行列式的多種計(jì)算方法

1、例文一：行列式的計(jì)算方法介紹7種常用方法1三角化方法：通過行列初等變換將行列式化為三角型行列式.例1計(jì)算n+1階行列式xa1a2anDnixa2ana1a2a3x2把某一行（列）盡可能化為零例2計(jì)算：2+x22222x22D222+y22222-y3遞歸法（數(shù)學(xué)歸納法）：設(shè)法找出Dn和低級行列式間的關(guān)系，然后進(jìn)行遞歸.例4證明:OtP0aPDn二例5證明范德蒙行列式n2)X22X2X32X3Xn2Xn(x-Xj)1j：j-nn-1為n-1X2n-1X3n-1Xn11,n1、1=夠斗儼一)ga4加邊法：對行列式Dn添上一適當(dāng)行和列,構(gòu)成行列式Dn+1,且Dn+i=Dn例6證明：1+2111111

2、+在11Dn=111+s31111112n5拆分法：將行列式表為行列式的和的方法即如果行列式的某行（或列）元素均為兩項(xiàng)和，則可拆分為兩個行列式之和例7設(shè)abcd=1,求證:十11116利用行列式的乘積：為求一個行列式D的值，有時可再乘上一個適當(dāng)?shù)男辛惺紸；或把D拆分為兩個行列式的積.(1)1cos(12)D=cos(1-3)cos(1-2)1cos(2一:3)cos(1-3)cos(2-13)1cos(1-n)cos(2-：n)cos(1-n)8s(12n)cos(2一"n)的(3-"n)1(2)設(shè)Sk=，u1k+九2k+九nk(k=1,2),求證:n81s2Sn2(i-j

3、)'仁i:j<n8182s3Sn8283s4SniSn-18n8n182n-27利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展開定理的推廣.定義（1）在n階行列式D中，任取k行k列（1wkn）,位于這k行k列交叉處的k2個元素按原來的相對位置組成的k階行列式S,稱4143為D的一個k階子式.如：126470一D=116則D的一個2階子式為：S=2a28在一個n階行列式中，任取k行，由此產(chǎn)生的k階子式有C：個.(2)設(shè)S為D的一個k階子式，劃去S所在的k行k歹U,余下的元素按原來的相對位置組成的n-k階行列式M稱為S的余子式.又設(shè)S的各行位于D中的第ii,i2

4、7k行，S的各列位于D中的第ji,j2jjk列，稱A=(-1)(i1+i2+ik)+(j1+j2+jk)M如：一1264；47011573I16則D的一個2階子式為：S=2871M=53為S的2階子式71M=(-1)(1+3)+(1+3)53為S的代數(shù)余子式.拉普拉斯定理：若在行列式D中任取k行(1<k£n-1),則由這k行所對應(yīng)的所有k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積等于D.例9計(jì)算例10塊三角行列式的計(jì)算設(shè):CnnCn，n>或貝U:detA=(detB)(detC).特另ij地：若A=diag(Ai,A2,At),則DetA=(detAi)(detA2)(detAt).

5、B0例11設(shè)分塊矩陣ACDJ，其中0為零陣,和D可逆，求A-1.例12計(jì)算aa210D=01an00bi0b2001bn例13設(shè):CT=0.證明：aat=bbtcct.例文2:行列式的多種計(jì)算方法行列式是線性代數(shù)的一個重要組成部分，行列式的計(jì)算方法多種多樣，常見的幾種行列式的方法有：定義法、三角化法、降階法、升階法、遞推法、歸納法、利用范德蒙德行列式法、變換元素法、拆項(xiàng)法、分解乘積法等，可根據(jù)行列式選擇相應(yīng)的計(jì)算方法，從而減輕計(jì)算量.1定義法：n階行列式等于所有取自不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和.例1：Dnn-1解：在n!項(xiàng)中只有一項(xiàng)a12a23a34anann書不為零，且五(23-n,a)=

6、n-1.Dn=(-1)na12a23annann1=(-1嚴(yán)12-n一1n=(-1產(chǎn)n!2三角化法：通過變換將行列式變換成三角行列式,2.1特殊行列式再利用形式求出行列式的值(1)2.2解:2.30對角行列式n：.n0次對角行列式箭形行列式Dn00%00兀0九2002-20999-9一'-n00n沖九n00nnnnn:：nnxn次上三角行列式次下三角行列式0上三角行列式0下三角行列式=(一1)n(nJ)CCjjn-Zn>,nDnj£-n=n!(1-%1)n)n可化為箭形的行列式DnXiaiai解：Dna2X2a2a2ri-rii2.naiaiaia3a3X3a3Xi-X

7、i-Xi-XianananXna2Xi=a,i=1,2,na30X3-a3n=1.1(Xii4-ai)XiXi-ai-i-iX2a?a2i0a3X3-a30i-ini+ZCiCj=nj=2；-n(Xi-ai)kIXk-ak0a2X2-a2ian00anXn-an00anXk-ak0n=(i八k=!Xk-akn川（Xiai)展開的性質(zhì),將高階行列3降階法降階法是利用行列式按其行式轉(zhuǎn)化為低階行列式進(jìn)行計(jì)算按第一列展開+(-1嚴(yán)b(-i)nibn=i(-i)n4(ni)!24升階法將原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不變或與原行列式有某種巧妙的關(guān)系，且便于后面的計(jì)算1aa0xa當(dāng)x于a時Dn=0

