數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式

1、數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式二元一次方程式在數(shù)學(xué)中是十分根本且重要的概念,下面將對中國、巴比倫和印度數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式做一簡介.由于筆者才疏學(xué)淺,數(shù)據(jù)來源又以中文為主,所以自覺這篇文章有三點缺乏之處：一、未考慮時代背景與數(shù)學(xué)開展背景.二、未述及解析幾何中的二元一次方程式.三、未述及西方數(shù)學(xué)對二元一次方程式和二元一次聯(lián)立方程式解法的開展.此外,在收集資料的過程中,發(fā)現(xiàn)關(guān)于二元一次方程式的資料很少,論及二元一次聯(lián)立方程式的更少,猜想這或許與絕大多數(shù)的二元一次聯(lián)立方程式題目都可以用一元一次方程式來解決有關(guān).中國一?九章算術(shù)?九章算術(shù)?成書于漢代,集之前數(shù)學(xué)知識之大成,是中國最重要的一本算書；劉徽為

2、其作注時,全面的證實其中白公式與解法注一,不但對中國后世的數(shù)學(xué)開展,甚至鄰近地區(qū)的數(shù)學(xué)開展都有深遠(yuǎn)的影響.?九章算術(shù)?第八章?方程?中共有十八個問題,都是關(guān)于一次聯(lián)立方程的問題,其中二元的問題有八個,三元的問題有六個,四元的問題有二個,五元的問題有一個,屬于不定方程六個未知數(shù)五個方程的有一個注二.屬于二元的是第二、四、五、六、七、九、十、十一問,其中第二問是：今有上禾七秉,損實一斗,異之下禾二秉,而實一十斗；下禾八秉,益實一斗,與上禾二秉,而實一十斗；問上、下禾一秉個幾何？答曰：上禾一秉實一斗五十二分斗之一k八,下禾一秉實五十二分斗之四十一術(shù)日：如方程.損之日益,益之日損.損實一斗者,其實過一

3、十斗也.益實一斗者,其實不滿一k斗也.術(shù)日就是解法.''如方程便是列出方程式,用現(xiàn)今之符號(上禾一秉x斗,下禾一秉y斗)列出：(7x-1)+2y=102x+(8y+1)=10''損之日益,益之日損.損實一斗者,其實過一十斗也.益實一斗者,其實不滿一十斗也.就是指常數(shù)項的移項,原方程式變成：7x+2y=11(1)2x+8y=9(2)至于接下來的算法便是利用方程術(shù),由于方程術(shù)是在第一問(三元一次)后所提出的,所以第二問中就沒有再寫出計算過程,下面是我用現(xiàn)在的符號改寫方程術(shù)的計算過程：(2)乘以(1)的x項系數(shù)7,得14x+56y=63(3)用(3)去減(1),直到(

4、3)之x項系數(shù)為0,彳導(dǎo)52y=41(4)乘以(4)的y項系數(shù)52后,再一直減去(4),到y(tǒng)項系數(shù)為0止,得364x=490,再除以原x項之系數(shù)7(即(1)x項之系數(shù)),得52x=70由(4)、(5)可知上禾一秉實一斗五十二分斗之一十八,下禾一秉實五十二分斗之四十一.其實方程術(shù)相當(dāng)于利用系數(shù)列出一增廣矩陣后再做運(yùn)算,也就是將上述的過程寫成：由于這只是二元的問題,并不能全盤看出方程術(shù)的法那么,有興趣的讀者不妨看郭書春所著?古代世界數(shù)學(xué)泰斗一劉徽?書中第42頁,在那清楚的演示用方程術(shù)解第一問.?方程?章在第二問已經(jīng)有了常數(shù)項的移項；第四問中不但有常數(shù)項的移項,還有未知數(shù)項的移項；而第六問中更出現(xiàn)了

5、負(fù)數(shù)的情形,熟知負(fù)數(shù)開展歷史的讀者必定會明了此為一重大之突破；到了第十問更是出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)的情形,而其解法與我們現(xiàn)今相同,將其化成整系數(shù)方程式后再求解.方程術(shù)是?九章算術(shù)?最高的數(shù)學(xué)成就(注三),劉徽亦在此根底上創(chuàng)立了方程新術(shù),使中國數(shù)學(xué)成為這一領(lǐng)域中的佼佼者.?九章算術(shù)?在第七章?盈缺乏?中雖然不是用方程式的方式來解,但許多問題亦可劃歸于二元一次方程式的范疇,假設(shè)能適當(dāng)?shù)囊胝n堂之中,必能啟發(fā)學(xué)生更多的興趣與共鳴.典型的盈缺乏問題是共買物問題：各人所出A,盈a；所出B,缺乏b,求人數(shù)、物價注四.?九章算術(shù)?給出了一般公式：每人應(yīng)出的錢=(Ab+aB)/(a+b)物價=(Ab+aB)/(A-B)

