基于Matlab的小波分析在圖像處理中的應用

1、基于Matlab的小波分析在圖像處理中的應用摘要:本文先介紹了小波分析得基本理論，包括連續(xù)小波變換、離散小波變換和小波包分析。小波變換具有時頻局部化的特點,因此不但能對圖像提供較精確的時域定位,也能提供較精確的頻域定位。經(jīng)過小波變換的圖像具有頻譜劃、方向選擇、多分辨率分析和天然塔式數(shù)據(jù)結(jié)構特點。基于小波變換這些特性，討論了MATLAB語言環(huán)境下圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強的基本方法。關鍵詞:小波分析；圖像壓縮；圖像去噪；圖像融合；圖像分解；圖像增強1 引言小波分析誕生于20世紀80年代, 被認為是調(diào)和分析即現(xiàn)代Fourier分析發(fā)展的一個嶄新階段。眾多高新技術以數(shù)學為基礎,

2、而小波分析被譽為“數(shù)學顯微鏡”,這就決定了它在高科技研究領域重要的地位。目前, 它在模式識別、圖像處理、語音處理、故障診斷、地球物理勘探、分形理論、空氣動力學與流體力學上的應用都得到了廣泛深入的研究,甚至在金融、證券、股票等社會科學方面都有小波分析的應用研究。在傳統(tǒng)的傅立葉分析中，信號完全是在頻域展開的，不包含任何時頻的信息，這對于某些應用來說是很恰當?shù)?，因為信號的頻率的信息對其是非常重要的。但其丟棄的時域信息可能對某些應用同樣非常重要，所以人們對傅立葉分析進行了推廣，提出了很多能表征時域和頻域信息的信號分析方法，如短時傅立葉變換，Gabor變換，時頻分析，小波變換等。其中短時傅立葉變換是在傅

3、立葉分析基礎上引入時域信息的最初嘗試，其基本假定在于在一定的時間窗內(nèi)信號是平穩(wěn)的，那么通過分割時間窗，在每個時間窗內(nèi)把信號展開到頻域就可以獲得局部的頻域信息，但是它的時域區(qū)分度只能依賴于大小不變的時間窗，對某些瞬態(tài)信號來說還是粒度太大。換言之，短時傅立葉分析只能在一個分辨率上進行。所以對很多應用來說不夠精確，存在很大的缺陷。而小波分析則克服了短時傅立葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)動態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分（信號較平穩(wěn)）可以采用較低的時間分辨率，而提高頻率的分辨率，在高頻情況下（頻率變化不大

4、）可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位。 本文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它們的主要性質(zhì)包括緊支集長度、濾波器長度、對稱性、消失矩等，都做了簡要的說明。然后研究了小波分析在圖像處理中的應用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強等。2 小波分析的基本理論2.1 連續(xù)小波變換定義：設，其傅立葉變換為，當滿足允許條件（完全重構條件或恒等分辨條件） 350) c(i)=2*c(i); else c(i)=0.5*c(i); endend%下面對處理后的系數(shù)進行重構xx=waverec2(c,s,sym4);%畫出重構后的圖像subplot(122);im

5、age(xx);colormap(map);title(增強圖像);axis square輸出結(jié)果如圖所示：圖10 小波分析用于圖像增強本文將主要討論圖像增強中的鈍化和銳化兩種方法，鈍化操作主要是提出圖像中的低頻成分，抑制尖銳的快速變化成分，銳化操作正好相反，將圖像中尖銳的部分進可能得提取出來，用于檢測和識別等領域。下面將以例子說明這兩種方法在Matlab中的實現(xiàn)，并對于基于傅立葉變換的傳統(tǒng)頻域方法同小波方法做一下比較。4.3.2 圖像鈍化圖像鈍化在時域中的處理相對簡單，只需要對圖像作用一個平滑濾波器，使得圖像中的每個點與其相鄰點做平滑即可，這里不做詳細介紹，我們來介紹一下基于傅立葉變換的頻域

6、處理方法。下面我們以chess信號為例，通過兩種方法對圖像鈍化的結(jié)果做一下比較。load chess分別保存用DCT方法和小波方法的變換系數(shù)blur1=X;blur2=X;對原圖像做二維離散余弦變換ff1=dct2(X);對變換結(jié)果在頻域做BUTTERWORTH濾波for i=1:256 for j=1:256 ff1(i,j)=ff1(i,j)/(1+(i*j+j*j)/8192)2); endend重建變換后的圖像blur1=idct2(ff1);對圖像做2層的二維小波分解c,l=wavedec2(X,2,db3);csize=size(c);對低頻系數(shù)進行放大處理，并抑制高頻系數(shù)for

