2020年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編專題9：一元二次方程及其應(yīng)用

1、一元二次方程及其應(yīng)用一、選擇題1. （浙江杭州蕭山區(qū)模擬）下列關(guān)于方程X2+X-1=0的說法中正確的是（）A.該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且它們互為相反數(shù)C.該方程有一根為,2D.該方程有一根恰為黃金比例【考點(diǎn)】根的判別式；解一元二次方程-公式法.【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程根的意義逐一進(jìn)行判斷即可.【解答】解：A、=12+4X10,程X2+X-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；日方程兩根的和為-1,它們不互為相反數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C把X=5代入X2+X-1得X2+XW0,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；DK把X=-I代入X2+X-1得X2

2、+X=0,故此選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的解，根的情況與判別式的關(guān)系：（1）4。？方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）A=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）0,即22-4X(m-2)X10,然后解不等式組即可得到m的取值范圍.【解答】解：.關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，.m2金0且40,即224X(m2)X10,解得m2B,a2C,al.【考點(diǎn)】根的判別式；一元一次方程的解.【分析】需要分類討論：當(dāng)該方程是一元一次方程時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)m-5=0;當(dāng)該方程是一元二次方程時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)m-5W0,A0;綜合即可求得m滿足的條件.【解答】解：當(dāng)關(guān)于x的方

3、程（m-5）x2+4x-1=0是一元一次方程時(shí)，m-5=0,解得，m=5當(dāng)（m-5）x2+4x-1=0是一元二次方程時(shí)，=16-4X（m-5）X（-1）0,且m-50,解得，ml且m5;綜合知，m滿足的條件是1.故答案是：m1.【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，解答本題要注意分類討論，切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件.5 .（天津五區(qū)縣一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+b-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b的值是2.【考點(diǎn)】根的判別式.【專題】計(jì)算題.0,即可求出b的值.【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式的值等于【解答】解：根據(jù)題意得：=b

4、2-4（b-1）=（b-2）2=0,則b的值為2.故答案為：2【點(diǎn)評】此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值等于0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式的值小于0,方程沒有實(shí)數(shù)根.6 .（重慶銅梁巴川一模）從-3,-2,-1,0,1,2,3這七個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a,則a的值是不等式組的解，但不是方程x2- 3x+2=0的實(shí)數(shù)解的概率【分析】首先解不等式組，即可求得a的取值范圍，解一元二次方程x2-3x+2=0,可求得a的值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案.、肝5募【解答】解：士，|-2,由得：x-J|,a的值是不等式組2的解，且,的解，但

5、不是方程 x2- 3x+2=0的實(shí)數(shù)解的概率為：.a的值是不等式組J3+二1322故答案為：專7. (山西大同一模)某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，銷售單價(jià)由原來的125元降到80元,則平均每次降價(jià)的百分率為.答案：20%8. (云南省一模)一元二次方程6x2-12x=0的解是x產(chǎn)0,x2=2.【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.【專題】計(jì)算題.【分析】利用因式分解法解方程.【解答】解：6x(x-2)=0,6x=0或x-2=0,所以x1=0,x2=2.故答案為xi=0,X2=2.【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩

6、個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.9. （云南省二模）一元二次方程X24x+4=0的解是xi=X2=2.【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.【分析】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再開方，即可求出答案.【解答】解：x2-4x+4=0,（x-2）2=0,x-2=0,x=2,即xi=x2=2,故答案為：xi=x2=2.【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確配方是解此題的關(guān)鍵.10. （上海閔行區(qū)二模）方程缶+3=2的解是.【考點(diǎn)】無理方程.【專題】推理填空題.【分析】根據(jù)解無理方程的方

