2017《-整式乘除與因式分解》知識點歸納總結(jié)

1、整式乘除與因式分解知識點歸納總結(jié)一、哥的運算：1、同底數(shù)哥的乘法法則：am .an = am* (m,n都是正整數(shù))同底數(shù)哥相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。如：(a b)2 *(a b)3 = (a b)52、哥的乘方法則：(am)n =amn (m,n都是正整數(shù))哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：(35)2=310哥的乘方法則可以逆用：即am1 =(am)n = (an)m如：46 = (42)3 = (43)23、積的乘方法則：(ab)n=anbn (n是正整數(shù))。積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。如：(-2x3y2z)5 = (-2)5 "x3)5 .(y2

2、)5 .z5 =-32x15y1°z54、同底數(shù)哥的除法法則：am + an=amH ( a # 0, m,n都是正整數(shù)，且m » n)同底數(shù)哥相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：(ab)4 (ab) =(ab)3 =a3b35、零指數(shù)；a°=1,即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1?？偨Y(jié)：醒算的理r n為偶數(shù)r (b-ay n為偶數(shù)I 一1 n為奇數(shù)1一 9一4 n為奇數(shù)二、單項式、多項式的乘法運算：6、單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含 有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。如：-2x2y3z,3xy =7、單項式乘以多項式，

3、就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即 m(a+b+c) = ma+mb+mc ( m, a, b,c 者B 是 單 項 式)。 如：2x(2x -3y) -3y(x + y) =。8、多項式與多項式相乘，用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積 相加。9、平方差公式：(2+0(2一坊=22一注意平方差公式展開只有兩項公式特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互 為相反數(shù)。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。如：(x+y z)(xy+ z) = 10、完全平方公式：(a±b)2 = a2 ±2ab+ b2完全平方公式

4、的口訣：首平方，尾平方，首尾2倍中間放，符號和前一個樣。公式的變形使用：(1) a2 +b2 =(a +b)2 _2ab =(a +b)2 _2ab ; (a 一 b)2 = (a+ b)2 一 4ab222.2 . .2 . .2(-a -b) =-(a+b) =(a+b), (-a + b) =-(a-b) =(a-b)(2)三項式的完全平方公式：(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc11、單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相除，作為商的因式，對于 只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)

5、(即系數(shù)相除)，然后同底數(shù)晶相除，如果只在被除式里含有 的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。如：-7a2b4m+49a2b12、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單 項式，在把所的的商相加。即：(am+bm + cm產(chǎn) m = am -： m = bm ： m cm ： m = a b c 三、因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)會找多項式中的公因式；公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母一一各項含有的相同字母；指數(shù)一一相同字母的最低次數(shù)；(2)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需 注

6、意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可 用來檢驗是否漏項.(3)注意點：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“一”號，使括號內(nèi)的第一項的系 數(shù)是正的.2、公式法運用公式法分解因式的實質(zhì)是：把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式:平方差公式：a 2 b2= (a+ b) (a b)完全平方公式：a2+2ab+ b2= (a+b) 2a22ab+ b2= (a b) 23、十字相乘法.(一)二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式x2 +(p + q)x+ pq = (x + p)(x + q)進(jìn)行分解。特點：

7、(1)二次項系數(shù)是1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例1.已知0V aW5,且a為整數(shù)，若2x2+3x + a能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三項 式ax2+bx+c,都要求 =b2-4ac >0而且是 一個完全平方數(shù)。于是A=9-8a為完全平方數(shù)，a = 1 例2、分解因式：x2 5x 6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于6=2X 3=(-2)x (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X3的分 解適合，即2+3=5。12解：x2 5x 6

8、= x2 (2 3)x 2 313= (x+2)(x+3)1X2+1X3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代 數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例3、分解因式：x2 -7x 6解：原式=x2 (-1) (-6)x (-1)(-6)1 二7二-1=(x -1)(x -6)1-6(-1) + (-6) = -7練習(xí) 1、分解因式(1)x2 14x 24(2)a2 -15a 36(3)x2 4x-5(二)二次項系數(shù)不為1二次三項式 ax2+bx + ca1Ci條件：(1) a =a1a2a2 C三C1C2(3) b =a1c2a2Gb=a1c2a2c1分解結(jié)果：ax2 bx

9、 c = (a1x g )(a2x C2)例4、分解因式：3x2 -11x 10分析：1-23-5練習(xí)3、分解因式：(1) 5x2+7x6(2) 3x2 -7x + 2(-6) + (-5) = -11 解：3x2 -11x 10 = (x -2)(3x -5)(三)二次項系數(shù)為1的齊次多項式 例5、分解因式：a2 -8ab -128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相乘法 進(jìn)行分解。18bx1-16b8b+(-16b)= -8b 解：a2 -8ab-128b2=a2 8b (-16b)a 8b (-16b)=(a 8b)(a -16b)練習(xí) 4、分解因式(1)

10、x2 -3xy 2y2 (2) m2 - 6mn 8n2(3)a2 - ab-6b2(四)二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例 9、2x2 -7xy 6y21,-2y2_3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x-2y)(2x-3y)例 10、x2y2 -3xy 2把xy看作一個整體1-11-2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy-1)(xy-2)練習(xí)9、分解因式：(1) 15x2+7xy-4y2(2) a2x2 - 6ax 8綜合練習(xí) 5、(1) 8x6 -7x3-1(2) 12x2 71xy 75y2(3) (x+y)2 3(x+y)10(4) (a b)2 - 4a - 4b 3

11、(5)2222x y -5x y-6x(6)2.2m -4mn 4n 一 3m 6n 2(7)22x 4xy 4y -2x -4y -3(8)22225(a b)2 23(a2 - b2) - 10(a - b)23、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會利用整體思考問題的數(shù)學(xué)思想方法和實際運用意識。如：對于任意自然數(shù)n, (n+7)2(n5)2都能被動24整除。1 .若2am出%7+a5bn4也的運算結(jié)果是3a5b7 ,則m十n的值是()A . -2 B . 2 C . -3 D . 32 .若a為整數(shù)，則a2十a(chǎn)一定能被()整除A . 2 B . 3 C . 4 D . 53 .若x2+2(m-3)x+1

12、6是完全平方式，則m的值等于()A.3B.-5C.7.D.7 或-14.如圖，矩形花園ABCD中，AB=a, AD= b,花園中建有一條矩形道路LMQP及一條則花園中可綠化部平行四邊形道路RSTK,若LM=RS=c,分的面積為()A . bc -ab +ac +b2B. a2 + ab +bc -acC. ab - bc - ac c2D . b2 -bc +a2 -ab5 .分解因式：a2 -1 - b2 -2ab =6 .下表為楊輝三角系數(shù)表的一部分，它的作用是指導(dǎo)讀者按規(guī)律寫出形如(a+ b)n (n為正 整數(shù))展開式的系數(shù)，請你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，填出(a + b)n展開式中所缺的系數(shù)。a b = a b.22c. 2a b = a 2ab b 33223a b = a 3ab 3abb一 一一一一171貝U(a+b)=a +ab+a b +ab +b/'13317. 3x(7-x)=18-x(3x-15)8. (x+3)(x-7)+8> (x+5