小學(xué)奧數(shù)教程：盈虧問題(三)全國通用(含答案)

1、自 tut/ 教學(xué)目標(biāo)1 .熟練掌握盈虧問題的本質(zhì).2 .運(yùn)用盈虧問題的解題方法解決一些生活實(shí)際問題.目Me 知識(shí)精講盈虧問題的特點(diǎn)是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況.分配不足時(shí)，稱之為虧”，分配有余稱之為 盈”；還有些實(shí)際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時(shí)，如果每人少分，則物品就有余（也就是盈），如果每人多分，則物品就不足 （也就是虧），凡研究這一類算法的應(yīng)用題叫做盈虧問題可以得出盈虧問題的基本關(guān)系式：（盈+虧）4兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)（盈盈）+兩次分得之差 =人數(shù)或單位數(shù)（虧一虧）士兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出.也有的問題兩次都有余或兩次

2、都不足，不管哪種情況，都是屬于按兩個(gè)數(shù)的差求未知數(shù)的盈虧問題”.注意：1.條件轉(zhuǎn)換；2.關(guān)系互換.模塊一、利用條件關(guān)系轉(zhuǎn)換解盈虧問題一一轉(zhuǎn)化被分配物質(zhì)【例1】王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍.桔子每人分3個(gè)，多4個(gè)；蘋果每人分7個(gè)，少5個(gè).問有多少個(gè)小朋友？多少個(gè)蘋果和桔子？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】3星 【題型】解答【解析】因?yàn)榻圩用咳朔?個(gè)多4個(gè)，而蘋果是桔子的2倍，因此蘋果每人分 6個(gè)就多8個(gè).又已知蘋果每人 分7個(gè)少5個(gè)，所以應(yīng)有（8+5） + （6-5） =13 （人）.蘋果個(gè)數(shù)為13X7-5=86 （個(gè)）.桔子數(shù)為13 >3+4=43 （個(gè)）.答：有13個(gè)小朋友

3、，86個(gè)蘋果和43個(gè)桔子.【答案】13個(gè)小朋友，蘋果86個(gè)，桔子43個(gè)【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校買來一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學(xué)們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍 14副，則差30副，問：學(xué)而思學(xué)校買來羽毛球拍、乒乓球拍 各多少副？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】3星 【題型】解答【解析】因?yàn)橛鹈蚺氖瞧古仪蚺牡?2倍，如果每次分羽毛球拍 5X2=10 （副），最后應(yīng)余下15X2=30 （副）， 因?yàn)?4-5 X2=4（副），分到最后還差30副，所以比每次分10副總共差30+30=60 （副），所以有小組： 60 4=15 （組），乒乓球拍有：5X15+15=90

4、（副），羽毛球拍 90X2=180 （副）.【答案】羽毛球拍180副，乒乓球拍90副例2有若干個(gè)蘋果和若干個(gè)梨.如果按每1個(gè)蘋果配2個(gè)梨分堆，那么梨分完時(shí)還剩 2個(gè)蘋果；如果按每3個(gè)蘋果配5個(gè)梨分堆，那么蘋果分完時(shí)還剩1個(gè)梨.蘋果和梨各有多少個(gè)？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】4星 【題型】解答【解析】容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到.原因在于第一種方案是 1個(gè)蘋果 搭配” 2個(gè)梨，第二種方案是3個(gè)蘋果 搭配” 5個(gè)梨.如果將這兩種方案統(tǒng)一為 1個(gè)蘋果 搭配” 若干個(gè)梨，那么問題就好解決了 .將原題條件變?yōu)?“1 個(gè)蘋果搭配2個(gè)梨，缺4個(gè)梨；1個(gè)蘋果搭配5/3 個(gè)梨，多

5、1個(gè)梨”，此時(shí)盈虧總額為4+1=5（個(gè)）梨，兩次分配數(shù)之差為 2-5/3 = 1/3（個(gè)）梨.所以有蘋果（4 +1）+（2 _5/3） =15（個(gè)），有梨 15M2_4 =26（個(gè)）.【答案】蘋果15個(gè)，梨26個(gè)【鞏固】 有若干梨和蘋果，如果1個(gè)梨和3個(gè)蘋果分成一堆，則多2個(gè)梨，如果2個(gè)梨和5個(gè)蘋果分成一堆， 則少2個(gè)蘋果，則梨有 個(gè)，蘋果有 個(gè)?！究键c(diǎn)】盈虧問題【難度】4 1 庭詢】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級(jí)，第11題【解析】（6 2廣（32.5 ）=8個(gè)梨，（8_2產(chǎn)3=18個(gè)蘋果【答案】梨有8個(gè)，蘋果有18個(gè)【鞏固】 有紅球和綠球若干個(gè)，如果按每組1個(gè)紅球2個(gè)綠球分組，綠球恰好夠用，

