空間向量與立體幾何單元測(cè)試有問題詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔第三章空間向量與立體幾何單元測(cè)試(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)第I卷(選擇題，共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1 .以下四組向量中，互相平行的組數(shù)為()a= (2,2,1) , b= (3, 2, 2); a=(8,4 , 6) , b=(4,2 ,一 3);a=(0, -1,1) , b= (0,3 , 3);a = (3,2,0) , b=(4, -3,3)A. 1組B. 2組C. 3組D. 4組1解析：:中 a=2b,.a/b；中 a=-b, 3.a/b；而中的向量不平行.答案：B2 .在以下命題中，不正確的個(gè)數(shù)為()| a| | b| =|

2、a+b|是a, b共線的充要條件；若a II b,則存在唯一的實(shí)數(shù)入，使a= 1b;對(duì)空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A, B, C,若OP= 2O/V 2OB-OC則P, A, B, C四點(diǎn)共面；若a, b, c為空間的一組 基底，則a+b, b+c, c + a構(gòu)成空間的另一組基底；( a b) c| = | a| T b| T c|.A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)解析：| a| | b| =| a+b| ? a與b共線，但a與b共線時(shí)| a| | b|= |a+b|不一定成立，故不正確；b需為非零向量，故不正確；因?yàn)?2 211,由共面向量定理知，不正確；由基底的定義知正確；由向量

3、的數(shù)量積的性質(zhì)知，不正確.答案：C63 .如圖，已知四邊形ABC時(shí)矩形，PZ平面ABCD連接AC BD PRPC PD則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是 ()A.PCW BD B. DM PB解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)矩形ABCD勺長、寬分別為a, b, PA長為c,則A(0,0,0),艮b,0,0),以0, a,0), qb, a,0), P(0,0 , c).則 PC= (b, a, c), BD= (b, a, 0) , DA= (0 , a, 0), PB= (b,0,-c) , PD= (0, a, -c), AB= (b, 0,0) , PA= (0,0 , -c)

4、, CD= (-b, 0,0). .PC BD= b2 + a2不一定為 0.DA PB= 0, PD- AB= 0, PA CD= 0.答案：A4 .已知向量e1、e2、e3是兩兩垂直的單位向量，且 a=3ei + 2e e3, b= e1 + 2e3,則(6 a) , gb 降于()A. 15B. 3D. 5解析：(6a) 1b2 JC. -3=3a , b=3(3 ei + 2ee3) (e + 2e3) =9| ei| - 6| e3|=3.5.如圖，AB=ACBA1, AB?面a, ACL面 a , BDL AB BD 與面 a成30°角，則C D間的距離為()A. 1B.

5、 2C. 2D. 3解析：|CD2=| CA" ABH- BD2=|CA2+| AB2+| BD2+2CAA拼 2AB BD+ 2CA BD= 1+1 + 1 + 0+0+2X1X 1Xcos120 = 2. | CD =機(jī)答案：C6.已知空間三點(diǎn) qo,0,0) , A( 1,1,0) , B(0,1,1)在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BUL OA則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（）A. (2,2,0)B. (2, -2,0)J11八D/ -2, 0解析：由OA= (-1,1,0),且點(diǎn)H在直線OA±,可設(shè)H入，入，0),一則 BHh (入，入1, - 1).又 BUL OA 二 BH- OA=

6、 0,即(一入，入 T, -1) - (-1,1,0) =0,.一 一.11 1 1即入 + 入- 1 = 0,解得入=2, . . H1- 2 , 2 0 .答案：C7.已知 a=(cos a , 1, sin a) , b= (sin a , 1, cos a),則向量 a+ b與ab的夾角是()A. 90B. 60C. 30D. 0解析：(a+ b) (a b) =a2 b2= (cos2 a +sin 2 a + 1) (sin 2 a +1 + cos2a) =0,(a+ b) ±(a b).答案：A8 .已知E、F分別是棱長為1的正方體ABCDABCD的棱BC CC的 中

7、點(diǎn)，則截面AEFDW底面ABCDf成二面角白正弦值是()文案大全2A.3C.35解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA DC DD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則A(1,0,0)11,1，D(0,0,1)l 所以AD= (-1,0,1) , AE -2 1, 0L 2設(shè)平面AEFD勺法向量為n = (x, y, z),n , AD= 0,-x+ z = 0,x【n . AE= 0,1 -2+ y=0.x=2y=z.取y=1,則n = (2,1,2),而平面ABCD勺一個(gè)法向量為u= (0,0,1) , cosn, u)=2, .-.sin <n, u)* 33答案：C9 .在三棱

8、錐 P- AB/， ABC為等邊三角形，PAL平面ABC且PA=AB則二面角A- PB C的平面角的正切值為()A. 6B.-.3解析：則 B(0,2,0) , C(5, 1,0) , R0,0,2),BA (0, 2,2),BG=(品-1,0).設(shè)n = (x, y, z)是平面PBC勺一個(gè)法向量.BP n = 0,BC- n = 0,2y+2z = 0,即N3xy=0.令 y=1,貝U x=,z= 1.易知 rr (1,0,0)是平面PAB勺一個(gè)法向量.m.n貝 U cosm n)= tr I mi n|n|3217 .1x-3正切值tanm n=水. 答案：A10.已知 OA (1,2,

9、3),OB= (2,1,2) , OP= (1,1,2)，點(diǎn) Q 在直線 OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)QA Q瞰得最小彳1時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1 3 1、2, 4' 3J4一34 8、3' 3,r 佝 4 7)D. 2，3' 3,解析:. Q在 OP上，可設(shè) Qx, x, 2x),則Q4(1 x, 2x, 32x),QB= (2 x, 1 x, 22x).2 . QA QB= 6x16x+10,4 一 二二一( .x=W時(shí)，QA QBft小,3這時(shí)Q4, 3 8.答案：C第II卷(非選擇題，共70分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.11.已知 a=(3, 2, 3)

