線性代數知識點總結材料

1、標準實用文案大全線性代數知識點總結第一章行列式二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個元素的乘積的和同（-1產小）即危2.即j1j2 jn（奇偶）排列、逆序數、對換行列式的性質：行列式行列互換，其值不變。（轉置行列式 D = DT）行列式中某兩行（列）互換，行列式變號。推論：若行列式中某兩行（列）對應元素相等，則行列式等于零。常數k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零；推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。行列式具有分行（列）可加性將行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余

2、子式 Mj、代數余子式 Aj =（-1）HjMij定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對應余子式乘積之和為零?？巳R姆法則：非齊次線性方程組 ：當系數行列式 D #0時，有唯一解：xj =D-（ =1、2.n） j D齊次線性方程組：當系數行列式 D=1#0時，則只有零解逆否：若方程組存在非零解，則 D等于零奇數階的反對稱行列式值為零a11a12a13三線性行列式：a21a220a310a33反對稱行列式：aij - -aji上（下）三角形行列式方法：用k1a22把221化為零，?；癁槿切涡辛惺教厥庑辛惺?如知a13a11a21a31轉置行列式：a21a22a23Ta12a22a32a31a

3、32a33a13a23a33對稱行列式：aij = aji行列式運算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、第二章矩陣矩陣的概念： Amn （零矩陣、負矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣）矩陣的運算：加法（同型矩陣） 交換、結合律數乘kA = （kaj）m*n 分配、結合律lA*B=（aik）m*i*（bkj）i*n=,aikbkj）m*n乘法i注意什么時候有意義一般AB=BA不滿足消去律；由 AB巾 不能得 A=0或B=0轉置（AT）T =A（A B）T - AT BT（kA）T =kAJ（AB）T = BT AT （反

4、序定理）方哥：Ak1Ak2 =Aki2幾種特殊的矩陣：對角邛陣：若 AB都是 N階對角陣， k是數，則 kA、A+B、AB都是n階對角陣數量矩陣：相當于一個數（若）單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若）對稱矩陣反對稱矩陣階梯型矩陣：每一非零行左數第一個非零元素所在列的下方都是0分塊矩陣：加法，數乘，乘法：類似，轉置：每塊轉置并且每個子塊也要轉置注：把分出來的小塊矩陣看成是元素逆矩陣：設 A是N階方陣，若存在 N階矩陣 B的AB=BA=I則稱 A是可逆的，A4=B（非奇異矩陣、奇異矩陣 冏=0、伴隨矩陣）3、將某行（列）的 K初等矩陣都可逆倍乘陣倍加陣）初等變換 1、交換兩行（列）2.、非零k乘某一

5、行（列）倍加到另一行（列） 初等變換不改變矩陣的可逆性初等矩陣：單位矩陣經過一次初等變換得到的（對換陣等價標準形矩陣Dr =Ir O9 0矩陣的秩r（A）:滿秩矩陣 降秩矩陣若A可逆，則滿秩若A是非奇異矩陣，則 r （AB） =r （B） 初等變換不改變矩陣的秩求法：1定義2轉化為標準式或階梯形矩陣與行列式的聯系與區(qū)別：都是數表；行列式行數列數一樣，矩陣不一樣；行列式最終是一個數，只要值相等，就相等，矩陣是一個數表，對應元素相等才相等；矩陣（k）。=k（aj）n ,行列式kaj=kn aj逆矩陣注：AB=BA=I則A與B一定是方陣 BA=AB=I則A與B一定互逆;不是所有的方陣都存在逆矩陣；若

6、A可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的 運算律：1 、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且 （A,）二A1112、可逆矩陣A的數乘矩陣kA也是可逆的，且（kA）=1A,3、可逆矩陣A的轉置AT也是可逆的，且（AT）=（A）T4、兩個可逆矩陣 A與B的乘積AB也是可逆的，且（AB）= B'A但是兩個可逆矩陣 A與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但（A+ B） # A/+ BA為N階方陣，若|A|=0 ,則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。15、若A可逆，則A = A伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣：A* = | A11 A12（代數余子式）A21 A22A _ABC“、O C