7、法可以解答本題.【解答】解：倔花=2,兩邊平方，得2x+3=4,檢驗(yàn)：當(dāng)x=時(shí)，故原無理方程的解是x弓.二注意最后要進(jìn)行檢驗(yàn).【點(diǎn)評】本題考查解無理方程，解題的關(guān)鍵是明確解無理方程的解11. （上海浦東模擬）方程5x3的解是答案：x412. （吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)一模）一元二次方程2x2x10的根的判別式的值是.答案：94+2 .2【考點(diǎn)】解7L13. （江蘇常熟一模）如圖，在？ABC邛,AUBC于E,AE=EB=EC=a且a是一元二次二次方程-因式分解法；平行四邊形的性質(zhì).計(jì)算題.【分析】先解方程求得a,再根據(jù)勾股定理求得AB,從而方t算出？ABCM周長即可.【解答】解：是一元二次方程x

8、2+2x-3=0的根，(x1)(x+3)=0,即x=1或-3,.AE=EB=EC=aa=1,在RtABE中，AB=/a2+a=/2a=/2,?ABCDW周長=4a+2/la=4+的.故答案為：4+2.【點(diǎn)評】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四邊形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.214. （廣東河源一模）已知關(guān)于x的一兀二次萬程kx22x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。答案：k-1且kw015. （廣東深圳聯(lián)考）關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.16. （江蘇省南京市鐘愛中學(xué)九年級下學(xué)期期初考試）一元二次方程x

9、2-2x=0的解是.答案：xi=0,X2=217. （江蘇省南京市鐘愛中學(xué)九年級下學(xué)期期初考試）網(wǎng)購悄然盛行，我國2012年網(wǎng)購交易額為1.26萬億人民幣，2014年我國網(wǎng)購交易額達(dá)到了2.8萬億人民幣.如果設(shè)2013年、2014年網(wǎng)購交易額的平均增長率為X,則依題意可得關(guān)于x的一元二次方程為.答案：1.26（1+x）2=2.818. （上海市閘北區(qū)中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測4月卷）某企業(yè)2013年的年利潤為100萬元，2014年和2015年連續(xù)增長，且這兩年的增長率相同，據(jù)統(tǒng)計(jì)2015年的年利潤為125萬元.若設(shè)這個(gè)相同的增長率為x,那么可列出的方程是.答案：100（1+x）2=125；19. （吉林

10、長春朝陽區(qū)一模）一元二次方程x2-2x+2=0根的判別式的值是-4.【考點(diǎn)】根的判別式.【分析】直接利用根的判別式=b2-4ac求出答案.【解答】解：一元二次方程x2-2x+2=0根的判別式的值是：=（-2）2-4X2=-4.故答案為：-4.【點(diǎn)評】此題主要考查了根的判別式，正確記憶公式是解題關(guān)鍵.20. （湖南湘潭一模）方程,q2的根是（x3）x3答案：x1=3x2=421. （黑龍江齊齊哈爾一模）某電腦批發(fā)店的一款鼠標(biāo)墊現(xiàn)在的售價(jià)為每個(gè)30元，每星期可賣出1000個(gè).市場調(diào)查反映，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出100個(gè)；每降價(jià)1元，則多賣出100個(gè).已知進(jìn)價(jià)為每個(gè)20元，當(dāng)鼠標(biāo)墊售價(jià)為元/個(gè)時(shí)

11、，這星期禾I潤為9600元.答案：28或3222. （廣東一模）關(guān)于x的方程a（xm）2b0的解是x1=-2,x2=1（a,mjb均為常數(shù)，aw0）,則方程a（xm2）2b0的解是。答案：x1= -4x2= -1三、解答題1、（棗莊41中一模）（1）解方程：x2-4x+2=0解：（1）方程整理得：x2-4x=-2,配方得：x2-4x+4=2,即（x2）2=2,開方得：x-2=,解得：x1=2+,x2=2-;2、（棗莊41中一模）某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具.（1）不妨設(shè)

12、該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x40）,請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤w元，并把結(jié)果填寫在表格中：銷售單價(jià)（元）x銷售量y（件）1000-10x銷售玩具獲得利潤w（元）-10x2+1300x-30000（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元.（3）在（1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用.【專題】優(yōu)選方案問題.【分析】（1）由銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具得y=60

