導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則

1、4.2 導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則 )()(xgxf)()(xgxf 前面學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則，下面進(jìn)行前面學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則，下面進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧： 對(duì)于導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則，我們能否給出這對(duì)于導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則，我們能否給出這樣的結(jié)論呢？樣的結(jié)論呢？)()()()(),()()()(xgxfxgxfxgxfxgxf答案是否定的，那么如何求導(dǎo)數(shù)的乘法與除法？請(qǐng)答案是否定的，那么如何求導(dǎo)數(shù)的乘法與除法？請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！1.1.了解兩個(gè)函數(shù)的乘、除的求導(dǎo)公式了解兩個(gè)函數(shù)的乘、除的求導(dǎo)公式. .2.2.會(huì)運(yùn)用公式，求含有和、差、乘、除綜合運(yùn)算的函會(huì)運(yùn)用公式，求

2、含有和、差、乘、除綜合運(yùn)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù). .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）3.3.函數(shù)和、差、乘、除導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的函數(shù)和、差、乘、除導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)幾何意義，求過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn). .（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 導(dǎo)數(shù)乘法公式的推導(dǎo)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)乘法公式的推導(dǎo)應(yīng)用提示：提示： 計(jì)算導(dǎo)數(shù)的步驟計(jì)算導(dǎo)數(shù)的步驟 求求y求求xy求求xyx0lim20020yf(x)xf (x ),g(x)x .yf(x)g(x)x f(x)x設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為我們來(lái)求在處的導(dǎo)數(shù).解析：解析：給定自變量給定自變量x x0 0的一個(gè)改變量的一個(gè)改變量x x，則函數(shù)值，則函數(shù)值

3、y y的的改變量為改變量為220000220000222000000222000000yxxf(xx)x f(x ),(xx) f(xx)x f(x )yxx(xx)f(xx)f(x )(xx)xf(x )xf(xx)f(x )(xx)x(xx)f(x ).xx 相應(yīng)的平均變化率可寫(xiě)成2200 x0000 x022000 x0 x0,lim(xx)x ,f(xx)f(x ) limf (x ),x(xx)x lim2x ,x 令由于)()()(2xfxxgxf知知 在在x x0 0處的導(dǎo)數(shù)值為處的導(dǎo)數(shù)值為 因此，因此， 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為)(2xfx22x f (x)(x ) f(x).2000

4、0 x f (x )2x f(x ).抽象概括抽象概括 一般地，若兩個(gè)函數(shù)一般地，若兩個(gè)函數(shù)f(x)f(x)和和g(x)g(x)的導(dǎo)數(shù)分的導(dǎo)數(shù)分別是別是 ，我們有，我們有 )()(xgxf和f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g (x),2f(x)f (x)g(x)f(x)g (x).g(x)g (x) 比較與加減比較與加減法則的不同法則的不同特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 . .kxg)()()(xf kxkf思考交流：思考交流：下列式子是否成立？試舉例說(shuō)明下列式子是否成立？試舉例說(shuō)明.設(shè)設(shè) ，試說(shuō)明：，試說(shuō)明：23)(,)(xxgxxf)()()()(xgxfxgxf)()()(

5、)(xgxfxgxf，. .解析：解析：32543223f(x)g(x)x x(x )5x ,f (x)g (x)(x ) (x )3x 2x6x ,顯然顯然同理同理)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf.例例1 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：解：（1 1）函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2e ex x是函數(shù)是函數(shù)f f（x x）=x=x2 2與與g g（x x）=e=ex x之積，由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出之積，由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出xf (x)2x,g (x)e 2xx2x2x(x e )2xex e(2xx )e . 根據(jù)兩函數(shù)之積的求導(dǎo)法則，可得根據(jù)兩函數(shù)之積的