7、9;,'A則 A，=A2,AAA?A* = AA （A可逆）特殊矩陣的逆矩陣：（對1和2,前提是每個矩陣都可逆）1、分塊矩陣d=（a B'則d'=IO C；,A4 、A22 、準對角矩陣A =A、AJ3 、 AA = A A = AI 4*n 1*1h*1.5 、a = A -6、（A ） =（A j =A （A可逆）IA7 、（A* T =（AT *8、（AB* = B*A*1判斷矩陣是否可逆：充要條件是 A#0,此時A,=，A A求逆矩陣的方法：定義法AAJ -I*A伴隨矩陣法A=AA初等變換法（A|In ）=Qn|A）只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關系 ：設A

8、= （a j m*n是m*n階矩陣，則對A的行實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以 A：又A的列實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A（行變左乘，列變右乘）第三章線性方程組消元法非齊次線性方程組：增廣矩陣一簡化階梯型矩陣r（AB）=r（B）=r當r=n時，有唯一解；當 r#n時，有無窮多解r（AB） =r（B）,無解齊次線性方程組：僅有零解充要r（A）=n有非零解充要r（A）n 當齊次線性方程組方程個數未知量個數，一定有非零解 當齊次線性方程組方程個數=未知量個數，有非零解充要冏=0 齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個N維向量：由n個實數組成的n元

9、有序數組。希臘字母表示（加法數乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量。，負向量，相等向量，轉置向量向量間的線性關系：|線性組合或線性表示（量組間的線性相關（無）：定義p79向量組的秩：極大無關組（定義 P188）定理：如果u 產，.5 是向量組 42,.%的線性無關的部分組，則它是 j1， j2Jr1121s極大無關組的充要條件是：口1尸2,.中的每一個向量都可由 « i,.« i線性表出。1 2sJ1J2Jr秩：極大無關組中所含的向量個數。定理：設A為m*n矩陣，則r（A） =r的充要條件是：A的列（行）秩為r?，F性方程組解的結構：齊次非齊次、基礎解系線性組合或線性表示注：

10、兩個向量“ 3 ,若豆=kP則”是3線性組合單位向量組任意向量都是單位向量組的線性組合 零向量是任意向量組的線性組合 任意向量組中的一個都是他本身的線性組合向量組間的線性相關（無）注：n個n維單位向量組一定是線性無關一個非零向量是線性無關，零向量是線性相關 含有零向量的向量組一定是線性相關 若兩個向量成比例，則他們一定線性相關向量3可由ot1,a2,.otn線性表示的充要條件是 rSTa2TanT ） = rQ 1T。2T叫邛T）判斷是否為線性相關的方法：1、定義法：設k1k2.kn,求k1k2.kn （適合維數低的）2、向量間關系法 P83：部分相關則整體相關，整體無關則部分無關3、分量法（

11、n個m維向量組）p80 :線性相關（充要）=（%72T：）< n線性無關（充要） 一 r（： 1T： 2T .： nT） =n推論當m=n時，相關，則 a1Ta2Ta3T =0；無關，則ct1Tct2Toe3T 00當m<n時，線性相關推廣：若向量a1 a2組線性無關，則當s為奇數時，向量組“1+（x2cf2+ct3.ct+（x1 ,M,S,43,S也線性無關；當s為偶數時，向量組也線性相關。定理：如果向量組 四，32，.。$，P線性相關，則向量 P可由向量組a1,a2,.as線性表出，且表示法唯一的充分必要條件是«1 a2,.«s線性無關。極大無關組 注：向量

12、組的極大無關組不是唯一的，但他們所含向量的個數是確定的;不全為零的向量組的極大無關組一定存在；無關的向量組的極大無關組是其本身；向量組與其極大無關組是等價的。齊次線性方程組(I)解的結構：解為a1,a2.(I)的兩個解的和 8十口？仍是它的解；(I)解的任意倍數ka還是它的解；(I)解的線性組合 c10fl +c20f2 +.+csus也是它的解，C1,C2,.CS是任意常數。非齊次線性方程組(II )解的結構：解為匕，匕(II )的兩個解的差 丹匕仍是它的解；若N是非齊次線性方程組 AX=B的一個解，v是其導出組 AX=O的一個解，則u+v是(II ) 的一個解。定理：如果齊次線性方程組的系

