(jié)論得證。1(a) (a22分布一、定義如果隨機變量的密度函數(shù)為則稱隨機變量服從第一自由度為，第二自由度為的 分布，記為。二、性質(zhì)1、設(shè)隨機

23、變量 與 相互獨立， 且 ， ，則隨機變量證明： 因為隨機變量 與 分別 分布，所以其密度函數(shù)分別為。，由商的密度函數(shù)公式，故得令，得，其中所以，隨機變量。2、設(shè)隨機變量，則， D。解：令，得令，得同理可得，D3、設(shè)隨機變量證明： 因為隨機變量，則。，所以其密度函數(shù)為。則的密度函數(shù)為所以，。4、若隨機變量，則。證明： 因為隨機變量，所以其密度函數(shù)為的密度函數(shù)為所以，。三、非中心分布設(shè)，且 與 相互獨立，令，則稱 服從自由度為，非中心參數(shù)為的非中心分布，記為。隨機變量的密度函數(shù)為證明：的聯(lián)合分布為作變換則的聯(lián)合分布為的邊沿分布為將 改為，即為所證。二次型的分布一 Wishart分布設(shè) x1 ,

24、xn 相互獨立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0,1)分布，令X(x , x )，則1nY XXnxi2 2 (n)i 1其密度函數(shù)為：n1y , y2n /2y n /21 exp0,22而在 x1, xn 相互獨立同正態(tài) N (0,2) 分布時， Y 2 2n ，其密度函數(shù)為：1yn/2nn n /2122yexp22 , y0,下面將上述結(jié)果推廣至多元正態(tài)分布的情況。二 Wishart 分布的定義假設(shè) Y 1 ,Y 2 ,., Y m 相互獨立，0 ， Y Y 1 , Y 2 ,., Y mmY a Y a ，則稱隨機陣 U 服從自由其中：p m ， UYY 1度為 m ，非中心參數(shù)為 Mu 1 , u2

25、 ,., u mp m=E Y的非中心wishart分布，記為u Wp m,; M ，特別地，當(dāng) M0,0,.,0時，則稱之為中心wishart分布，記為：u Wp m,，其概率密度為：1nppn p 1f W ,2 2np 1200, 其它N P 11 t1W,W 0W 2 expn22其中 Waijpp 為對稱陣，是隨機矩陣 U 的觀測值矩陣。三 Wishart 分布的特征函數(shù)定理：如果 S Wp m,，（0 已蘊含在 W 分布的定義中），則 sTI P2i Tm2 ，其中 Ttijpp 為實變元對稱陣。證明： 因為 S Wp m,，所以 S 可表示為 fm,其中Y1,Y 2 ,., Y

26、mYY獨立同1分布與 N p 0,0。有隨機矩陣特征函數(shù)的定義可知s TEeitT S,且T T,因此有：m TmTmmTYtr T StrTStrSTtrYYtrY YtrYTYY從 而111mTYiYmTYs TEe1E eiY LEeiY TY m ，其中 Y NP0, 由對角定理，對1于對稱陣 T 及正定陣1 ，必存在奇異陣 B 使得 :B 1BI P ,即 1B1a10B1Y, 反之B1，BB , B TBa , 做 變 換 X0a nY B X，則 :X N p 0, B 1 ( B 1 ) 1由于BB，所以 X NP 0, 。記 XX1,X2, , XP,則有 X1, X PN1

27、 0,1 , 故有 XK2 X12, K1, P .p11iY TYiX B TBXik X k2p2I p 2iE ei 11 2i k2從而 E eE ek 1而 I p 2iB1B12iTB =12iTI P2iTB 2iBTBm因此有 s TI P2iT 2 。反之，若是對稱陣 S 的特征函數(shù)s TI P2iTm2 ，則 S WP m, 。四 Wishart 分布的性質(zhì)性質(zhì) 1：設(shè)總體 XNPu, 則樣本離差陣 S服從自由度為 n-1的 wishart分布，即 :n_SX iX XiXWPn 1,i 1n_1II,由H2證明： SX iX XiXXHX ,且HIH 和 rk ( H )

28、n1 ，i 1n由定理： X 為 N p0,的 np 階數(shù)據(jù)陣， rkAr ， A 為 n n 對稱陣，且 A2A ，則X AX WPr ,，則 XHX n1,。性質(zhì) 2：（可加性）設(shè)W1 WP n2 P2,且 W1 ,W2相互獨立，則1 , W, W n2 Pn 12。W1W Wn ,證：（用特征函數(shù)）由 W1WPn1,W2WPn2 ,，可知其特征函數(shù)分別為m1m21 TI p2iT2 , 2TI p2iT2 ，又由 W1, W2 相互獨立，可推之 W1 W2的特征函mm21數(shù)為T1T2 TI p2i T2 ，由定理 1 之逆可知，1 2P1 2成WW Wnn ,立。性質(zhì) 3：設(shè)WWPn,，

29、對 任意 m p 階常數(shù)矩 陣 C, 有 CWC Wmn, C C , 特別 的有，aW WP n, a（ a0 ，為常數(shù)）。證明 ： 由 W WP n,N,其中X1, ,XN，可知WX X相互獨立，且1X N p u , , 0,1, ,N,Mu 1 , u N ，故 CWCNC 1， ,CXN 也相互獨立，CXCX,而CX N PCu ,C，且 CX1則 CWC Wm n,C C 。同理得：WP,，為常數(shù)）。aWn a（ a 0關(guān)于 p階 wishart 分布密度函數(shù)有以下說明：（ 1）、 W 是 p階對稱陣 ,(3)式是 W 的 p( p 1) / 2 個變量，11, 1p , 22 , 2 p ,pp的密度函數(shù)，而積分區(qū)域是使得 W 0 的這些變量所構(gòu)成的區(qū)域。（ 2）、為了使得 p階 wishart分布有密度函數(shù)，除了0 ，為什么還要求 n p ?這是因為 p階矩陣 W以概率 1 為正定矩陣的充要條件是 np 。證：由于 WXX ，X 是 np 階矩陣，所以 np 時， p 階矩陣 W不可能是正定矩陣。 此外，np在 np 時， WX Xxi xixi xi, 所以欲證W 以概率 1 為正定矩陣的充要條件是i1i 1np ，僅需要證明在 np 時， p(W 0)1。在 np 時，由于 W XX ，所以W不是正定矩陣X0 。令