華南理工大學(xué)線行代數(shù)部分習(xí)題答案PPT課件

1、習(xí)題習(xí)題1 部分習(xí)題部分習(xí)題1.(5)xyyyxyyyx計(jì)算下列行列式：333222=xyyxyxyxy解：原式332=23xyxyc1+c2c1+c32=xyyyxyyyx解法 ：222xyyyxyxyxyyx20000 xyyyxyxy2131rrrr2(2 )()xy xy2.(1)abxabaxcdycdcy證明下列等式：()()abxa dyc bxcdy解：根據(jù)二階行列式的定義：adbcaycxabaxcdcy2.0(2) 10baabefcddc證明下列等式：00 1 010e cbfdaa ebcfd 解：根據(jù)3階行列式的定義：左式=adbcabcd4. (1) 17 52 6

2、ij求相應(yīng)的i,j值：成偶排列；：由于排列是7階排列，i,j是 3,4解 或 4,312345673,4(17 523+46)ij當(dāng)時(shí)，03 12 1 1 08 3417 52 63,4ij是偶排列，此時(shí)，4,3 17 52463ij 時(shí)，是奇排列，不符合要求。1 212 15. ,nn niiimi ii i如果排列的逆序數(shù)為求排列 的逆序數(shù)。1 21 22 , ,nqnpqnpiiimiiiii iipqC： 若 ()=排列中任何兩個(gè)數(shù)按排列中的次序配對(duì)（其解中），共有種配對(duì).122,pqnnCmiimiii在排列中有個(gè)配對(duì)是正序的，有 個(gè)配對(duì)是逆序的。1221(),nqnpnCmi ii

3、 ii iqpm在排列中有個(gè)配對(duì)其中是逆序的，有 個(gè)配對(duì)是正序的。1221(1)2nnni ii in nCmm()=6. 計(jì)算各排列的逆序數(shù)并判斷排列的奇偶性。（1）2653841712345678 + =6+0+2+3+1+0+1+0=13：(26538解417)= 26538417是奇排列。2(1)21n n（ ）(1) 2n n：(n(n-1)21)=解441nknk當(dāng)或時(shí)，排列是偶排列；否則為奇排列。32 (22)42(21)(23)31nnnn（ ） 24222132321 2 (22)42(21)(23)31nnnnnnnn解：()=414nknk 當(dāng)或3時(shí)，排列是偶排列；否則為

4、奇排列。(1)(2)1 0(21)(23)3 1nnnn 2(1)2(31)2n nnnn1235417ijaa a a 寫(xiě)出5階行列式中含有因子的項(xiàng)。2525(251)1235411223541525 (-1) 3,4 4,3jjjja a aa aa a aj j解：含有因子的項(xiàng)：其中，是或(2 51 )(2 51 )122354151223534433443415 (-1)+(-1)a a a a aa a a a a所求項(xiàng)：34122354154312235415=a a a a aa a a a a27311408( )0152123xxf xxx 在多項(xiàng)式中，求 的系數(shù)。2(42)

5、(131 24 3)1123134422443(41)1132322344132 ( 1)( 1)( 1)xa aaaaaa aaaa a ：項(xiàng)解含有 的：222262= ( 1)5 1 ( 1)02( 1) ( 1)23xxxxx 290nDnnD 證明：如果 階行列式 含有多于個(gè)元素 為零，則n0. D=0.D：行列式 不為零的元素少于n個(gè), 行中至少 有某一行的元素全為則解1000000000ababbaba 用行列式的定義計(jì)算下列行列式：（3）(1234)(1324)1122334411233244(4231)(4321)1422334114233241( 1)( 1) ( 1)( 1

6、)a a a aa a a aa a a aa a a a 式解：原0412252264222( 1)( 1)( 1)( 1)()aa bb abab 12101000100010naaa 用行列式的定義計(jì)算下列行列式：（5）( 12(1)12132,1( 1)nnnn na a aa 式解：原11( 1)1 11( 1)nnnnaa 3333333333333333111234412334122341 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算下列行列式：（4）33333333333333333333333333331 +2 +3 +42341 +2 +3 +41231 +2 +3 +44121 +2 +3 +4

7、341：原式解3333333333333333123411231 +2 +3 +414121341 （）33312340-7-19-37100056-26-5601937-633333 8 24 3 212340-7-19-3710000-178-3520220-174rrrr33312340-7-19-3720000-178-3520110-873332 7 41234005157220000-178-3520110-87rr33324123401108720000-178-3520051572rr3333+3 4123401108720000-2513640051572rr 3334+2