6、求導(dǎo)法則，可得x.xyxxyexyxln)3(.sin)2(.)(21（2 2）函數(shù)）函數(shù) 是函數(shù)是函數(shù) 之積，由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出之積，由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出xxysinxxgxxfsin)()(與1f (x),g (x)cosx.2 xsinx( x sinx)x cosx.2 x根據(jù)兩函數(shù)之積的求導(dǎo)法則，可得根據(jù)兩函數(shù)之積的求導(dǎo)法則，可得（3 3）函數(shù)）函數(shù) 是函數(shù)是函數(shù) 之積，由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出之積，由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出根據(jù)函數(shù)乘法的求導(dǎo)法則，可得根據(jù)函數(shù)乘法的求導(dǎo)法則，可得xxylnxxgxxfln)()( 與1f (x)1,g (x).x1(xlnx)1 lnxxlnx1.x 例例

7、2 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2sinxx(1)y; (2)y.xlnxxxysin. 1)(,cos)(xgxxf解：解：(1)(1)函數(shù)函數(shù) 是函數(shù)是函數(shù) f f（x x）=sinx=sinx與與g g（x x）=x=x之商，由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出之商，由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出由求導(dǎo)的除法法則得由求導(dǎo)的除法法則得22sinxcosx xsinx 1xcosxsinx.xxx（2 2）函數(shù)）函數(shù) 是函數(shù)是函數(shù) f f（x x）=x=x2 2與與g g（x x）=ln x=ln x之商，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表分別得出之商，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表分別得出xxyln2.1)(,2)(xxgxxf由求導(dǎo)的除

8、法法則得由求導(dǎo)的除法法則得222212x lnxxxx(2lnx1)x.lnx(lnx)ln x求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解析：解析：3x1(1)yx sinx.(2)y.x123(1)y3x sinxx cosx. 【變式練習(xí)變式練習(xí)】22(x1)(x1)(2)y(x1)2.(x1) 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用 較為復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算，一般綜合了和、差、較為復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算，一般綜合了和、差、積、商的幾種運(yùn)算，要注意：積、商的幾種運(yùn)算，要注意：(1)(1)先將函數(shù)式化簡(jiǎn)，先將函數(shù)式化簡(jiǎn)，化為基本初等函數(shù)的和、差、積、商化為基本初等函數(shù)的和、差

9、、積、商.(2).(2)根據(jù)導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和公式求導(dǎo)，注意公式法則的數(shù)的四則運(yùn)算法則和公式求導(dǎo)，注意公式法則的層次性層次性例例3 3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：22cosxx(1)yx (lnxsinx).(2)y.x1f (x)2x,g (x)cosx.x解：解：（1 1）函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2(ln x+sin x)(ln x+sin x)是函數(shù)是函數(shù)f f（x x）=x=x2 2與與g g（x x）=ln x+sin x=ln x+sin x的積，由導(dǎo)數(shù)公式表及和函數(shù)的的積，由導(dǎo)數(shù)公式表及和函數(shù)的求導(dǎo)法則分別得出求導(dǎo)法則分別得出由求導(dǎo)的乘法法則得由求導(dǎo)的乘法法則得

10、2221xlnxsinx2x lnxsinxxcosxxx2xlnx2xsinxx cosx.2cosxxxy.2)(, 1sin)(xxgxxf（2 2）函數(shù)函數(shù) 可以看成是函數(shù)可以看成是函數(shù)f f（x x）=cosx-x=cosx-x與與g(x)=xg(x)=x2 2的商，由導(dǎo)數(shù)公式表及差函數(shù)的求導(dǎo)法則分的商，由導(dǎo)數(shù)公式表及差函數(shù)的求導(dǎo)法則分別得出別得出由求導(dǎo)的除法法則得由求導(dǎo)的除法法則得222233sinx1xcosxx2xcosxxx(x )(1 sinx)x2cosx2xxsinx2cosxx.xx 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：22x(1)y4x(x2).(2)y.x1解：解

11、：(1)y4(x2)4x8x8. 【變式練習(xí)變式練習(xí)】2222222(x1)2x 2x(2)y(x1)22x.(x1) 【提升總結(jié)提升總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的方法利用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的方法觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，分則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，分析函數(shù)能否直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)析函數(shù)能否直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo). .觀察觀察分析分析對(duì)不易于直接應(yīng)用求導(dǎo)公式的函數(shù)，對(duì)不易于直接應(yīng)用求導(dǎo)公式的函數(shù)，適當(dāng)運(yùn)用代數(shù)、三角恒等變換，對(duì)函適當(dāng)運(yùn)用代數(shù)、三角恒等變換，對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，優(yōu)化解題過(guò)程數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，優(yōu)化解

