大學線性代數(shù)公式

1、大學線性代數(shù)公式1、行列式1.n行列式共有 n2 個元素，展開后有n! 項，可分解為 2n 行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、 Aij 和 aij 的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系： M ij ( 1)i j AijAij( 1)i jM ij4.設 n 行列式 D ：n (n1)將 D 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為11(1)2D ；D，則 D將 D 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 90 ，所得行列式為 D2 ，則 D2n (n1)( 1)2D ；將 D 主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所

2、得行列式為D3 ，則 D3D ；將 D 主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為 D4 ，則 D4 D ；5. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；n (n 1)、副對角行列式：副對角元素的乘積( 1) 2；、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；、 和 ：副對角元素的乘積n ( n1)(1) 2；、拉普拉斯展開式：AOACA B、CAOA( 1)m n A BCBOBBOBC、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；、特征值；6. 對于 n 階行列式 A ，恒有： E Ann( 1)k Skn k ，其中 Sk 為 k 階主子式；k17. 證明、A 0 的方法：AA ；、反證法；、構(gòu)造

3、齊次方程組Ax0 ，證明其有非零解；、利用秩，證明r (A)n ；1、證明 0 是其特征值；2、矩陣1. A 是 n 階可逆矩陣：A 0 （是非奇異矩陣）；r ( A)n （是滿秩矩陣）A 的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組 Ax 0 有非零解；b Rn ， Ax b 總有唯一解；A與 E 等價；A 可表示成若干個初等矩陣的乘積；A 的特征值全不為0；AT A 是正定矩陣；A 的行（列）向量組是Rn 的一組基；A 是 Rn 中某兩組基的過渡矩陣；2.對于 n 階矩陣 A ： AA*A* AA E無條件恒 成立；3.(A 1)*(A*) 1(A 1)T(AT) 1(A* )T(AT )*(AB

4、 )TBT AT(AB)*B* A*(AB) 1B1A14. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A 、 B 可逆：A1A2，則：若 AAs、A A1A2As；A11、A1A21；As1AO11O、AOBOB 1OA1B 1、OBOA 1O；（主對角分塊）；（副對角分塊）2AC11A 1CB1、A；（拉普拉斯）OBOB 1、 AO1A1O；（拉普拉斯）CBB1CA1B 13、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個 mn 矩陣 A ，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：E rO；FO m nO等價類：所有與A 等價的矩陣

5、組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A、 B ，若 r( A)r (B)AB ；2. 行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非 0 元素必須為 1；、每行首個非 0 元素所在列的其他元素必須為 0；3. 初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）（A， E）（E, X)1；、若，則 A 可逆，且 X A、對矩陣 ( A, B) 做初等行變化，當 A 變?yōu)?E 時， B 就變成 A 1B ，即： ( A,B)c(E, A 1B) ；、求解線形方程組： 對于個未知數(shù)個方程 Axb ，如果 ( , )r1(, )nn，則 A 可逆，且

6、 xA b ；A bE x4. 初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；1、2，左乘矩陣 A ， i 乘 A 的各行元素；右乘，n、對調(diào)兩行或兩列，符號E (i, j) ，且 E ( i, j) 1E (i , j ) ，例如：1、倍乘某行或某列，符號E (i(k) ，且 E (i(k) 1E (i ( 1 ) ，例如：ki 乘 A 的各列元素；1111 ；111111k；(k 0)k1111k1k、倍加某行或某列，符號E (ij( k) ,且 E (ij (k ) 1E (ij ( k) ，如：11(k0) ；1135. 矩陣

