多元統(tǒng)計(jì)分析對(duì)應(yīng)分析（課堂PPT）

1、第第7章章 對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 分分 析析Correspondence Analysis7.1列聯(lián)表及列聯(lián)表分析列聯(lián)表及列聯(lián)表分析7.2對(duì)應(yīng)分析對(duì)應(yīng)分析27.1列聯(lián)表及列聯(lián)表分析列聯(lián)表及列聯(lián)表分析一、列聯(lián)表及其作用一、列聯(lián)表及其作用1.列聯(lián)表是觀測(cè)數(shù)據(jù)按兩個(gè)或更多屬性變量列聯(lián)表是觀測(cè)數(shù)據(jù)按兩個(gè)或更多屬性變量（定類尺度或定序尺度）分類時(shí)所列出的頻（定類尺度或定序尺度）分類時(shí)所列出的頻數(shù)表。數(shù)表。2.列聯(lián)表用于考察兩個(gè)（或多個(gè)）分類變量列聯(lián)表用于考察兩個(gè)（或多個(gè)）分類變量的統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)聯(lián)。如行變量與列變量之間的關(guān)的統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)聯(lián)。如行變量與列變量之間的關(guān)聯(lián)性。聯(lián)性。3一般一般,若總體中的個(gè)體可按兩個(gè)屬性若總體中的

2、個(gè)體可按兩個(gè)屬性A與與B分類，分類，A有有n類類A1,A2,An，B有有p類類B1,B2,Bp, 屬于屬于Ai和和Bj的個(gè)體數(shù)目為的個(gè)體數(shù)目為nij（i=1,2, ,n;j= 1,2, ,p）,nij稱為稱為頻數(shù)，則可形成頻數(shù)，則可形成np的二維列聯(lián)表，簡(jiǎn)的二維列聯(lián)表，簡(jiǎn)稱稱np表。表。若所考慮的屬性多于兩個(gè)，也可按類似若所考慮的屬性多于兩個(gè)，也可按類似的方式作出列聯(lián)表的方式作出列聯(lián)表,稱為多維列聯(lián)表。稱為多維列聯(lián)表。4列聯(lián)表列聯(lián)表B1B2BjBpA1 n11n12n1jn1pn1.A2 n21n22n2jn2pn2.Aini1ni2nijnipni.An nn1nn2nnjnnpnn.n.1

3、n.2n.jn.pn5頻率意義上的列聯(lián)表頻率意義上的列聯(lián)表B1B2BjBpA1 p11p12p1jp1pp1.A2 p21p22p2jp2pp2.Aipi1pi2pijpippi.An pn1pn2pnjpnppn.p.1p.2p.jp.p16列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)于數(shù)值型變量相關(guān)關(guān)系對(duì)于數(shù)值型變量相關(guān)關(guān)系,通常是計(jì)算相關(guān)系數(shù)和進(jìn)通常是計(jì)算相關(guān)系數(shù)和進(jìn)行回歸分析。行回歸分析。描述兩個(gè)定性變量之間的相關(guān)性是指廣義的相關(guān)性，描述兩個(gè)定性變量之間的相關(guān)性是指廣義的相關(guān)性，稱為關(guān)聯(lián)性。兩個(gè)定性變量的關(guān)聯(lián)程度在某種意義稱為關(guān)聯(lián)性。兩個(gè)定性變量的關(guān)聯(lián)程度在某種意義上就是指的上就是指的“不獨(dú)立不

4、獨(dú)立”，它與獨(dú)立的情形差距越大，它與獨(dú)立的情形差距越大，就表明彼此的關(guān)系越密切，這種關(guān)系不一定是線性就表明彼此的關(guān)系越密切，這種關(guān)系不一定是線性關(guān)系。在實(shí)際問題中，重要的是判斷變量之間是否關(guān)系。在實(shí)際問題中，重要的是判斷變量之間是否獨(dú)立，因?yàn)椴华?dú)立就意味著關(guān)聯(lián)。最常用的檢驗(yàn)辦獨(dú)立，因?yàn)椴华?dú)立就意味著關(guān)聯(lián)。最常用的檢驗(yàn)辦法是列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)。法是列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)。列聯(lián)表檢驗(yàn)的零假設(shè)是兩變量列聯(lián)表檢驗(yàn)的零假設(shè)是兩變量 X和和Y 相互獨(dú)立，計(jì)相互獨(dú)立，計(jì)算一個(gè)卡方統(tǒng)計(jì)量，與列聯(lián)表中頻數(shù)取值和零假設(shè)算一個(gè)卡方統(tǒng)計(jì)量，與列聯(lián)表中頻數(shù)取值和零假設(shè)下期望取值之差有關(guān)，當(dāng)卡方下期望取值之差有關(guān)，當(dāng)卡方 很大時(shí)