13、數矩陣A的秩r (A) = r < n ,則該方程組的基礎解系存在，且在每個基礎解系中，恰含有n-r個解。若N是非齊次線性方程組 AX=B的一個解，v是其導出組 AX=O的全部解，則u+v是 (II )的全部解。第四章向量空間向量的內積 實向量定義：(a, 3)=aP T =a1bl+a2b2+.+anbn性質：非負性、對稱性、線性性( a ,k 3 )=k( a , 3 )；八22 .2(k a ,k 3 )= k ( a , 3 );(a + 3 ,/ + B )=( a , )+( a ,5 )+( 3 , ' )+(3 , S )；rs r s ki«i,z i

14、j Pj)=z kiZij(叫,Pj)華P,z”Rn.iTj =1i 凸 j 凸向量的長度網=J,o)0 =0的充要條件是a =0； a是單位向量的充要條件是(a, a) =1單位化向量的夾角正交向量：a 3是正交向量的充要條件是(a, 3)=0正交的向量組必定線性無關正交矩陣：n階矩陣AAAT u AT A V I性質：1、若A為正交矩陣，則A可逆，且 A=AT ,且A也是正交矩陣;2、若A為正交矩陣，則 A =±1 ;3、若A、B為同階正交矩陣，則AB也是正交矩陣；4、n階矩陣A= （ a。）是正交矩陣的充要條件是A的列（行）向量組是標準正交向量；第五章 矩陣的特征值和特征向量特

15、征值、特征向量A 是N階方陣，若數九使AX=K X,即（K I-A ） =0有非零解，則稱 人為A的一 個特征值，此時，非零解稱為A的屬于特征值 九的特征向量。|A|= %*%*.%注：1、AX=?.X2 、求特征值、特征向量的方法u A=0求 將先代入（九I-A） X=0求出所有非零解3 、對于不同的矩陣，有重根、單根、復根、實根（主要學習的）特殊：（九I）n的特征向量為任意 N階非零向量或 C2 （Ci不全為零）<cn ）4、特征值：若M九# 0）是A的特征值則A'九則Am，m則 kA k'若人2=人貝| 九二0或1若A2 =1則 九=-1或1k .右 A =O貝U&

16、#39; =0跡 tr(A ):跡(A)= a11 +a22 +ann性質：1 、 N階方陣可逆的充要條件是 A的特征值全是非零的2 、 A與A有相同的特征值3 、N階方陣A的不同特征值所對應的特征向量線性無關4 、 5、 P281相似矩陣定義P283: A B是N階矩陣，若存在可逆矩陣P,滿足P/AP=B,則矩陣 A與B相似，記作AB性質1、自身性：AA,P=I5 、對稱性：若AB則BAPAP = BA=PBP(P)BP= A6 、傳遞 性：若 AB、BC 則 ACRAP, =BP2,BP2 =C -(PiP2)A(RP2)=C7 、若AB,則A與B同(不)可逆8 、若AB,則A'B

17、/P,AP = B兩邊同取逆， P,AP=B6、若AB,則它們有相同的特征值。(特征值相同的矩陣不一定相似)9 、若AB,則r(A)=r(B)初等變換不改變矩陣的秩例子：P/AP = 8則 A100 = PB100PPAP =O A=OP,AP = I A=IP,AP=1；I A= I矩陣對角化定理：N階矩陣A與N階對角形矩陣相似的充要條件是A有N個線性無關的特征向量注：1、P與人中的x與順序一致10 、A則人與P不是唯一的推論：若n階方陣A有n個互異的特征值，則 Aa(P281)定理：n階方陣Aa的充要條件是對于每一個Ki重特征根%，都有r(%I - A) = n-Ki注：三角形矩陣、數量矩陣 川的特征值為主對角線。約當形矩陣P 1、11 I 1 112 塊：形如 J=的n階矩陣稱為n階約