8、3123401108720000-2513640013300rr 3333+25 41234011087200000838640013300rr333341234011087200001330000083864rr200 1-183864-16772800 （ ）11xxxaxxaxxaxxaxxx 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算下列行列式：（5）(1)(1)(1)(1)anxxxaanxxaxanxaxxanxxxx：原式解21311(1)000000000nrrrrrranxxxaaxaxxa1(1)000000000nccaxxanxaxaxxa(1)12( 1)(1) )()n nnanx ax

9、 11000000 xxxaaxaxax 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算下列行列式：（6）201,; 2,anxxanxax：當(dāng)時(shí)，若原式若原式解n3=0若，原式1122a0(1)000000000nnnnxccaxccaxccaxxxxanaaaa當(dāng)時(shí)，原式(1)2222( 1)(1)n nnaanx 22122lg42lg51cossin011221 證明下列等式：（1）222lg42lg51cossin2112( 21)( 21)：式證原232222lg42lg52lg51cossinsin12( 21)21cc232222lg511sin1121cc01122331231122331231122

10、33123122xyxyxyxxxyzyzyzyyyzxzxzxzzz 證明下列等式：（2）11223332112233112233ccxyxyxyyzyzyzxyxyxy證：原式1231+ 3112233112233222ccxxxyzyzyzxyxyxy1231122331122332xxxyzyzyzxyxyxy123311122331232rrxxxyzyzyzyyy123231231232rrxxxzzzyyy1231231232xxxzzzyyy123231231232rrxxxyyyzzz12231131221231anananan 證明下列等式：（3）1+ 2131(1)(2)

11、232(1)(2)132(1)(2)222(1)(2)2312nccccccnnannnaannnaannnaan原式證：1(1)(2)(1)2nnnaa123113(1)(2)() 12221231nannnaanan213111230100(1)(2)() 001020001nrrrrrrnannaaa1(1)(2)(1)2nnnaa0120001000100=0000001niin iabababababa bababab 證明下列等式：（4）=nD：設(shè) 原式證1 211100100100000()( 1)0000001001nnnabababababDabababababababab

12、按第 行展開(kāi)：120000100100()0000001001nnabababababababababababababab12()nnnDab DabD11212()nnnnnnDaDbDabDb DaD223221()()nnnbDaDbDaD2()1nababba abab22()nnbbb1=+nnnDaDb12212= (+)+nnnnnna aDbba Dabb221332213=()+nnnnnnnnaaDbabba Da babb1222211=+nnnnnaDaba babb122221()+nnnnnaababa babb122221+nnnnnnaababa babb0ni

13、n iia b13|,ijijjiDaaa 設(shè)有n階行列式若其元素滿足=-,則 稱為反對(duì)稱行列式。試證明：（1）反對(duì)稱行列式主對(duì)角線上的元素全為0； ,1,2,ijjiaai jn ：反對(duì)稱矩陣：解的元素滿足 1,2,iiiiaain 則 11220 1,2,0iinnainaaa得 即主對(duì)角線元素全為 。13|,ijijjiDaaa 設(shè)有n階行列式若其元素滿足=-,則 稱為反對(duì)稱行列式。試證明：（2）奇數(shù)階反對(duì)稱行列式必為0。 ,1,2,ijjiaai jn ：反對(duì)稱矩陣：解的元素滿足1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa則 =1213112232

14、132331230000nnTnnnnaaaaaaD Daaaaaa=12131122321323312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa nD 是奇數(shù)0D147491102000-36-15-211-31 計(jì)算下列行列式：（1）22 2711=20 ( 1)315231 按第 行展開(kāi)：原式解213 3 1711204061904rrrr21 24620 1 ( 1)194 按第 列展開(kāi)1960111213142122232433344344140000aaaaaaaaaaaa 計(jì)算下列行列式：（2）333411121 2 1 243442122=( 1)aaaaaaaa

15、 ：根據(jù)拉普拉斯展開(kāi)定理，選定第1,2解列展開(kāi)：原式3334111243442122=aaaaaaaa112221 1233443443=()()a aa aa aa a140000000000000000 xyxyxxxyy（ 計(jì)算下列行列式：3）1110000000000+( 1)0000000000nnnxyxyxyxyxyxyxy ：選定第1行展開(kāi)：式解原1+( 1)nnnxy1400000000000000 xzyxzyxxzyx 計(jì)算下列）行列式：（41100000000000000000nnnnDxzyzyxxDxzxzxzyxyx：令 原式,按第1行展開(kāi)：解12nnxDzyD1