5、否定零假設(shè)。很大時(shí)否定零假設(shè)。7例例 吸煙與慢性支氣管炎調(diào)查表吸煙與慢性支氣管炎調(diào)查表 為了探討吸煙與慢性支氣管為了探討吸煙與慢性支氣管炎有無(wú)關(guān)系，調(diào)查了炎有無(wú)關(guān)系，調(diào)查了339人，人，情況如表所示：情況如表所示：設(shè)想有兩個(gè)隨機(jī)變量設(shè)想有兩個(gè)隨機(jī)變量A，B：A：1表示吸煙，表示吸煙， 2表示不吸煙；表示不吸煙；B：1表示患慢性支氣管炎，表示患慢性支氣管炎， 2表示未患。表示未患。零假設(shè)為：零假設(shè)為： H0: A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立 BA患慢性患慢性支氣管支氣管炎炎未患慢未患慢性支氣性支氣管炎管炎吸吸煙煙43162不不吸吸煙煙131218STATISTICS FOR TABLE OF SMOK

6、E BY BRON Statistic DF Value Prob Chi-Square 1 7.469 0.006 Likelihood Ratio 1 7.925 0.005 Chi-Square Continuity Adj. Chi-Square 1 6.674 0.010 Mantel-Haenszel Chi-Square 1 7.447 0.006 Fishers Exact Test (Left) 4.09E-03 (Right) 0.998 (2-Tail) 6.86E-03 Phi Coefficient -0.148 Contingency Coefficient 0.1

7、47 Cramers V -0.148 Sample Size = 339 9列聯(lián)表中列出了表格單元頻數(shù)和在零假設(shè)下列聯(lián)表中列出了表格單元頻數(shù)和在零假設(shè)下的期望頻數(shù)，可以看出，吸煙人中患病的數(shù)的期望頻數(shù)，可以看出，吸煙人中患病的數(shù)目比期望數(shù)目大。檢驗(yàn)的結(jié)果只要看后面的目比期望數(shù)目大。檢驗(yàn)的結(jié)果只要看后面的統(tǒng)計(jì)量部分的統(tǒng)計(jì)量部分的Chi-Square一行，其值為一行，其值為7.469，p值為值為0.006，所以應(yīng)否定零假設(shè)，吸，所以應(yīng)否定零假設(shè)，吸煙與患慢性支氣管炎是不獨(dú)立的。煙與患慢性支氣管炎是不獨(dú)立的。 對(duì)應(yīng)分析又稱為對(duì)應(yīng)分析又稱為相應(yīng)分析相應(yīng)分析，也稱也稱RQ分析分析。是因子分子基礎(chǔ)發(fā)展起

8、來的。是因子分子基礎(chǔ)發(fā)展起來的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法。它主要通過分析一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法。它主要通過分析屬性（定性）變量構(gòu)成的列聯(lián)表屬性（定性）變量構(gòu)成的列聯(lián)表來來揭示變量之間的關(guān)系，可以用對(duì)應(yīng)分析圖（二維圖）顯示列聯(lián)表中每一個(gè)單揭示變量之間的關(guān)系，可以用對(duì)應(yīng)分析圖（二維圖）顯示列聯(lián)表中每一個(gè)單元格的相對(duì)位置，以簡(jiǎn)單、直觀地表明列聯(lián)表的行與列的關(guān)系。元格的相對(duì)位置，以簡(jiǎn)單、直觀地表明列聯(lián)表的行與列的關(guān)系。 對(duì)應(yīng)分析也是利用降維的思想以達(dá)到簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的目的。不過，在因?qū)?yīng)分析也是利用降維的思想以達(dá)到簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的目的。不過，在因子分析中，子分析中，R型因子分析和型因子分析和Q型因子分析是分開進(jìn)行