13、0-（x-40）X10=1000-10x,J潤=（1000-10x）（x-30）=-10x2+1300x-30000;（2）令10x2+1300x-30000=10000,求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范圍，然后把w=-10x2+1300x-30000轉(zhuǎn)化成y=-10（x-65）2+12250,結(jié)合x的取值范圍，求出最大利潤.【解答】解：（1）銷售單價(jià)（元）x銷售量y（件）1000-10x銷售玩具獲得利潤w（元）-10x2+1300x-30000(2)-10x2+1300x-30000=10000解之得：Xi=50,X2=80答：玩具銷售單價(jià)為50元或80元時(shí)，可獲得10000元銷售利

14、潤，(3)根據(jù)題意得解之得：44WXW46,w=-10X2+1300X-30000=-10(x-65)2+12250,.a=-10v0,對稱軸是直線x=65,.當(dāng)44x46時(shí)，w隨X增大而增大.當(dāng)x=46時(shí)，W最大值=8640(元).答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤為8640元.3. (天津市南開區(qū)一模)某商店以40元/千克的單價(jià)新進(jìn)一批茶葉，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.(1)根據(jù)圖象求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)商店想在銷售成本不超過3000元的情況下，使銷售利潤達(dá)到2400元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；一元二

15、次方程的應(yīng)用.【分析】(1)根據(jù)圖象可設(shè)y=kx+b,將(40,160),(120,0)代入，得到關(guān)于k、b的二元一次方程組，解方程組即可；(2)根據(jù)每千克的利潤X銷售量=2400元列出方程，解方程求出銷售單價(jià)，從而計(jì)算銷售量，進(jìn)而求出銷售成本，與3000元比較即可得出結(jié)論.【解答】解：(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,將(40,160),(120,0)代入，得，解得所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+240(40x1200,，x取得最小值1200時(shí)，1800-x取得最大值600,答：最多用600元購買B種跳繩;(2)根據(jù)題意得：25(1+4a%X72(1-2.5a%)=1350,令a

16、%=m則整理得：40m?-6m-1=0,解得：m=或a=(舍去)，410a=25所以a的值是25.225.(四川峨眉二模)先化簡，再求值：-一44-X-4,其中x的值是方程x2x0xx2x的根.答案：解：原式=242x(x44x)xx2x24x4(x2)(x2)xx(x2)2，x4x4(x2)xx=x2x的值是方程x2x0的根，且x0x1當(dāng)x1時(shí)，原式=12=16.(鄭州二模)(9分)已知：關(guān)于x的一元二次方程x22xk0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍；(2)當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，用合適的方法求該方程的解.【解答】解：(1)關(guān)于x的一元二次方程x22xk0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，224

17、ko.解得k1.(2).k1,符合條件的最大整數(shù)k0,此時(shí)方程為x22x0.x(x2)0.x10,x22.7. (江蘇常熟一模)解方程：(1) x2+3=3(x+1);(2)2x2-4x+1=0.【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.【專題】方程思想.【分析】(1)可先對方程進(jìn)行去括號(hào)、移項(xiàng)、化簡，然后提取公因式，再根據(jù)“兩式相乘值為0,這兩式中至少有一式值為0”來解題.(2)觀察原方程，可用公式法進(jìn)行求解，首先確定a,b,c,再判斷方程的解是否存在，若存一在代入公式即可求解.【解答】解：(1).x2+3=3(x+1),21 -x+3=3x+3,2 .x2-3x=0,x(

18、x-3)=0,x1=0,x2=3;(2) a=2,b=-4,c=1,b-4ac=16-8=80,x=X1=,x2.22【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法.8. (江蘇丹陽市丹北片一模)(1)解方程：x23x20102,21xx-62-x2x3x1,(2)解不等式組：1x22(x1).答案：(1)x11,x22x=-5(檢驗(yàn))x59. (河南洛陽一模)(9分)已知關(guān)于x的方程x2-(m+2)x+(2m-l)=0(1) 求證：方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若此方程的一個(gè)根是1,請求出方程

