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常微分方程 試卷(B)答案：一. 填空題（每小題3分, 共15分） 1.; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .二單項(xiàng)選擇題（每小題3分, 共15分） 1. C 2.B 3. D 4 . C 5. A 三. 求下列微分方程的解 ( 共36分) 1.分離變量：（3分）兩邊積分，得通解（7分） 2. 令 則（分）（分） （分）得通解： （7分）有特解：.令（分）積分因子（4分）通解：（7分）令, 則原方程變?yōu)? (4.1) （2分）特征根：(二重).通解：（分）方程(4.1)特解設(shè)為：， （分）代入方程(4.1)，可得：(4.1)的通解為：（7分）所求通解為： （8分）解: 令 代入方程可得: 分離變量, 可得, （2分）兩邊積分, 得: （4分）從而 通解為 （6分）當(dāng) 時(shí), 有 可得: 也為原方程的解. （7分）四特征根： （分）對(duì)應(yīng)特征向量 ；對(duì)應(yīng)特征向量 ； （分）基解矩陣 ， (分） （分）五 （分）取則定正 （分）定負(fù)， （分）故零解漸近穩(wěn)定 (8分)六 證明：（反證法）(1) 若 則為初值問題的解, 而零解也為此初值問題的解, 由解的唯一性知,矛盾. (4分）(2) 若有公共零點(diǎn)則因此與線性相關(guān), 矛盾. （8分）七. 證明: 特征根: 對(duì)應(yīng)齊次線性方程通解: (2分)常數(shù)變易: 代入原方程, 取 (3分)解出 (

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