9、的。型因子分析是分開進(jìn)行的。對(duì)應(yīng)分析的基本思對(duì)應(yīng)分析的基本思想是將一個(gè)聯(lián)列表的行和列中各元素的比例結(jié)構(gòu)以點(diǎn)的形式在較低維的空間想是將一個(gè)聯(lián)列表的行和列中各元素的比例結(jié)構(gòu)以點(diǎn)的形式在較低維的空間中表示出來。中表示出來。在對(duì)應(yīng)分析中，會(huì)同時(shí)對(duì)行與列進(jìn)行處理，尋求以低維圖形表在對(duì)應(yīng)分析中，會(huì)同時(shí)對(duì)行與列進(jìn)行處理，尋求以低維圖形表示數(shù)據(jù)表中的行與列的關(guān)系。（對(duì)同一觀測(cè)數(shù)據(jù)施加示數(shù)據(jù)表中的行與列的關(guān)系。（對(duì)同一觀測(cè)數(shù)據(jù)施加R和和Q型因子分析，并型因子分析，并分別保留兩個(gè)公共因子，則是對(duì)應(yīng)分析的初步）。分別保留兩個(gè)公共因子，則是對(duì)應(yīng)分析的初步）。 7.2 對(duì)應(yīng)分析對(duì)應(yīng)分析11 對(duì)應(yīng)分析基本步驟對(duì)應(yīng)分析基本

10、步驟： 1 1、獲取對(duì)應(yīng)分析數(shù)據(jù)、獲取對(duì)應(yīng)分析數(shù)據(jù) 確定研究目的，選擇對(duì)應(yīng)分析所需數(shù)據(jù)，確定研究目的，選擇對(duì)應(yīng)分析所需數(shù)據(jù)，應(yīng)該包括的背景資料。應(yīng)該包括的背景資料。 2 2、建立列聯(lián)表、建立列聯(lián)表 3 3、對(duì)應(yīng)分析、對(duì)應(yīng)分析 4 4、利用對(duì)應(yīng)圖解釋結(jié)果。、利用對(duì)應(yīng)圖解釋結(jié)果。 二、對(duì)應(yīng)分析的原理 由于由于R R型因子分析和型因子分析和Q Q型因子分析是反映一個(gè)整體型因子分析是反映一個(gè)整體的不同側(cè)面，的不同側(cè)面，R R型因子分析是從列來討論（對(duì)變量），型因子分析是從列來討論（對(duì)變量），Q Q型因子分析是從行來討論（對(duì)樣品），因此他們之型因子分析是從行來討論（對(duì)樣品），因此他們之間存在內(nèi)在的聯(lián)系。

11、間存在內(nèi)在的聯(lián)系。設(shè)原始數(shù)據(jù)矩陣為：設(shè)原始數(shù)據(jù)矩陣為：pnnpnnppxxxxxxxxx212222111211X 由于因子分析都是基于由于因子分析都是基于協(xié)方差矩陣或相關(guān)系協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣數(shù)矩陣完成的，所以必須從變量和樣品的協(xié)完成的，所以必須從變量和樣品的協(xié)方差矩陣入手來進(jìn)行分析。方差矩陣入手來進(jìn)行分析。pnpnpnnppppxxxxxxxxxxxxxxxxxx221122221211212111*X 變量的叉積矩陣)(ppR*X)(X樣品的叉積矩陣)()(nnQ*XX 顯而易見，變量和樣品的叉積矩陣的階數(shù)不同，顯而易見，變量和樣品的叉積矩陣的階數(shù)不同，一般來說，他們的非零特征根也不

12、一樣，那么能否將一般來說，他們的非零特征根也不一樣，那么能否將觀測(cè)值做變換。觀測(cè)值做變換。 ZX 具有相同的特征根。和 ZZZZpnnpnnppxxxxxxxxxX212222111211 （一）規(guī)格化矩陣 .2 .1 . 2. 1212222111211xxxxxxxxxxxxxxxxpnnpnnpp為列和為行和，jixx.為總和.x./ xxpijijpnnpnnpppppppppppX212222111211我們可以把我們可以把pij解釋成概率，因?yàn)樗械脑刂蜑榻忉尦筛怕剩驗(yàn)樗械脑刂蜑?。pjijipp1.行和：niijjpp1.列和：.11/ijijijijppiiijij

13、jjpxxxxxpxpxxnixxxxxxppppppiipiiiiiipiiii, 3 , 2 , 1.2.1.2.1稱為稱為行輪廓行輪廓。即把第即把第i i行表示成在行表示成在p p維歐氏空間中的一個(gè)點(diǎn)維歐氏空間中的一個(gè)點(diǎn).2.1. 22. 222. 221. 11. 112. 111/)(nnpnnnnppppppppppppppppppppRNpjppppppEnijiiijiij, 2 , 1,.)(1.行輪廓矩陣為：由此，我們可以將屬性變量由此，我們可以將屬性變量A A的的n n個(gè)取值可個(gè)取值可以用以用P P維空間的維空間的n n個(gè)點(diǎn)來表示。個(gè)點(diǎn)來表示。n n個(gè)點(diǎn)的坐個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即為