7、秩的基本性質(zhì)：、 0 r( Am n ) min(m, n) ；、 r (AT ) r ( A) ；、若 AB ，則 r( A) r( B) ；、若 P 、 Q 可逆，則 r(A)r( PA) r( AQ)r( PAQ) ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩 ）、 max(r(A), r( B)r( A, B)r( A) r( B) ；（ ）、 r (A B)r ( A) r (B) ；（ ）、 r (AB)min( r ( A), r( B) ；（ ）、如果 A 是 m n 矩陣， B 是 n s 矩陣，且 AB0 ，則：（ ）、 B 的列向量全部是齊次方程組 AX0 解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；、 r(

8、 A) r( B)n、若 A、 B 均為n 階方陣，則 r ( AB) r ( A)r (B)n ；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為 1 的矩陣：一定可以分解為 列矩陣（向量）行矩陣（向量） 的形式，再采用結(jié)合律；1ac、型如 01b 的矩陣：利用二項展開式；001b) nCn0 anCn1 an1b1Cnm an m bmCnn 1 a1 bn 1Cnn bnnCnm am bn m ；二項展開式： (am 0注：、 (ab)n 展開后有 n 1 項；、 Cnmn(n 1)( nm1)n!Cn0Cnn11 2 3 mm!( n m)!、組合的性質(zhì)： CnmCnn mCnmCnmCnm 1nC

9、nr2nrC nrnCnr11 ；1r0、利用特征值和相似對角化：7. 伴隨矩陣：n、伴隨矩陣的秩：r (A* )10A、伴隨矩陣的特征值：(AX、 A*AA1、 A*n 1Ar( A)nr( A)n1 ；r( A)n1X,A*A A 1A* XA X)；8. 關(guān)于 A 矩陣秩的描述：4、 r (A)n ， A 中有 n階子式不為0， n 1 階子式全部為 0；（兩句話）、 r (A)n ， A 中有 n階子式全部為0；、 r (A)n ， A 中有 n階子式不為0；9. 線性方程組： Ax b ，其中 A 為 m n 矩陣，則：、 m 與方程的個數(shù)相同，即方程組 Ax b 有 m 個方程；、

10、 n 與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Axb為 n 元方程；10. 線性方程組 Ax b 的求解：、對增廣矩陣 B 進行初等行變換（ 只能使用初等行變換 ）；、齊次解為對應齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由 n 個未知數(shù) m 個方程的方程組構(gòu)成 n 元線性方程：a11 x1a12 x2a1n xnb1、 a21 x1a22 x2a2n xnb2；am 1 x1am2 x2anm xnbna11a12a1nx1b1、 a21a22a2 nx2b2Ax b（向量方程， A 為 m n 矩陣， m 個方程， n 個未知數(shù)）am 1am 2amnxmbmx1b1、 a1 a2an

11、x2（全部按列分塊，其中b2）；xnbn、112x2an xn（線性表出）a xa、有解的充要條件： r( A) r( A, )n （ n 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. m 個 n 維列向量所組成的向量組A ：1, 2, m 構(gòu)成 nm 矩陣 A (1, 2, m ) ；T11T, 2T, mT 構(gòu)成 mTm 個 n 維行向量所組成的向量組B ：n 矩陣 B2；Tm含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)、向量的線性表出Ax0 有、無非零解；（齊次線性方程組）Axb 是否有解；（線性方程組）5、向量組的相互線性表示AX B 是否有解；（矩陣方

12、程）3.矩陣 Am n 與 Bl n 行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax0 和 Bx0 同解； ( P101 例 14)4.r ( AT A)r ( A) ； ( P101 例 15)5.n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、 線性相關(guān)0 ；、 ,線性相關(guān),坐標成比例或共線（平行）；、 , 線性相關(guān), 共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若若1,2 ,s 線性相關(guān)，則1 ,2 ,s, s 1 必線性相關(guān)；1,2 ,s 線性無關(guān)，則1 ,2 ,s 1 必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若 r 維向量組 A 的每個向量上添上 n r 個分量，構(gòu)成 n 維向量組 B ：若 A 線性無

