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1、1. 級數(shù)收斂充要條件:部分和存在且極值唯一,即:Sn=limUk存在,稱級數(shù)收斂5 y2若任意項級數(shù)二Un收斂,n A.Un|收斂,則稱級數(shù)f Unn£ Un發(fā)散,則稱f Un條件收斂,若:£|n 2n n絕對收斂,絕對收斂的級數(shù)一定條件收斂。2. 任何級數(shù)收斂的必要條件是lim un =03若有兩個級數(shù)二Un和v Vn,二比=S,二:Vn -;- ngnlngngoO二(Un »Vn ) = S士匚,n 4& Un收斂,& Vn發(fā)散,則二(Un Vn )發(fā)散ngn 4nJ若二者都發(fā)散,則QOQO7 (UnVn)不確定,如v 1,n 4k4qQq
2、Q-1發(fā)散,而J 1-1 =0收斂kAk 44三個必須記住的常用于比較判斂的參考級數(shù):a)等比級數(shù):b)P級數(shù):c)對數(shù)級數(shù):00E arn =心£收斂,發(fā)散,|r| >1100 1n'收斂,p"、發(fā)散,pW1:1 收斂,p 1 InnlPn 發(fā)散,p 10an -Jn 45三個重要結(jié)論送(an-a)收斂U lim an存在正項(不變號)級數(shù)送a.收n Z a;收,n,5 -反之不成立,|送a;和送b:都收斂n Z |and|收,E囘或乞囤收 nn6常用收斂快慢7.正項(不變號)級數(shù)斂散性的判據(jù)與常用技巧1.達朗貝爾比值法Un 1 lim - n廠Un1 ::
3、: 1,收=111,發(fā)(實際上導(dǎo)致了 limn=0)|n廠:1 =1,單獨討論(當(dāng)為連乘時)2.柯西根值法Ilim n Un = I In_.;:':1收 1,發(fā)(當(dāng)叫為某n次方時)=1,單獨討論3.比階法代數(shù)式極限式U77帆V?A,其中:J和J都是正項級數(shù)。Un _Vn=、Vn收斂=、Un收斂,' Un發(fā)散=n z!n =1n =1.1 n 1 1'InUn =n 丘、n n -1. n::1 、工就可知原級n 4"2n2In JLn 1上 - n -1、n . n -1, n n11,也可選用基準(zhǔn)級數(shù)n28任意項級數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧Un萊布尼茨判交
4、錯級數(shù)(任意項級數(shù)的特例)qQ這是一個必要條件,如果不滿足,則 J(-1)nn =0 是發(fā)散,要使用絕對收斂判別其斂散性。OQ lim un = 0 Un _ Un .1= 7 (1)nUn 收斂。 nn出必發(fā)散,若只有不滿足,則不一定收斂還任意項級數(shù)判斂使用絕對值,使之轉(zhuǎn)換為正項級數(shù),即絕對收斂、條件收斂或發(fā)散。任意項級數(shù)判斂的兩個重要技巧:a微分積分法。換成連續(xù)變量,再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。b k階無窮小試探法。在不能估計出通項的無窮小階次時,使用該試探法,9.幕級數(shù) 7 an(X-Xo)nn=01阿貝爾(Abel)定理qQ/qQ、如果級數(shù)anXn當(dāng)x =冷 冷=0,因為x0=O=、a
5、" =0顯然收斂 點收斂,則級數(shù)在圓 n£I比7丿域X<x°|內(nèi)絕對收斂;如果級數(shù)送anXn當(dāng)X = X1點發(fā)散,貝U級數(shù)在圓域X>|x1外發(fā)散。由阿 n =0貝爾(Abel)定理可見收斂點集或發(fā)散點集是分別連接成對稱連續(xù)區(qū)域,這一定理是引入幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域概念的理論依據(jù)。注意,除x = x° x°=O夕卜,該定理并沒有完全保證圓上每一點的斂散性,正確理解阿貝爾定理是學(xué)好幕級數(shù)的關(guān)鍵。如推論:如果& anxn不是僅在x=O 點收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個確n zO定的正數(shù)R存在,使得:10幕級
6、數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域已知屮f,若宀nm|或lim n ann_n-切則根據(jù)比值判斂法有:lim 也1 x-Xd uPx-Xo <1 收斂二 x-x()丈丄=R=lim 收斂。 nY anp F an+1收斂半徑R :1 二 limP n_scanan -1r = <r =全平面收斂,R=0n只有一個收斂點x = 0,- 0;?=0P = +ac收斂區(qū)間(Xo-R, Xo+R ):級數(shù)在X-Xo CR= xXo-R, Xo + R)收斂;幕級數(shù)的收斂區(qū)qQqQ間是非空點集,對J an(x-Xo)n至少在x=xo處收斂,對anXn至少在x=0處收斂。由阿貝爾 n 0n -0定
7、理可以推出:幕級數(shù)的條件收斂點只能位于收斂區(qū)間端點。收斂域:由于級數(shù)在收斂區(qū)間的端點上(收斂半徑R上)收斂性待定,故收斂域是Xo-R,XoR、Xo-R,XoR、Xo-R,XoR】或比 - R,XoR1 四種情況之一。3. 在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)qQ(1)anXn的和函數(shù)f X連續(xù)并有任意階導(dǎo)數(shù);n占o(jì)Ozn -0可逐項微分qQf'(x) = (anXn)八n_0QOn 1 nanx -n Aodzn衛(wèi)可逐項積分xxa0 f (x)dx 八° anXndx)xn 1n 衛(wèi)y n 1anXn絕對收斂n _011利用泰勒公式可將常用初等函數(shù)展開成幕級數(shù)-泰勒級數(shù)以下是幾個常展開的充要條
8、件是泰勒公式中余項(包括拉氏余項,佩亞若余項)為零。用的麥克勞林展開結(jié)論ACOu (-1,1)丄八un1 -un 衛(wèi)1OQ門鳥一1)U (-1 , 1 ):_ neu八- 心n!U (空,:)2n 1u(2n 1)!CO sin u 八(-1)nn =02n 1cosu;l盤u (八,于ln2八J嚴(yán)n AU (一1, 10unln(1 u)八(-1)n4nTn(1 u) T)(n nn=0八CMn=0u (T,1)二u -u33:2n 1 tan u n2 n+1n 2n 1u -1,1arctanu 八(u -u 心 2n+13oOvln入送 nx =2n4(1 X )oCi ioO ie=
9、2:=送 n n!nJ n 1 !- nln (1 -x)n 4 nj -n 1:n-11e 1 1 n 11 n! n 二 (n +1)!5.幕級數(shù)求和方法函數(shù)項級數(shù)求和方法一般先求收斂域,然后逐次積分或微分,利用上述10各泰勒級數(shù)結(jié)論進行零部件組裝 數(shù)項級數(shù)求和方法構(gòu)造輔助幕級數(shù)法。付立葉級數(shù)1 周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)* f(x)為在-l, l 上周期為21的周期函數(shù),貝U特別地,當(dāng)l =二時*當(dāng)f (x)是偶函數(shù)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)2非周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)方法如果非周期函數(shù)f x只是定義在區(qū)間0, I或0,二1,兩種區(qū)間可以令t x相互轉(zhuǎn)換, I為了利用付里葉級數(shù)展開,必須將f x拓展,其方式有兩種,即:(1) 偶拓展 令F(x)二f(x) "x,1,使F(x)成為l-l, I 1上的周期偶函數(shù),展開后取lf(x)-l 蘭xcOOx勻上的函數(shù)值即為f x的付里葉展開。(2) 奇拓展 令F
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