7、i=1:csize(2); if(c(i)300) c(i)=c(i)*2; else c(i)=c(i)/2; endend通過處理后的小波系數(shù)重建圖像blur2=waverec2(c,l,db3);顯示三幅圖像subplot(221);image(wcodemat(X,192);colormap(gray(256);title(原始圖像,fontsize,18);subplot(223);image(wcodemat(blur1,192);colormap(gray(256);title(采用DCT方法鈍化圖像,fontsize,18);subplot(224);image(wcodema

8、t(blur2,192);colormap(gray(256);title(采用小波方法鈍化圖像,fontsize,18);圖11 圖像鈍化從圖中可以看出，采用DCT在頻域做濾波的方法得到鈍化結(jié)果更為平滑，這是因為其分辨率最高，而小波方法得到的結(jié)果在很多地方有不連續(xù)的現(xiàn)象，因為我們對系數(shù)做放大或抑制在閾值兩側(cè)有間斷，而且分解層數(shù)很低，沒有完全分離出頻域的信息。而且我們在做系數(shù)放大或抑制的時候，采用的標準是根據(jù)系數(shù)絕對值的大小，沒有完全體現(xiàn)出其位置信息，但是在小波系數(shù)中，我們很容易在處理系數(shù)的過程中加入位置信息。 4.3.3 圖像銳化與圖像鈍化所做的工作相反，圖像銳化的任務是突出高頻信息，抑制低

9、頻信息，從快速變化的成分中分離出標識系統(tǒng)特性或區(qū)分子系統(tǒng)邊界的成分，以便于進一步的識別、分割等操作。在時域（空域）中，銳化的方法不外乎是作用掩碼或做差分，同鈍化的道理一樣，無論是掩碼和差分都很難識別點之間的關聯(lián)信息，我們下面的例子同樣是在頻域完成的，用傳統(tǒng)的傅立葉分析方法（這里采用的是DCT變換）得到的頻域系數(shù)。load chess;分別保存用DCT方法和小波方法的變換系數(shù)blur1=X;blur2=X;對原圖像做二維離散余弦變換ff1=dct2(X);對變換結(jié)果在頻域做BUTTERWORTH濾波for i=1:256 for j=1:256 ff1(i,j)=ff1(i,j)/(1+(327

10、68/(i*i+j*j)2); endend重建變換后的圖像blur1=idct2(ff1);對圖像做2層的二維小波分解c,l=wavedec2(X,2,db3);csize=size(c);對低頻系數(shù)進行放大處理，并抑制高頻系數(shù)for i=1:csize(2); if(abs(c(i)100) X2(i,j)=1.2*X2(i,j); else X2(i,j)=0.5*X2(i,j); end endendsubplot(222);image(X2);colormap(map2);title(wbarb);axis square%用小波函數(shù)sym4對X1進行2層小波分解c1,s1=waved

11、ec2(X1,2,sym4);%對分解系數(shù)進行處理以突出輪廓部分，弱化細節(jié)部分sizec1=size(c1);for i=1:sizec1(2) c1(i)=1.2*c1(i);end%用小波函數(shù)sym4對X2進行2層小波分解c2,s2=wavedec2(X2,2,sym4);%下面進行小波變換域的圖像融合c=c1+c2;%減小圖像亮度c=0.5*c;%對融合的系數(shù)進行重構xx=waverec2(c,s1,sym4);%畫出融合后的圖像subplot(223);image(xx);title(融合圖像);axis square輸出結(jié)果如圖：圖13 小波分析用于圖像融合4.5 小波分析用于圖像分

12、解 回顧從一維離散小波變換到二維的擴展，二維靜態(tài)小波變換采用相似的方式。對行和列分別采用高通和低通濾波器。這樣分解的結(jié)果仍然是四組圖像、近似圖像、水平細節(jié)圖像、豎直細節(jié)圖像和對角圖像，與離散小波變換不同的只是靜態(tài)小波分解得到的四幅圖像與原圖像尺寸一致，道理與一維情況相同。二維離散小波變換同樣只提供了一個函數(shù)swt2，因為它不對分解系數(shù)進行下采樣，所以單層分解和多層分解的結(jié)果是一樣的。不需要另外提供多層分解的功能。下面舉一個用命令行使用swt命令的例子，大家可以對比它和dwt處理結(jié)果的區(qū)別，在命令行下鍵入：load noiswomswa,swh,swv,swd=swt2(X,3,db1);使用d

