角動量守恒及其應(yīng)用學(xué)習(xí)資料

1、角動量守恒及其應(yīng)用李澤林,過程裝備與限制工程,10110902.摘要：掌握角動量守恒定律,并通過習(xí)題深入分析其應(yīng)用和注意事項(xiàng).關(guān)鍵詞：剛體,角動量,轉(zhuǎn)動慣量,慣性系在研究“質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系繞某一定點(diǎn)或軸線運(yùn)動這類問題時(shí),常常利用“角動量守恒定律來處理此類問題.但是如何正確應(yīng)用角動量定律解題尤為重要.本文通過對角動量守恒定律詳細(xì)的推導(dǎo),加深對定律的理解,以及通過習(xí)題來深入分析角動量守恒的正確應(yīng)用.1角動量守恒定律1.1質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)的角動量守恒定律如圖1所示,質(zhì)點(diǎn)m的動量為P,相對于參考點(diǎn)O的角動量為L,其值Lrpsin,其中是質(zhì)點(diǎn)的動量與質(zhì)點(diǎn)相對參考點(diǎn)0的位置矢量r的夾角.其角動量的變化量l等于外力

2、的沖量矩MtM為外力對參考點(diǎn)O的力矩,即dLM?dt.假設(shè)m=q彳#L=0,即質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)O的角動量守恒.1.2質(zhì)點(diǎn)系對參考點(diǎn)的角動量守恒定律由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系,且處于慣性系中,可以推導(dǎo)出作用于各質(zhì)點(diǎn)諸力對參考點(diǎn)的外力矩的沖量點(diǎn)系對該參考點(diǎn)的角動量的變化量,即LMit.同樣當(dāng)Mi0時(shí)即質(zhì)點(diǎn)系的和外力矩為零,質(zhì)點(diǎn)系對該參考點(diǎn)的角動量守恒.1 .3角動量守恒的判斷當(dāng)外力對參考點(diǎn)的力矩為零,即Mi0時(shí),質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對該參考點(diǎn)的角動量守恒.有四種情況可判斷角動量守恒：質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系不受外力.所有外力通過參考點(diǎn).每個(gè)外力的力矩不為零,但外力矩的矢量和為零.內(nèi)力對參考點(diǎn)的力矩遠(yuǎn)大于外力對參考點(diǎn)的合力矩,

3、即內(nèi)力矩對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的影響遠(yuǎn)超過外力矩的影響,角動量近似守恒.2角動量守恒定律的應(yīng)用1.1 開普勒第二定律,即行星對太陽的矢徑在相等的時(shí)間間隔小的面積如圖,設(shè)行星的質(zhì)量為m它相對太陽的位矢為r,速度為v,走過的路程為s.行星受到太陽對它的萬有引力,方向沿著它和太陽的連線,因此行星受到的外力矩為零,它相對于太陽所在的點(diǎn)O角動量守恒.Lrmv恒矢量角動量的大小為行星的速率為v=ds/dt.代入得Lrmvsin,ds.rsinds式Lrm/sinmd中,rsinds為行星對太陽的矢徑在dt時(shí)間內(nèi)掃過的面積dA的兩倍,rsinds2dA.代入得2mdAdt由于角動量守恒,L是一個(gè)常量,所以常數(shù)

4、dt即行星對太陽的矢徑在相等得時(shí)間間隔內(nèi)掃過的面積相等.1.2 如下圖,一根質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿,長為21,兩端和中央處分別固連著質(zhì)量為m的小球B、D和C,開始時(shí)靜止在光滑的水平桌面上.桌面上另有一質(zhì)量為M的小球A,以一給定速度V0沿垂直于桿DB的方向與右端小球B作彈性碰撞.求剛碰后小球;A、B、CD的速度,并詳細(xì)討論以后可能發(fā)生的運(yùn)動情況.此題粗看是一類彈性碰撞類問題,利用動量守恒、能量守恒及桿子牽連速度來求解.但此題涉及4個(gè)物體組成的質(zhì)點(diǎn)系,未知量多,利用上述關(guān)系還不能求解.挖掘題中的守恒規(guī)律成為此題的難點(diǎn),且守恒規(guī)律不易挖掘.解析小球A、B碰撞瞬間,球A擠壓B,其作用力方向垂直于桿,使球B