12、題過(guò)程. .求導(dǎo)時(shí)應(yīng)盡量避免使用積或商的求求導(dǎo)時(shí)應(yīng)盡量避免使用積或商的求導(dǎo)法則，可在求導(dǎo)前先化簡(jiǎn)，然后導(dǎo)法則，可在求導(dǎo)前先化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算求導(dǎo)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算. .變形變形化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)例例4 4 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) 在點(diǎn)（在點(diǎn)（1,11,1）處的切）處的切線(xiàn)方程線(xiàn)方程. .xxxfxln2)(xxxxf (x)x(2 ) lnx2 (lnx)21(2 ln2)lnx.x 112f (1)12 ln2ln13.1 解：解：首先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)首先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)將將x=1x=1代入代入f f(x),(x),得所求切線(xiàn)的斜率得所求切線(xiàn)的斜率y 13(x1),y3x2. 即 在點(diǎn)（在點(diǎn)（1,11,1）處的切

13、線(xiàn)方程為）處的切線(xiàn)方程為xxxfxln2)(探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求曲線(xiàn)的切線(xiàn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求曲線(xiàn)的切線(xiàn)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ax6x2b的圖像在的圖像在點(diǎn)點(diǎn) M(1，f(1)處的切線(xiàn)方程為處的切線(xiàn)方程為 x2y50，求函數(shù)，求函數(shù) yf(x)的解析式的解析式 解析：解析：【變式練習(xí)變式練習(xí)】解得解得 a2，b3 或或 a6，b1(由由 b10，故舍去故舍去 b1)， 所以所求函數(shù)解析式為所以所求函數(shù)解析式為 f(x)2x6x23. 1.1.函數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是（的導(dǎo)數(shù)是（ ）2y3x(x2) 22A. 3x6B. 6x C C8354xxy334255(4x3)A.B.4x

14、3(x3x8) 2.2.函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（的導(dǎo)數(shù)為（ ） D D22C. 9x6D. 6x6 3425(4x3)C. 0D.(x3x8) 3. 3. 函數(shù)函數(shù)xxycos2的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為( )( )2222A. y2xcosxx sinxB. y2xcosxx sinxC. yx cosx2xsinxD. yxcosxx sinxA A4.4.下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是 ( )( )2222xx32111A. x1 B. log xxxxln2x2xcosxx sinxC. 33 log e D. cosxcosx B B3ln4yx 430 xy5.(20125.(201

15、2新課標(biāo)全國(guó)卷新課標(biāo)全國(guó)卷) )曲線(xiàn)曲線(xiàn)y=x(3ln x+1)y=x(3ln x+1)在點(diǎn)在點(diǎn)（1,11,1）處的切線(xiàn)方程為）處的切線(xiàn)方程為_(kāi). .【分析分析】通過(guò)求導(dǎo)得切線(xiàn)斜率，一點(diǎn)一斜率可確定通過(guò)求導(dǎo)得切線(xiàn)斜率，一點(diǎn)一斜率可確定切線(xiàn)方程，最后將方程化為一般式切線(xiàn)方程，最后將方程化為一般式. .解析：解析：由曲線(xiàn)方程得由曲線(xiàn)方程得 ，所以曲線(xiàn)，所以曲線(xiàn)y=y=x(3ln x+1)x(3ln x+1)在點(diǎn)（在點(diǎn)（1,11,1）處切線(xiàn)的斜率）處切線(xiàn)的斜率k=3k=30+4=4,0+4=4,所以曲線(xiàn)在點(diǎn)（所以曲線(xiàn)在點(diǎn)（1,11,1）處的切線(xiàn)方程為）處的切線(xiàn)方程為4x-y-3=0.4x-y-3=0.6.6.求曲線(xiàn)求曲線(xiàn)y y=f(x)=x=f(x)=x3 3+3x+3x8 8在在x=2x=2處的切線(xiàn)的方程處的切線(xiàn)的方程. .3223f (x)(x3x8)3x3,kf (2)32315,f(2)23286, (2,6),y615(x2),