13、b1小波對noiswom圖像進行三層靜態(tài)小波分解whos可以看出，swt2所小波分解同樣不改變信號的長度，原來的9696的圖像做了三層分解以后，分解系數(shù)是12個9696的圖像。colormap(map)kp=0;for i=1:3subplot(3,4,kp+1),image(wcodemat(swa(:,:,i),192);title(Approx,cfs,level,num2str(i)顯示第i層近似系數(shù)圖像，以192字節(jié)為單位編碼 subplot(3,4,kp+2),image(wcodemat(swh(:,:,i),192);title(Horiz.Det.cfs level,num2

14、str(i)subplot(3,4,kp+3),image(wcodemat(swv(:,:,i),192); title(Vert.Det.cfs level,num2str(i)subplot(3,4,kp+4),image(wcodemat(swd(:,:,i),192);title(Diag.Det.cfs level,num2str(i)kp=kp+4;end顯示的結(jié)果如圖所示，由于分解過程中沒有改變信號的長度，所以在顯示近似和細節(jié)系數(shù)時不需要重建。圖14 小波分析用于圖像分解同idwt2的類似，Matlab對二維靜態(tài)小波重建提供了iswt2命令，同idwt的去邊也同一維情況類似，對

15、經(jīng)過重建濾波后的信號不做上采樣（因為近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)大小都與原信號一致）。同一維的靜態(tài)小波重建一樣，我將用例子說明如何將iswt2單純用做濾波器來實現(xiàn)各層系數(shù)的重建，與一維的情況不同的只是為了重建第j層近似系數(shù)，需要4次用到iswt2作為重建濾波器對第j+1層的系數(shù)進行濾波，在對某一個近似系數(shù)濾波的過程中，同樣需要把其他的三個系數(shù)指定為0。為了便于比較，本例接上面的二維靜態(tài)分解的例子，直接利用對noiswom的分解結(jié)果，從中重建各級系數(shù)。load noiswomswa,swh,swv,swd=swt2(X,3,db1);使用db1小波對noiswom圖像進行三層小波分解mzero=zeros

16、(size(swd);A=mzero;A(:,:,3)=iswt2(swa,mzero,mzero,mzero,db1);使用iswt2的濾波器功能，重建第3層的近似系數(shù)，為了避免iswt的合成運算，注意在重建過程中，應保證其他各項系數(shù)為零。H=mzero;V=mzero;D=mzero;for i=1;3swcfs=mzero;swcfs(:,:,i)=swh(:,:,i);H(:,:,i)=iswt2(mzero,swcfs,mzero,mzero,db1);swcfs=mzero;swcfs(:,:,i)=swv(:,:,i);V(:,:,i)=iswt2(mzero,mzero,swc

17、fs,mzero,db1);swcfs=mzero;swcfs(:,:,i)=swh(:,:,i);H(:,:,i)=iswt2(mzero,mzero,mzero,swcfs,db1);end分別重建13級的各個細節(jié)系數(shù)，同樣在重建某一吸收的時候，要令其他系數(shù)為0A(:,:,2)=A(:,:,3)+H(:,:,3)+V(:,:,3)+D(:,:,3);A(:,:,1)=A(:,:,2)+H(:,:,2)+V(:,:,2)+D(:,:,2);使用遞推的方法建立地1層和第2層近似系數(shù)colormap(map)kp=0;for i=1:3subplot(3,4,kp+1),image(wcodem

18、at(A(:,:,i),192);title(第,num2str(i),層近似系數(shù)圖像)subplot(3,4,kp+2),image(wcodemat(H(:,:,i),192);title(第,num2str(i),層水平細節(jié)系數(shù)圖像)subplot(3,4,kp+3),image(wcodemat(V(:,:,i),192);title(第,num2str(i),層豎直細節(jié)系數(shù)圖像)subplot(3,4,kp+4),image(wcodemat(D(:,:,i),192);title(第,num2str(i),層對角細節(jié)系數(shù)圖像)kp=kp+4;end畫出通過手工方法重建的各級小波系數(shù)圖像err=norm(A(:,:,2)-swa(:,:,2)求出用這種算法重建的第2層近似系數(shù)和分解系數(shù)之間的誤差err=2.9242e+004顯示的結(jié)果如圖圖15 在db1小波下各級靜態(tài)小波重建系數(shù)5 總結(jié) 本文主要結(jié)合小波變換的基本概念和基本原理，詳細討論小波在圖像處理領域的應用，并結(jié)合MATLAB程序設計語言來說明其應用。第一個重點是了解小波變換和小波分析的理論和方法。主要研究了