5、獲得沿v0方向的速度vb.從而在碰撞瞬間使小球C、D的速度也沿v0方向.對質(zhì)點(diǎn)組B、C、D與A組成的系統(tǒng),碰撞前后動量守恒.由于小球C位于由B、C、D三球組成的質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心處,所以小球C的速度也就是質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心速度.可得:Mv0MvA3mv(1)質(zhì)點(diǎn)組B、C、D與A是彈性碰撞,碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的動能相等.碰撞后A、B、C、D的速度分別為"A、vB、vc、Vd,得(2)(2)對質(zhì)點(diǎn)組B、C、D在碰撞瞬間,在B處受到A球的作用力,在碰撞前后,外力矩等于零,所以質(zhì)點(diǎn)組角動量守恒.可得0mlvC2mlvD(3)B、C、D由桿的剛性條件有：VBVcVcVD(4)假設(shè)取B與B球重合的空間固定點(diǎn)為參

6、考點(diǎn),那么質(zhì)點(diǎn)組由1、2、3、4式,可得Vc4M-Vo5M6m(5)5M6mVo5M6m(6)10MVo5M6m(7)2MVo5M6m(8)碰撞后各小球的運(yùn)動碰撞后,質(zhì)點(diǎn)組B、C、D不受外力作用,其質(zhì)心作勻速運(yùn)動,1212121212MV0MVA+mVBmVCmVD222224MVc即5M丁Vo6m,碰撞后,B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動,角速度的大小為VbVcl6MVo5M6mlo方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.由6式可知,碰后小球A的速度的大小和方向與Mm的大小有關(guān),由于Mm取值不同而導(dǎo)致運(yùn)動情形比較復(fù)雜,即可以使Va=°；Va<°；Va>°且VaVc.V

7、aVc情景的出現(xiàn),在此不作詳細(xì)討論.1.3 一質(zhì)量為速度為的子彈擊中并嵌入一質(zhì)量為m299mi、長度為L的棒的一端,速度與棒垂直,棒原來靜止于光滑的水平面上,子彈擊中棒后與棒共同運(yùn)動.求棒和子彈繞垂直于平面的軸的角速度的大小.由題可知,子彈和棒構(gòu)成的系統(tǒng)在打擊前后所收到的外力為零,因此系統(tǒng)對任意一定軸的合力矩為零,系統(tǒng)角動量守恒.下面對幾種常見的解法作出分析討論.常見的錯(cuò)誤解：取固定z軸過A點(diǎn),因子彈打擊時(shí)間很短,棒在打擊過程中位置可以看做不變.設(shè)打擊后系統(tǒng)的角速度為,那么根據(jù)角動量守恒定律得我剛開始做的解法其中miLv.jAJatmhL2m1L2miLv°所以3m2L2m1L2這種

8、錯(cuò)誤的解法究竟是錯(cuò)在哪里呢？這種解法無視了角動量守恒定律的應(yīng)用條件,角動量守恒定律適用于慣性參考系和質(zhì)心參考系.假設(shè)把z軸作為桿過A點(diǎn)的定軸,此時(shí)A點(diǎn)受到撞擊后做變速運(yùn)動,無形之中所選的參考系為非慣性參考系,因而角動量對z軸不守恒,此時(shí)在根據(jù)角動量守恒定律列出的式子自然是錯(cuò)的.正確的解法為設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)心C與桿的中點(diǎn)O距離為d,以系統(tǒng)質(zhì)心為z軸,此時(shí)系統(tǒng)對質(zhì)心的合力矩為零,故對Z軸角動量守恒,得mJdVojc式中jc在mL2m2d2m1(J2d)2mi-d)Vo彳寸1,2,2,I、2112m2Lm2dm1(1d)將d一m12,m299ml代入得mim26vo103Lmi(勺d)Vo1fm2L2m2d2m1(/d)2通過上述分