6、但剩5個(gè)紅球；如果按每組3個(gè)紅球5個(gè)綠球分組，紅球恰好夠用，但剩5個(gè)綠球，則紅球和綠球共有 個(gè)?！究键c(diǎn)】盈虧問題【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第 14題【解析】 設(shè)紅球有a個(gè)，綠球有b個(gè)。在第一種分法中，（a-5） 4=b登；在第二種分法中，（b-5） 與=a與。解 得：b=80,a=45.所以紅球和綠球共有 80+45=125個(gè)?！敬鸢浮?25個(gè)【鞏固】 有若干個(gè)蘋果和梨，如果按 1個(gè)蘋果配3個(gè)梨分一堆，那么蘋果分完時(shí)，還剩 2個(gè)梨；如果按半個(gè) 蘋果配2個(gè)梨分一堆，那么梨分完時(shí)，還剩半個(gè)蘋果.問梨有多少個(gè)？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】4星 【題型】解答【解析】1個(gè)蘋果

7、配3個(gè)梨，多2個(gè)梨；半個(gè)蘋果配 2個(gè)梨，即1個(gè)蘋果配4個(gè)梨，剩半個(gè)蘋果，即少 2個(gè) 梨.蘋果有：（2+2） + （4-3） =4 （個(gè)），梨有：3X4+2=14 （個(gè)）.【答案】14個(gè)【鞏固】 四（2）班在這次的班級(jí)評(píng)比中，獲得了 全優(yōu)班”的稱號(hào).為了獎(jiǎng)勵(lì)同學(xué)們， 班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮.劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小堆，以便分給幾位優(yōu)秀學(xué)生.如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時(shí)橡皮還剩 5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時(shí)還剩 5支 鉛筆.那么，劉老師一共買了多少塊橡皮？多少支鉛筆？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】4星 【題型】解答【解析】如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、

8、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆分，則剩下10+5=15（支） 鉛筆，但如果按 3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成：1565）=15（堆），所以，橡皮數(shù)為：15X3=45（塊）,鉛筆數(shù)為：15X610=80（支）.【答案】橡皮45支，鉛筆80支【鞏固】 小白兔和小灰兔各有若干只.如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個(gè)籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果 7只小白兔和3只小灰兔放到一個(gè)籠子中，小白兔恰好放完，小灰兔還多12只.那么小白兔和小灰兔共有多少只？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】4星 【題型】解答【解析】7只小白兔和3只小灰兔裝一個(gè)籠子， 小白兔恰好裝完，小灰兔還多12只”說

9、明小白兔少了 123X7 =28 （只），這樣原來籠子數(shù)有：（28 + 4） + （75） = 16 （個(gè)），所以小白兔有16X5+4=84 （只）， 小灰兔有16X3=48 （只），合起來有 84+48= 132 （只）.【答案】132只【例3幼兒園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖.她發(fā)給每個(gè)小朋友2塊巧克力，7塊奶糖和8塊水果糖.發(fā)完后清點(diǎn)一下，水果糖還剩15塊，而巧克力恰好是奶糖的3倍.那么共有個(gè)小朋友.【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)組，復(fù)試題工份【解析】方法一：畫線段圖分析，由題意知：奶糖匕水果糖匕從奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2

10、小段相等.如圖:Ei_2小段巧兄力I產(chǎn) 十 ，一5份水果糖那么2小段和5份都看成10份量，那么總量就相當(dāng)于 19份量，水果糖中原有的 8份就是現(xiàn)在的16 份，則剩下的15塊水果糖就占有3份，則1份就是5塊，給小朋友們分出去的水果糖數(shù)量是：16M 5=80（塊），小朋友的人數(shù)是：80+8=10 （人）.方法二：由上圖知，設(shè)發(fā)完后奶糖剩下1份，則巧克力剩下3份，而巧克力與奶糖每人分得相差 5塊， 對(duì)應(yīng)剩下的糖相差 2份，水果糖與奶糖每人分得相差1塊，則對(duì)應(yīng)剩下的糖應(yīng)相差 2 + 5 =0.4份，所以水果糖最后應(yīng)剩下10.4=0.6份，恰是15塊，所以1份對(duì)應(yīng)的是15子0.6=25,所以應(yīng)用盈虧問題