13、關(guān)，則 B 也線性無關(guān)；反之若 B 線性相關(guān)，則 A 也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向量組 A （個數(shù)為 r ）能由向量組 B （個數(shù)為 s ）線性表示，且 A 線性無關(guān)，則 r s (二版 P74 定理 7)；向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則 r (A)r( B) ；（ P86 定理 3）向量組 A 能由向量組 B 線性表示AXB 有解；r ( A)r( A, B) （ P85 定理 2）向量組 A 能由向量組 B 等價r(A) r( B)r( A, B) （ P85 定理 2 推論）8. 方陣 A可逆存在有限個初等矩陣 P ,

14、P , Pl ，使 AP1P2Pl ；12rB （左乘， P 可逆）0 與 Bx0 同解、矩陣行等價： A BPAAxcB （右乘， Q 可逆）；、矩陣列等價： A BAQ、矩陣等價： A BPAQB（P、Q可逆）；9. 對于矩陣 Am n 與 Bl n ：、若 A 與 B 行等價，則 A 與 B 的行秩相等；6、若 A與 B 行等價，則 Ax0 與 Bx0 同解，且 A 與 B 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣 A 的行秩等于列秩；10. 若 Am sBs nCm n ，則：、 C 的列向量組能由A 的列向量組線性表示，B 為系數(shù)矩陣；、 C

15、的行向量組能由B 的行向量組線性表示，AT 為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11. 齊次方程組 Bx 0 的解一定是 ABx 0 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明 ；、 ABx0只有零解Bx0 只有零解；、 Bx0有非零解ABx 0 一定存在非零解；12. 設向量組 Bnr : b1, b2 ,br可由向量組 An s : a1 ,a2 ,as 線性表示為：（ P110 題 19 結(jié)論）(b1, b2 , br )(a1 ,a2 ,as ) K （ BAK ）其中 K 為 sr ，且 A 線性無關(guān)，則 B 組線性無關(guān)r( K )r ；（ B 與 K 的列向量組具有相同線性相關(guān)性 ）（必要性：r

16、 r(B) r( AK) r (K ), r ( K)r, r( K )r ；充分性：反證法）注：當 r s時， K 為方陣，可當作定理使用；13. 、對矩陣 Am n ，存在 Qn m ， AQEmr( A)m 、 Q 的列向量線性無關(guān)；（ P87 ）、對矩陣 Am n ，存在 Pnm ， PAE nr (A)n 、 P 的行向量線性無關(guān)；14. 1, 2, s 線性相關(guān)存在一組不全為0 的數(shù) k1 , k2 ,ks ，使得 k11k2 2ks s 0 成立；（定義）x1(1 ,2 ,x20 有非零解，即 Ax0 有非零解；s)xsr (1,2 , s ) s，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；

17、15. 設 m n 的矩陣 A 的秩為 r ，則 n 元齊次線性方程組 Ax 0 的解集 S 的秩為： r( S) n r ；16. 若* 為 Axb 的一個解，1, 2 , n r 為 Ax0 的一個基礎解系， 則* , 1, 2 , n r 線性無關(guān)；（ P111題 33 結(jié)論）75、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣T1T（定義），性質(zhì)：AA E或AA、 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即 aiT a j1ij (i , j 1,2, n) ；0ij、若 A 為正交矩陣，則 A 1AT 也為正交陣，且 A1 ；、若 A 、 B 正交陣，則 AB 也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘

18、記施密特正交化 和單位化；2. 施密特正交化： (a1 ,a2 , ,ar )ba；11b2a2b1,a2 b1b1, b1brarb1 , ar b1b2 ,arb2 br 1 , ar br 1 ;b1 ,b1 b2 , b2 br 1 ,br 1 3. 對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關(guān)；對于實對稱陣 ，不同特征值對應的特征向量正交；4.、 A 與 B 等價A 經(jīng)過初等變換得到B ；PAQB，P、Q可逆；r (A)r (B) ， A 、 B 同型；、 A與 B 合同CT ACB ，其中可逆；xT Ax 與 xT Bx 有相同的正、負慣性指數(shù)；、 A與 B相似P 1APB；5.