19、的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.(1)證明：=(m+2)24(2m-1)=(m-2)2+4,，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，(m-2)2+440,即40.關(guān)于x的方程x2(m+2)x+(2m-1)=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)二.此方程的一個(gè)根是1,12-1x(2)+(2m-1)=0,解得，m=Z則方程的另一根為：m+2-1=2+1=3.該直角三角形的兩直角邊是1、3時(shí)，由勾股定理得斜邊的長度為屈，該直角三角形的周長為1+3+屈=4+屈.當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時(shí)，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2-J2-,則該直角三角形的周長為1+3+2j2=4+2

20、J2.10. (湖南省岳陽市十二校聯(lián)考一模)學(xué)校去年年底的綠化面積為5000平方米，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7200平方米，求這兩年的年平均增長率.【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【專題】增長率問題.【分析】設(shè)這兩年的年平均增長率為x,根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.【解答】解：設(shè)這兩年的年平均增長率為x,根據(jù)題意得：5000(1+x)2=7200,即(1+x)2=1.44,開方得：1+x=1.2或x+1=-1.2,解得：x=0.2=20%,或x=-2.2(舍去).答：這兩年的年平均增長率為20%【點(diǎn)評】考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題為增長率問題，一般形式為a(1+x)2=b,a為起始時(shí)間

21、的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量.11. (湖北襄陽r一模)某省為解決農(nóng)村困難戶住危房的問題，決定實(shí)行精準(zhǔn)扶貧。省財(cái)政部門共投資10億元對各市的“危房改造”予以一定比例的補(bǔ)助.2013年，A市在省財(cái)政補(bǔ)助的基礎(chǔ)上投入600萬元用于“危房改造”，計(jì)劃以后每年以相同的增長率投資，2015年該市計(jì)劃投資“危房改造”864萬元.(1)求A市投資“危房改造”費(fèi)用的年平均增長率；(2)從2013年到2015年，A市三年共投資“危房改造”多少萬元？答案：解：(1)設(shè)求A市投資“危房改造”費(fèi)用的年平均增長率為X,得，600(1x)2864解之得，X10.2,X22.2(不合題意，舍去)X10.220%答：A

22、市投資“危房改造”費(fèi)用的年平均增長率為20%.(2)由題意得，600+600(1+X)+864=600+600X120%+864=2184(萬元)答：從2013年到2054年，A市三年共投資“危房改造”2184萬元.12. (廣東深圳一模)據(jù)媒體報(bào)道，我國2009年公民出境旅游總?cè)藬?shù)約5000萬人次，2011年公民出境旅游總?cè)藬?shù)約7200萬人次，若2010年、2011年公民出境旅游總?cè)藬?shù)逐年遞增，請解答下列問題：(1)求這兩年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)的年平均增長率；(2)如果2012年仍保持相同的年平均增長率，請你預(yù)測2012年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)約多少萬人次？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【專

23、題】增長率問題.【分析】(1)設(shè)年平均增長率為X.根據(jù)題意2010年公民出境旅游總?cè)藬?shù)為5000(1+X)萬人次，2011年公民出境旅游總?cè)藬?shù)5000(1+X)2萬人次.根據(jù)題意得方程求解；（2）2012年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)約7200（1+x）萬人次.【解答】解：（1）設(shè)這兩年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)的年平均增長率為x.根據(jù)題意得：5000（1+x）2=7200,解得xi=0.2=20%,X2=-2.2（不合題意，舍去）.答：這兩年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)的年平均增長率為20%（2）如果2012年仍保持相同的年平均增長率，則2012年我國公民出境旅游總?cè)藬?shù)為7200（1+x）=7200X（1+20%=8640（萬人次）.答：預(yù)測2012