11、 共有（25 _15）子（8_7） =10 （人）.【答案】10人模塊二、盈虧問題的綜合運(yùn)用例4六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等.花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè).因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個(gè)球？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】4星【題型】解答【解析】 花球原價(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè).即花球原價(jià)10元錢20個(gè)，白球原價(jià)10元錢30個(gè).那 么，同樣買花球和白球各 30個(gè)，花球要比白球多花10+2=5（元），共需要30十2+30+ 3 = 25（元）.現(xiàn) 在兩種球的售價(jià)都是 2元錢5個(gè)，花球和白

12、球各買 30個(gè)需要（30 + 5）x2x2=24 （元），說明花球和 白球各買30個(gè)能省下25-24=1 （元）.現(xiàn)在共省了 4元，說明花球和白球各有 30X4 = 120 （個(gè)）， 共買了 120M2 =240 （個(gè)）.【答案】240個(gè)例5 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干塊.小唐喝前兩盒咖啡時(shí)每袋咖啡都放3塊方糖，結(jié)果共用了 1包方糖和第2包中的24塊；小唐喝后三盒咖啡時(shí)每袋咖啡都只放1塊方糖，最后第3包方糖還剩下36塊，那么每盒咖啡有多少袋？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】5星【題型】解答【解析】小唐喝前2盒咖啡，每袋放3塊糖，相當(dāng)于喝6盒咖啡每袋放1塊糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1塊糖，所

13、以喝后3盒用掉的方糖總量是前 2盒用掉方糖量的一半.小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又 24塊， 喝后3盒咖啡用掉方糖一包差 12塊，因此一包又24塊方糖與兩包差 24塊方糖一樣多，一包方糖有 （24 +24）： （21）=48 （塊）. 于是喝前兩盒咖啡用掉方糖 48+24=72 （塊），每盒咖啡的袋數(shù)為： 72 + 3 + 2=12 （袋）.【答案】12袋【例6】巧克力每盒9塊，軟糖每盒11塊，要把這兩種糖分發(fā)給一些小朋友，每種糖每人一塊，由于又來了 一位小朋友，軟糖就要增加一盒，兩種糖分發(fā)的盒數(shù)就一樣多，現(xiàn)在又來了一位小朋友，巧克力還 要增加一盒，則最后共有多少個(gè)小朋友？【考點(diǎn)】盈虧問題

14、【難度】5星【題型】解答【解析】 新來了一位小朋友，就要增加一盒軟糖，說明在此之前，軟糖應(yīng)該是剛好分完幾整盒，所以原來的 小朋友人數(shù)是11的倍數(shù).增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再來一盒了，說明原有的小朋友 分幾整盒巧克力糖之后還剩下一塊，也就是說，原有的小朋友人數(shù)是 9的倍數(shù)減1 .符合這兩個(gè)條件的最小的數(shù)是44,而且它剛好滿足原有的巧克力比軟糖多一盒的條件，所以原有44個(gè)小朋友，最后有46個(gè)小朋友.【答案】46個(gè)小朋友【例7】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人.如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人 5本，書不夠.如果把書全分給第二組，那么每人 3本，有剩余

15、；每人 4本，書 不夠.問第二組有多少人？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】5星【題型】解答【解析】如果把書全部分給第一組， 那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠.說明第一組人數(shù)少于 48+4 = 12（人），多于48g 5=9|3,即9人；如果把書全分給第二組，那么每人 3本，有剩余；每人 4本， 書不夠.說明第二組人數(shù)少于48 + 3=16 （人），多于48+4=12 （人）；因?yàn)橐阎诙M比第一組多5人，所以，第一組只能是 10人,第二組15人.【答案】15人【例8】有若干盒卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到 7張；如果每人分 8張卡片，則 還缺少5張.現(xiàn)在把所有卡片都分完，每人