14、該行輪廓矩陣。標(biāo)即為該行輪廓矩陣。 但是，因?yàn)樵甲兞康臄?shù)量等級(jí)可能不同，所以但是，因?yàn)樵甲兞康臄?shù)量等級(jí)可能不同，所以為了盡量減少各變量尺度差異，將行輪廓中的各列為了盡量減少各變量尺度差異，將行輪廓中的各列元素均除以其期望的平方根。得矩陣元素均除以其期望的平方根。得矩陣D(R)第第j個(gè)變量的期望為：個(gè)變量的期望為：pnnpnnnnpppppppppppppppppppppppppppppppRD.2 .21 .1. 222 . 2221 . 221. 112 . 1121 . 111/)(pjppppppppppEjnijjijiijjiij, 2 , 1,1.)(.1.矩陣矩陣D（R）是消

15、除了變量）是消除了變量B的各個(gè)狀態(tài)概率影響的的各個(gè)狀態(tài)概率影響的P維空間維空間n個(gè)點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)。個(gè)點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)。則這則這n個(gè)點(diǎn)的重心，也有個(gè)點(diǎn)的重心，也有p維坐標(biāo)，設(shè)其第維坐標(biāo)，設(shè)其第j個(gè)分量為：個(gè)分量為：N個(gè)點(diǎn)的重心為：個(gè)點(diǎn)的重心為：),(.2 .1 .pPPP19總慣量總慣量 由矩陣由矩陣D（R）定義的）定義的n 個(gè)點(diǎn)與其重心的歐氏個(gè)點(diǎn)與其重心的歐氏距離之和稱為行輪距離之和稱為行輪廓矩陣?yán)仃嘚（R） 的總慣量。的總慣量。記為記為 .II21nIIJI同時(shí)，可證明： 稱稱為列輪廓。為列輪廓。pjxxxxxxppppppjnjjjjjjnjjjjj, 3 , 2 , 1.2.1.2.1pnp

16、nnppppppppppppppppppppppQN.2 .21 .1.22 .221 .21.12 .121 .11/)(niijjijjijppppppE1.)(同理：列輪廓矩陣為：列輪廓矩陣為： 因?yàn)樵甲兞康臄?shù)量等級(jí)可能不同，所以為了盡量減少各變量尺度差異，將列輪廓中的各行元素均除以其期望的平方根。得矩陣D（Q）.2 .2.1 .1. 2.2. 22 .22. 21 .21. 1.1. 12 .12. 11 .11/)(npnpnnnnpppppppppppppppppppppppppppppppQDniijijijijijppppppppE1.)(.1.apajjaajiiaaiij

17、pppppppppapaajjaajaiiaaipppppppppp1.pajajaajiaiaaipppppppppp1.paajaizz1iaiaaiiaiaaiaixxxxxpppppz.利用行輪郭矩陣，可得第i個(gè)樣品與第j個(gè)樣品的協(xié)方差：令Z為zij所組成的矩陣，則ZA Zanajjajaiiaiaijpppppppppb.1.naajjajaiaaiiapppppppppp1.najaiazz1najajajaiaiaiapppppppppp1.利用列輪廓矩陣，可得第i個(gè)變量與第j個(gè)變量的協(xié)方差：ZZB令Z為zij所組成的矩陣，則設(shè) 是A=ZZ的非零特征根，則kkkuZuZk)()(

18、kkuZZuZZkkkZuZZB令Z為zij所組成的矩陣，則 因此將矩陣變換成矩陣Z，則很容易求出A和B存在著的簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)關(guān)系。由特征根和特征向量的性質(zhì)， A和B有相同的非零特征根。在上式的兩邊都左乘Z，則可見 也是ZZ的特征根，相應(yīng)的特征向量是三、對(duì)應(yīng)圖對(duì)應(yīng)圖 設(shè)12 l(0imin(n,p)為矩陣A和B的非零特征根,其相應(yīng)的特征向量為12111puuu1u222122puuuu12111nvvv1v222122nvvvv 我們知道因子載荷矩陣的含義是原始我們知道因子載荷矩陣的含義是原始變量與公共因子之間的相關(guān)系數(shù)，所以變量與公共因子之間的相關(guān)系數(shù)，所以如果我們構(gòu)造一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，將如果我