6、人數(shù)=(a+b)/(A-B)?九章算術(shù)?還給出了兩盈或兩缺乏的公式,并利用這兩組公式解決了大量的一般二元一次的算術(shù)問題含分配問題、混合分配問題等等,由于在這類問題中,任意代入兩個數(shù),必定是上述兩種情形之一.舉第十三問為例：今有醇酒一斗,直錢五十；行酒一斗,直錢一十.今將錢三十,得酒二斗.問醇酒、行酒各得幾何？答曰：醇酒二升半,行酒一斗七升半.術(shù)曰：假令醇酒五升,行酒一斗五升,有余一十.令之醇酒二升,行酒一斗八升,缺乏二.解法意思是假設(shè)買醇酒五升,行酒一斗五升,那么較三十錢盈十錢；假設(shè)買醇酒二升,行酒一斗八升,那么較三十錢缺乏二錢.所以就可以利用先前的公式得：醇酒升數(shù)=(5*2+10*2)/(1

7、0+2)=2.5升行酒升數(shù)=(15*2+10718)/(10+2)=17.5升從中可以看出,中國古人是先把一些實例歸類,得出相應(yīng)公式,后人只要代入求值即可.這讓我們想到所謂的“秘籍.優(yōu)點是簡單易操作,只要背出各種類型,套進(jìn)去即可；缺點它只是幫助人們應(yīng)用解決生活問題,而不是為了傳播知識本身.同樣作為古代的教科書,與古希臘的歐幾里德?幾何原本?相比擬,我們會發(fā)現(xiàn)其差異是非常大的.巴比倫巴比倫人在解決二元及三元問題時有兩種方法注五,第一種很類似于我們現(xiàn)在的代入消元法；第二種今日稱為丟番圖法Diophantine,但這并不是丟番圖Diophantus,約A.D.250所創(chuàng),而是他學(xué)習(xí)了巴比倫人的方法,

8、這種方法特別適合于解決有一個方程式為x+y=ss為,此時令x=s/2+w,y=s/2-w,代入另一個方程式中便可解出w,如便可以求得x與y了.下面舉的例子是出自于漢摩拉比王朝時代B.C.17921750的一塊泥板上,雖然是二元二次的題目,但可以看出此方法的運(yùn)用：有一長方形,將其面積加上長,減去寬得183;長、寬之和為27,求長、寬及面積.解：假設(shè)長為x,寬為y,依題意列式,令y'=y+2,那么y=y'-2.代入,可得到新的二元一次方程組:把方程組2的第1式加到方程組1的第2式,可馬上得出在原典中,清楚地寫著其解為:2915152914.y12在泥板上并未出現(xiàn)類似未知數(shù)列式的符號

9、算式,只有表達(dá)計算的過程,而且是六十進(jìn)制制的,有興趣的讀者可參看梁宗巨著的?數(shù)學(xué)歷史典故?.讀者不難發(fā)現(xiàn),丟番圖法運(yùn)用時需要較高的技巧,也就是要先把其中一個方程式化成x+y=s的形式才可,不過不管是丟番圖法或是第一種方法,在推廣到多元一次聯(lián)立方程式的問題時就顯得十分繁雜,不如?九章算術(shù)?方程術(shù)來的簡便,但巴比倫人的方法在解決非線性的問題時便可以看出其優(yōu)越性,由此可以反映出巴比倫人的泥板上有許多的非線性問題,而?九章算術(shù)?幾乎沒有非線性問題的情形.古印度古印度在數(shù)學(xué)方面有相當(dāng)大的成就,在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位.印度人在二元一次方程式方面的成就當(dāng)首推阿揚(yáng)巴哈一世AryabhataI,A.D.476?,他在所寫的?Aryabhatiya»中不但清楚的描述出當(dāng)時印度數(shù)學(xué)的現(xiàn)況,更給了印度數(shù)學(xué)繼續(xù)開展的動力注六,關(guān)于二元一次方程式方面的成就也記載于此書中.阿揚(yáng)巴哈一世他首先給出不定方程式ax+by=c的所有整數(shù)解,其方法經(jīng)傳人改良后十分類似于現(xiàn)今的方法注七,概說如下：不妨只考慮a,b互質(zhì)的情形,那么存在兩整數(shù)p、q使得ap+bq=1ax+by=cap+bq(x-cp)/b=(cq-y)/a,令之等于t,