16、分到60張，而且還多出4張.問：共有多少個(gè)小朋友？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】5星【題型】解答【解析】 首先由題意，一盒卡片每人分 7張則有剩余，每人分 8張則少5張，證明總?cè)藬?shù)多于 5個(gè).如果一共有7盒卡片，則所有人每人要想分到8父7=56 （張）卡片，還缺35張，卡片張數(shù)比題中所述要少.如果一共有9盒卡片，則只要再添上 5M9 =45 （張）卡片，就能使所有人每人分到8M 9 = 72 （張）,1人數(shù)為（45 +4） 一（72 60） =4 一 <5 ,不滿足總?cè)藬?shù)多于 5個(gè)的要求.12類似地，當(dāng)卡片總盒數(shù)多于9時(shí)，都不滿足總?cè)藬?shù)多于 5個(gè)的要求.因此卡片一共有 8盒，添上5x8=40

17、（張）卡片，就能使所有人每人分到8M 8 =64 （張），所以總?cè)藬?shù)為：（40+4）:（64 60）=11 （人）.（二解）60子7=8"4, 60-8 =7對(duì)4 ,說明卡片的盒數(shù)是 8盒，若都分8張則還缺少5張”，即如果 我們?cè)诿亢兄屑?張（8盒共加40張），每人就可以得到 8x8=64 （張）,現(xiàn)在實(shí)際每人得到 60張, 即每人需要退出 4張，其中要有 4張是每人60張后多下來的，還有 40張是我們一開始借來的要還 出去，即要退出44張，44+4=11 （人），說明有11人.【答案】11個(gè)小朋友【例9】一班和二班的學(xué)生一起出去劃船，要求一班和二班的學(xué)生不能坐同一艘船，但每船都按要

18、求盡量坐滿，如果7人一船，則共需15船；如果要求8人一船，則恰好全部坐滿；如果要求10人一船，則一班比二班多3船，那么一班和二班分別有 、人.【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級(jí)，第13題【解析】8人一船，則恰好全部坐滿，那么兩班人數(shù)都是8的倍數(shù)；10人一船，則一班比二班多 3船，說明一班比二班人多.7人一船，肯定也是一班船多， 多的數(shù)目也是3左右.由于兩班船和是15,是奇數(shù)， 所以差也應(yīng)該是奇數(shù).下面我們按照差分別是 1,3, 5分別討論.船數(shù)（7人每船）人數(shù)范，國船數(shù)（1。人每船）一班850-565或6二班743-495一班g57-63(5或7二班636-42

19、4或5一班1064-707二度529-353或4發(fā)現(xiàn)在船數(shù)差3和差5的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)10人每船時(shí)差3的情況，但是第一種一班人數(shù)沒有 8的倍數(shù)， 所以取第二種情況，一班 64人，二班32人.【答案】一班64人，二班32人.【例10】幼兒園有三個(gè)班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多 4人，老師給小孩分棗，甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分 3個(gè)棗，乙班每個(gè)小孩比丙班每個(gè)小孩少分5個(gè)棗，結(jié)果甲班比乙班共多分 3個(gè)棗，乙班比丙班總共多分 5個(gè)棗.問：三個(gè)班總共分了多少個(gè)棗？【考點(diǎn)】盈虧問題【難度】6星【題型】解答【解析】設(shè)丙班有x個(gè)小孩，那么乙班就有 （x+4）個(gè)小孩，甲班有（x+8）個(gè)小孩.乙班每個(gè)小孩比丙班每個(gè)小孩少分5個(gè)棗，那么x個(gè)小孩就少分5x個(gè)棗，而乙班比丙班總共多分 5個(gè)棗，所以多出來的那 4個(gè)小孩分了（5x+5）個(gè)棗.同樣的道理，甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分 3個(gè)棗，那么（x+4）個(gè)小孩就少分（3x+12）個(gè)棗，而 甲班比乙班總共多分 3個(gè)棗，所以多出來的那 4個(gè)小孩分了 3x+12+3 = 3x+15個(gè)棗.甲班每個(gè)小孩比乙班每個(gè)小孩少分3個(gè)棗，4個(gè)小孩就少3父4 = 12個(gè)棗，因此我們得至U ： 5x+5=3x+15+12 ,解得 x=11.所以，丙班有11個(gè)小朋友，乙班有15個(gè)小朋友，甲班有19個(gè)小朋友；甲班每人分 12個(gè)棗，