10、, b= ( 1, x1,1),且 a與 b 的夾角為 鈍角，則x的取值范圍是.解析：因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，于是一1<cosa, b< 0,因此a , b<0,且a與b的夾角不為c ,即cosa, b> # 1.八5Vi5、解得 x6 -2, - U 4°° .3J v35 555 答案：.-2, - U +°°<3 J 312.如圖所示，已知正四面體 A BCM, A±；AB, C已；CQ則直線DE和BF所成的角的余弦值為i 解析：ED= E' AD= jBA AD 1一BF= BO CF= BC CD

11、 4f fED- BFcosED BF=-|ED | BF114B- AD - BO -CD2AD j14= 13.BO 4CD13.已知 a= (x, 2, 4), b=( 1, y, 3), c=(1 , 2, z),且 a, b,c兩兩垂直，貝U (x, y, z)=一x + 2y12=0,解析：由題意知x 44z=0,1 12y+3z=0,解得 x= -64, y= 26, z = 17.答案：(一64, 26, - 17)14.已知空間四邊形OABC如圖所其對(duì)角線為 OB AC M N分別為OA BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MNk,且MG= 3GN現(xiàn)用基向量OA OB OC表示向量OG并設(shè)

12、OG= x OAy 。濟(jì)z OC則x、y、z的和為13131" f i”! 13解析：OG= OFM- MG/。-4MIN= ,OA420A OO/CBu/OA-8。43:3工1二3二.3工- OB- pOC= pOA -OEB -OC00000.x=ly=3 z=3x 0' y 0' z0. x+y+z=0.答案：0三、解答題：本大題共4小題，滿分50分.15. （12 分）已知 a=（1,2 , 2）.（1）求與a共線的單位向量b;若a與單位向量c= （0 , nn, n）垂直，求mi n的值. 解：（1）設(shè)b=（入，2入，2入），而b為單位向量， .|b|=1,

13、即入 2+4 入 2 + 4 入 2 = 9 入 2=1.1 人二入=± -（4 分）3.122-' 12 21八八、b=鼻,鼻，一鼻或b= 0,一鼻,鼻.（6分）333J（333,c= 0, =1,1 x0+2rrn 2n= 0, l/m+ n2+02 = 1,m=解得n=n=一二2（12 分）16. （12 分）如下（左）圖，在 RtzABC / C= 90 , BC= 3, AC= 6,D, E分別為AC AB上的點(diǎn)，且DEI BQ DE= 2,將 ADE& DE折起到 ADE 的位置，使Aid CD如下(右)圖.(1)求證：AC，平面BCDE(2)若M是AD的

14、中點(diǎn)，求CMW平面AiBE所成角的大小.角軍：(1) . ACL BC DE/BC DEL AC.DEL AD, DEL CD. DEL 平面 ADC .DEL AC又. AC，CDAC，平面 BCDE4 分）AZ(2)如圖所示，以 C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則Ai(0,0,2 小),D(0,2,0),M(0,1 ,V3),艮3,0,0),E(2,2,0).設(shè)平面ABE的法向量為n=(x, y, z),則n , AB= 0, n , BE= 0.一又AB= (3,0 , -2/3),BE= ( 1,2,0),3x-2低=0,I-x+2y=0.令 y=1,則 x=2, z =小

15、,.n=(2,1 , V3) 設(shè)CMW平面ABE所成的角為。.c陣(0,1 , V3)?二一 n - CM 4V2sin 6 = |cosn, CM |=| |=FT4=*.|n| |CM.兀一,.CMW平面ABE所成角的大小為 j.（12分）17. （12分）如圖，已知正方形ABCa口矩形ACE所在的平面互相垂直, AB= & AF= 1, M是線段EF的中點(diǎn).(1)求證：AM/平面BDE 試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與CDff成的角是60(1)證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.解:設(shè) ACT BD= N,連接 NE則 N曾，鼻 0 i，E(0,0,1)又 A（隹業(yè) 0）, M*

16、 g, 1<2 2 ）A陣 .NE= AM且NE與AM共線. NE/ AM又N&平面BDE AM?平面BDE.AM/平面 BDE（6 分）設(shè) Rt, t, 0）（0 <t <72）,fLLf L則 PF=（啦t,啦t, 1）, CD=（啦，0,0）.又PFWCDf成的角為60° .IV2-1- V2|11=- =二.；、2-1+,2-t +1 - 2 2解之得t=¥，或t=¥（舍去）.故點(diǎn)P為AC的中點(diǎn).(12分)18.(14分)如圖，在圓錐PO中，已知PO=也,。的直徑AB= 2, C是AB勺中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn).(1)證明：平面POD

17、L平面PAC(2)求二面角B- PA C的余弦值.解：(1)證明：如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB OC OP所在直線分 別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 qo,0,0),收一1,0,0),1111B(1,0,0) , qo,i,0) , P(0,0 ,的,D-2, 2, 0設(shè)ni=(xi, yi, zi)是平面POD勺一個(gè)法向量，則由ni OD0, ni OP =0,i . i c(4分)一不 xi+二 yi = 0, 得 22丫 ，1/2zi=o.Zi = 0, xi = y1.取 y1=i,得 ni = (i,i,0)設(shè)1=(x2, y2, Z2)是平面PAC勺一個(gè)法向量，則由 n PA= 0,1 PC =0,X2V2z2 =