19、們構(gòu)造一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，將第一公共因子的載荷與第二個(gè)公共因子第一公共因子的載荷與第二個(gè)公共因子的載荷看成平面上的點(diǎn)，在坐標(biāo)系中繪的載荷看成平面上的點(diǎn)，在坐標(biāo)系中繪制散點(diǎn)圖，則構(gòu)成對(duì)應(yīng)圖。制散點(diǎn)圖，則構(gòu)成對(duì)應(yīng)圖。 例例 某地環(huán)境檢測(cè)部門對(duì)該地所屬某地環(huán)境檢測(cè)部門對(duì)該地所屬8個(gè)個(gè)地區(qū)的大氣污染狀況進(jìn)行了系統(tǒng)的的檢測(cè)，地區(qū)的大氣污染狀況進(jìn)行了系統(tǒng)的的檢測(cè)，每天每天4次同時(shí)在各個(gè)地區(qū)抽取大氣樣品，則定次同時(shí)在各個(gè)地區(qū)抽取大氣樣品，則定其中的氯、硫化氫、二氧化硫、碳其中的氯、硫化氫、二氧化硫、碳4、環(huán)氧氯、環(huán)氧氯丙烷、環(huán)已烷丙烷、環(huán)已烷6種氣體的濃度。有資料如下：種氣體的濃度。有資料如下：0.056

20、0.084 0.031 0.038 0.0081 0.0220.049 0.055 0.10.110.022 0.00730.038 0.130.079 0.170.058 0.0430.034 0.095 0.058 0.160.20.0290.084 0.066 0.029 0.320.012 0.0410.064 0.072 0.10.210.028 1.380.048 0.089 0.062 0.260.038 0.0360.069 0.087 0.027 0.050.089 0.021 特征根貢獻(xiàn)率（%）累積貢獻(xiàn)率（%）10.5066870.0070.0020.1221316.878

21、6.8730.056587.8294.69 F1和G1，F(xiàn)2和G2尺度相同，所以可以在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出兩種因子的載荷圖，這種圖稱為對(duì)應(yīng)圖。R型因子分析的載荷F1F20.13831-0.043850.203330.026500.11003-0.019850.21754-0.186870.217200.28831-0.582750.03279Q型因子分析的載荷F1F20.10599-0.023540.15369-0.061640.16284-0.009280.223880.223770.15853-0.19307-0.561530.019000.16656-0.106640.164290.1

22、3644-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.30-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.3變量變量樣品樣品對(duì)應(yīng)圖對(duì)應(yīng)圖 由圖我們可以看出，全部變量與樣品分為3類。每一類聚合一些變量和樣品。 第一類：聚合了環(huán)氧氯丙烷X5和D和H兩個(gè)地區(qū)，表明D和H兩個(gè)地區(qū)主要大氣污染物為環(huán)氧氯丙烷。 第二類：包含變量X1，X2，X3，X4和樣品A，B，C，E和G地區(qū)，這5個(gè)地區(qū)的主要污染物是氯、硫化氫、二氧化硫、碳4。 第三類：包含X6和地區(qū)F，該地區(qū)的主要污染物是環(huán)已烷。 1992-1994年在北京市進(jìn)行的年在北京市進(jìn)行的“北京老齡北京老齡化多維縱向研究化多維縱向研究”。在這項(xiàng)研究中，先后在。在這項(xiàng)研究中，先后在兩年時(shí)間里，對(duì)一批兩年時(shí)間里，對(duì)一批60歲以上的老年人進(jìn)行歲以上的老年人進(jìn)行了縱向追蹤調(diào)查，有了縱向追蹤調(diào)查，有2703位老年人在兩次調(diào)位老年人在兩次調(diào)查中都被調(diào)查，了解對(duì)被調(diào)查的老年人查中都被調(diào)查，了解對(duì)被調(diào)查的老年人“日日常生活自理能力常生活自理能力”和和“自評(píng)健康情況自評(píng)健康情況”，得，得如下資料：如下資料：自評(píng)健康狀況自評(píng)健康狀況生活自理能力生活自理能力完全自理完全自理部分自理部分自理不能自理不能自理合計(jì)合計(jì)很好很好129148151好好93114696117