8、ax9990aa1+na1x0,1,1_Cl+"2Ci+=Cn0x-1aaax-a000x-a0aaax-a000x-a099900x-a5nMnanj=(1)(x-a)x-ax-an:：n當(dāng)x=aBDn=05遞推法：利用行列式的性質(zhì)，找出所求行列式與其相應(yīng)的n-1,n-2,階行列式之間的遞推關(guān)系，再根據(jù)次遞推關(guān)系式求出所給行列式的值Dnaaaaaaxaaaaxxn>nxaa0xa=0ax9990aa0十a(chǎn)0+a0十a(chǎn)xa+an殉axaaa0a0max0ax-anxnxaaaaxaam*aaaaxax-a00x-a=(xa)Dn+:000a0aamx-aaaan用0ann二(x

9、-a)Dn4a(x-a)n4由此，得遞推公式：Dn=(xa)Dn<+a(x-a)n"由此遞推下去，得:Dn=(x-a)(x-a)Dna(x-a)n-a(x-a)n-=(x-a)nlD1(n-1)a(x-a)nJn_1=(x-a)x(n-1)a6數(shù)學(xué)歸納法：先利用不完全歸納法尋找行列式之間的規(guī)律，得出一般性結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，從而得出所給行列式的值例7-a1111a21.1.Dn其中a1a2an=0解D=1a1-a1(1D2=1a1111a21.1an十a(chǎn)1=a1于是可猜測Dn=a1a2an(1+£工)(n之1)下面證明這一猜測是正確的假i=1ai設(shè)對n-

10、1的情形猜測正確,DnJ=a1a2an(a八)i1aiDna101a1111a21.a2'anDn4二a1a2an4anDna1111a2于是又歸納假設(shè)得:Dn=a1a2an1ana1a2an4(1%)=4a?an(1'工)i=1ai故對一切自然數(shù)1),n-1ainn猜得正確，即Dn=a1a2an(1+£i17利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算：是將原行列式利用性質(zhì)化成范德蒙行列式,例8再利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算出原行列式X1X2X3XnDna12a1n1a1n_2X1nX1n1a2n2X2nX2a32a3n1a3n_2X3nX3n2.XnnXnI1(aj-ai)1上：j叨

11、n階范德蒙行列式為解構(gòu)造n+1階范德蒙行列式X1X2X3Xnn2f(x)=X1n1X1nX1n-2X2n-1X2nX2n.2X3n1X3nX3n2nn-1nnXnn-2Xn-1XnX(n1)(n1)=A,n1XA2,n1乂、“1。1/與皿1=(X-X1)(X-X2)(X-Xn)IT(Xi-Xj)1_j：iDn=Mn,ndt=-An,n書由電)的表達(dá)式知，X”的系數(shù)為An,n1=-(X1X2Xn)I1(Xi-Xj)1J:i童Dn=(X1'X2-Xn)I1(Xi-Xj)1 _i：im8拆項(xiàng)法：當(dāng)行列式中的元素有兩數(shù)相加時將原行列式拆成n個簡單的行列式加以計(jì)算an1a11anna11a21+

12、R-X1X1a12a22+X2+X2-ana2nXxn*xnan1+X1an2+X2-ann*xna11a12+X2a1n+XnX1a12+X2-a1n+Xna21a22+X2-a2n+XnX1a22+X2.a2n+Xn-a+9-a.-an1an2+X2-ann+XnX1an2+X2.ann+Xn解X2a12na22a2nanXnXnX2DnDnaia2ian2x2annXn二DXn%AinA1二D八xAij變換元素法：變換所給行列式中元素的形式,再利用已知行列式的結(jié)果，最終得xJAm例101-aDn-a1-a-a-a解令x=1a（拆項(xiàng)法例題結(jié)果）知-a01-a01-aDn01-a1a1-a0

13、1-a01-a01-a(1-a)"：Aij因?yàn)锳j=(1-a)n4iDn=(1a)n4(n1)a(1-n)10分解乘積法：根據(jù)所給行列式的特點(diǎn)利用行列式的乘法公式，把所給行列式分解成兩個易求解的行列式之積，通過對這兩個行列式的計(jì)算，從而得到所給行列式之值例11aibia2+bi-aib2a2b2aibna2bnanbianb2an-bnaii0a2i0解Dn=a3i0naaaani00iii0bib2b30000bn|0n>30=(ai+bin=ia(a1_a2)(b2bi)n=2例題例1計(jì)算行列式解：12D2T2-45233I123s。-1-10-3-110-5-9I)-14

14、一10曰一1)-14一4-1044-14-10c/50000"018Q0L1z0z1-£Is510L00LE-910oi-S0o=9-ts-0-Izo%A；I-10JrMjtL1-VI+LJI-iILC"9L0L£If-I-1-Lo一L1t09-t8-0'；5<J一£，一1t3Z1-fI11-88=Jlx（s-）xixi-=Il0:-g-例4V皆D=31113【之和都為6,故可把第2,3,4行同時加到1行化為上二角形行列式來計(jì)算：解注意到行列式中各行。第】行，提出公因了6,然后各I0G66abblhb仃bjbaddJ.Auhaabbb-a"l-Hj00i+r+d1311例5計(jì)第D=°的F°00jj/2列，然后第2列加至第3列，再1111解根據(jù)行列式的物點(diǎn).可將第1將第3列加至第4列，目的是使D中的庫元素增W.a0。0門門+口0工-a2000am0)1211門十口由000。啊。000%