平方差公式的教學設計

1、一、內容和內容解析 內容 人教版義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學八年級上冊“15.2乘法公式”（第一課時） 內容解析 平方差公式是在學習了有理數(shù)運算、列簡單的代數(shù)式、一次方程及不等式、整式的加減及整式乘法等知識的基礎上，在學生已經掌握了多項式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認知規(guī)律的典型范例.對它的學習和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內容奠定了基礎，同時也為完全平方公式的學習提供了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學中

2、也具有很重要地位，是初中階段的第一個公式. 本節(jié)課的教學重點是：經歷探索平方差公式的全過程，并能運用公式進行簡單的運算. 二、目標和目標解析 目標 1.經歷平方差公式的探索過程，進一步發(fā)展學生的符號感和推理能力、歸納能力； 2.掌握平方差公式的結構特征，能運用公式進行簡單的運算； 3.會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結合的思想方法. 目標解析： 1.讓學生經歷“特例歸納猜想驗證用數(shù)學符號表示”這一數(shù)學活動過程，積累數(shù)學活動的經驗，進一步發(fā)展學生的符號感、推理能力、歸納能力，同時體會數(shù)學的簡潔美、培養(yǎng)他們的合情推

3、理和歸納的能力以及在解決問題過程中與他人合作交流的重要性. 2.讓學生了解平方差公式產生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結構特征，并能靈活運用平方差公式解決問題.在數(shù)學活動中，引導學生觀察、分析公式的結構特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習中，對發(fā)生的錯誤做具體分析，加深學生對公式的理解. 3.通過自主探究與合作交流的學習方式，讓學生經歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過程，發(fā)揮學生的主體作用，增強學生學數(shù)學、用數(shù)學的興趣.同時，讓學生在公式的運用中積累解題的經驗，體會成功的喜悅. 三、教學問題診斷分析 學生已熟練掌握了冪的運算和整式乘法

4、，但在進行多項式乘法運算時常常會確定錯某些項符號及漏項等問題學生學習平方差公式的困難在于對公式的結構特征以及公式中字母的廣泛含義學生的理解因此，教學中引導學生分析公式的結構特征，并運用變式訓練揭示公式的本質特征，以加深學生對公式的理解 本節(jié)課的教學難點：利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法解釋平方差公式，靈活運用平方差公式進行計算 四、教學過程設計 （一）創(chuàng)設情境，引出課題 問題：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ （1）（x+1）（x-1）=         ；

5、0;（2）（m+2）（m-2）=         ； （3）（2x+1）（2x-1）=          【設計意圖】通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，既復習了舊知，又為下面學習平方差公式作了鋪墊，讓學生感受從一般到特殊的認識規(guī)律，引出乘法公式-平方差公式 （二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn) 問題：依照以上三道題的計算回答下列問題：      式子的左邊

6、具有什么共同特征？      它們的結果有什么特征？      能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？ 師生活動：教師提問，學生通過自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，右邊是這兩個數(shù)的平方差，并猜想出： 【設計意圖】根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，在學生已掌握的多項乘法法則的基礎上,探索具有特殊形式的多項式乘法平方差公式，這樣更加自然、合理 （三）數(shù)形結合，幾何說理 問題3：活動探究：將長為（a+b），寬為（ab）的長方形，剪下寬為b的長方形

7、條，拼成有空缺的正方形，并請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關系  【設計意圖】通過學生小組合作，完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關系,進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,滲透了數(shù)形結合的思想，讓學生體會到代數(shù)與幾何的內在聯(lián)系引導學生學會從多角度、多方面來思考問題對于任意的a、b，由學生運用多項式乘法計算：，驗證了其公式的正確性 （四）總結歸納，發(fā)現(xiàn)新知 問題4：你能用文字語言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？ 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差  【設計意圖】鼓勵學生用自己的語言表述，從而提高學生的語言組織

8、與表達能力 （五）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質 在平方差公式中，其結構特征為： 左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即； 讓學生說明以上四個算式中，哪些式子相當于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式 【設計意圖】通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性并通過分析公式的本質特征掌握公式在認清公式的結構特征的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應手，起到事半功倍的效果 （六）鞏固運用，內化新知 

9、;問題5：判斷下列算式能否運用平方差公式計算： （1）（2x+3a）（2x3b）；         （2）； （3）（m+n）（mn）；          （4）； （5） 【設計意圖】學生經過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件鞏固平方差公式，進一步體會字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解 問題6：判斷下列計

10、算是否正確：     （1）（2a3b）（2a3b）=4a29b2           （       ）     （2）（x+2）（x 2）=x22                 

11、60; （       ） （3）（3a2）（3a2）=9a24             （       ） （4）                （   &#

12、160;   ） 【設計意圖】對學生常出現(xiàn)的錯誤，作具體的分析，以加深學生對公式的理解，進一步掌握平方差公式的本質特征和運用平方差公式必須具備的條件 問題7：計算： （1）（2x +3）（3x3）；（2）（b+2a）（2ab） 解：（1）（2x + 3）（2x 3）=（2x）232  = 4x 29     （2）（b+2a）（2ab）        =（2a）2b2    &

13、#160;   =4a2b2 【設計意圖】解決操作層面問題可提議用不同方法計算，以體現(xiàn)學生的創(chuàng)造性 （七）拓展深化，發(fā)展思維 問題8：計算： （1）98×（102）；   （2） 【設計意圖】把相乘兩數(shù)轉化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了轉化的思想和數(shù)式通性；另一題是平方差公式與一般多項式乘法的綜合，注意不能用公式的仍按多項式乘法法則進行 問題9：小明家有一塊“L”形的自留地，現(xiàn)在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請你來幫小明設計，并算出這塊自留地的面積

14、0; 【設計意圖】運用平方差公式解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活，服務于生活，學生感受到學習了有用的數(shù)學，設計此題與平方差公式的幾何意義相吻合，加深學生對平方差公式的理解 （八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我 1在下列括號中填上合適的多項式：  2看誰算得快： 【設計意圖】設計此組題旨在從正反兩方面靈活運用平方差公式，由結果追溯算式中的相同項和相反項，關鍵在于理解公式結構特征，同時鍛煉了學生逆向思維能力，也為后續(xù)的學習做了鋪墊第2個填空題有兩種填法，屬開放設計目的是加強學生對公式結構特征的理解，同時也鍛煉學生的發(fā)散思維 （九）總結概括

15、，自我評價 問題10：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑？ 【設計意圖】從知識和情感態(tài)度兩個方面加以小結，使學生對本節(jié)課的知識有一個系統(tǒng)全面的認識 （十）課后作業(yè) 必做題：P156習題15.2   1 選做題：1，則A的末位數(shù)是_ 2計算：（1）；               （2）；        

16、     （3）；            （4） 【設計意圖】作業(yè)分層處理有較大的彈性，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展 五、目標檢測設計 一、選擇題： 1下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是（ ） A.B. C.  D. 二、填空題： 2計算： ； 3計算：； 4(_4b)(_+4b)=9a216b2