19、 相似一定合同、合同未必相似；若 C 為正交矩陣，則 C T AC BA B ，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）；6. A 為對稱陣，則 A 為二次型矩陣；7. n元二次型 xT Ax 為正定：A 的正慣性指數(shù)為n ；A 與 E 合同，即存在可逆矩陣C ，使 C T ACE ；A 的所有特征值均為正數(shù)；A 的各階順序主子式均大于0；aii0, A0 ；(必要條件 )8不可逆可逆AAr ( A)nr ( A) nA有非零解A只有零解 ,Ax總有唯一解AxAx 0的列（行）向量 線性相關(guān)的列（行）向量 線性無關(guān)AA向量組等價具有反身性、對稱性、傳遞性矩陣等價 行列式的計算：AAAA BB

20、BB 若 A與 B 都是方陣（不必同階）, 則（了解）A( 1)mn A BB上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.a1na1 na2n 1a2n 1n ( n1)a1n a2n an1 （了解）關(guān)于副對角線：( 1)2an1an1 逆矩陣的求法 : A 1AA(A E)初等行變換( EA 1 )a b1dbA BTC T1ATc dadbcca（掌握）C DBTD T （了解）a111a1a21a2an1anA11A11A2A21AnAn1 方陣的冪的性質(zhì)： Am AnAm n( Am ) n( A)mn 用對角矩陣左乘一個矩陣 , 相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；9

21、用對角矩陣右乘一個矩陣 , 相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. 矩陣方程的解法：設法化成(I)AXB或(II)XAB當A0時,初等行變換（當 為一列時,(I) 的解法：構(gòu)造 ( A B)B(E X)即為克萊姆法則）(II) 的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為 AT X T BT ，用(I) 的方法求出 XT，再轉(zhuǎn)置得 X 判斷 1 , 2 , , s 是 Ax 0 的基礎解系的條件：1, 2, s 線性無關(guān)；1, 2, s 是 Ax 0 的解；snr ( A) 每個解向量中自由變量的個數(shù) . 向量組1,2 ,n 中任一向量i (1 i n) 都是此向量組的線性組合 . 向量組1,2 ,n

22、 線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余 n1 個向量線性表示 .向量組1,2 ,n 線性無關(guān)向量組中每一個向量i 都不能由其余 n1個向量線性表示 .m 維列向量組1,2 ,n 線性相關(guān)r ( A)n ；m 維列向量組1,2 ,n 線性無關(guān)r ( A)n .r ( A)0A. （了解）若1,2 , n 線性無關(guān)，而 1 , 2 , ,n , 線性相關(guān) , 則可由1, 2 , , n 線性表示 , 且表示法惟一. 矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩 . （了解）階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù) . （掌握） 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩, 且不改變列向量間的線性關(guān)系. （了解）矩陣的列初等

23、變換不改變矩陣的秩, 且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價1 ,2 ,n 和 1 , 2 ,n 可以相互線性表示 .記作：1, 2 ,n1, 2 ,n10矩陣等價A 經(jīng)過有限次初等變換化為B .記作： AB 向量組1, 2 ,s 可由向量組1, 2 ,n 線性表示 , 且 r ( 1, 2 ,s )r ( 1 ,2 ,n ) , 則兩向量組等價； 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價 . 向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價, 且這兩個組所含向量的個數(shù)相等 .?若 A 是 mn 矩陣 , 則 r ( A)min m, n , 若 r ( A)m ， A 的行向量線性無關(guān)；若 r ( A)n ， A 的列向量線性無關(guān) , 即：1, 2,n 線性無關(guān) .線性方程組的矩陣式Ax向量式 x1 1x22xn na11a12a1nx1b11 jAa21a22a2n, xx2 ,b