16、2 nnnDxDyzD得112 ()nnnnDaDb DaD令12()nnnDab DabD2244,22abxabyzxxyzxxyzab得：1110 ()nnnDaDbDaD則1() 1nxba 1()nnababb1, nnna bDbDa利用的對(duì)稱性，同樣可得11nnnnnnDaDbDbDa111111 ()nnnnnnnnnbDabDbaDabDaab Dab得1122 44,22nnnabDabxxyzxxyzab其中，1212121212171(1)(1)(1)11(2)(2)(2)21(1)(1)(1)1 1()()()1nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxnxnxn

17、xnxnxnxnxn 計(jì)算行列式：3232323232 1 1(1)(1)(1)1 1(2)(2)(2)2=(-1) 1(1)(1)(1)1 1()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn：原式解432432432+(n-1)432432 1 11(1)(1)(1) 12(2)(2)(2)=(-1) 11(1)(1)(1) 1()()()nxxxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn212121+(n-1)+12121 1 11(1)(1)(1) 12(2)(2)(2)=(-1) 11(1)(1)(1) 1()()()nnnnnnnnnnnxxx

18、xxxxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn(1)2( 1)!(1)!(2)!2!1!n nn nn 1212,( ), ( ) (1,2, )nniia aab bbnf xf abin21 設(shè)是互不相同的實(shí)數(shù)，是任意實(shí)數(shù)。 用克拉默法則證明：存在唯一的次數(shù)小于 的多項(xiàng)式使得 210121( )nnnf xcc xc xcx：設(shè)次數(shù)小于 的多項(xiàng)式解21101 1211 1121201222122210121()()()nnnnnnnnnnnf acc ac acabf acc ac acabf acc ac acab要求滿足0112101 1121112102 122212210121

19、,nnnnnnnnnnnc ccca ca cacbca ca cacbca ca cacb即要求是下面線性方程組的解：211112121122111211111nnnnnnnnnaaaaaaDaaaaaa方程組的系數(shù)行列式1()0ijj i naa 011210121,( )nnnc ccf xcc xc xcx由克拉默法則，方程組有唯一解，所以，滿足條件的多項(xiàng)式存在且唯一。習(xí)題習(xí)題2 部分習(xí)題部分習(xí)題1.1 1(3)1 11111 1abcaccabbacb計(jì)算下列矩陣：222222=33abcacabbcabcabcacabbcabcabcabcabcabc式解：原n1.cos-sin(

20、5) sincos計(jì)算下列矩陣：2cos-sincos-sincos-sin=sincossincossincos：解2222cos-sin-2sin cos=2sin coscos-sincos2-sin2=sin2cos2kcos-sincosk-sinkn=k=sincossinkcosk假設(shè)時(shí)，coskcos-sinksin-cosk sin -sink cos=sink cos +cosksincoskcos-sinksincos(k+1)-sin(k+1)=sin(k+1)cos(k+1)k+1n=k+1cos-sincosk-sinkcos-sin=sincossinkcosks

21、incos則時(shí)，ncos-sincosn-sinn=sincossinncosn所以，由歸納法知314.-22求與可交換的所有矩陣。111221221112111221222122,31312222xxxxxxxxxxxx：設(shè)所求矩陣則解為11211222111211121121122221222122333222222322xxxxxxxxxxxxxxxx11211112122211121121212212222122332322232222xxxxxxxxxxxxxxxx得方程組：122111122211212212212+0=02+202+=0 xxxxxxxxxx12211112221

22、121222+0=02+20 xxxxxxxx122111122212212+0=02+0 xxxxxxx11122122 () ()2xaxbxbxab 任意復(fù)數(shù)任意復(fù)數(shù),2aba bbab所求矩陣：其中是任意復(fù)數(shù)12211112222+0= 0 xxxxx21122211122xxxxx 12121125., (; ,1,2, ),1,2,.(,),1,2,rinnijrnrniiiriia EOOOa EOAaaiji jrOOa EEnirnnAdiag A AAAnir設(shè)是 階單位矩陣（）且證明與 可交換的矩陣只能是準(zhǔn)對(duì)角矩陣其中是 階矩陣（）111212122212,1,2,rrr

23、rrrijijBBBBBBABBBBBnni jr：設(shè)與 可交換的矩陣為其中是矩證陣（）11221111121111212221222212221212rrnnrrnnrrrrrrrrrrrnrnABBAa EOOa EOOBBBBBBOa EOOa EOBBBBBBBBBBBBOOa EOOa E由于111112111112121221222221212222121122rrrrrrrrrrrrrrrrrra Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba Ba B 0 (; ,1,2, )ijBiji jr得 (n) ( 1,2, )iiii

24、BAir令是 階矩陣12rAOOOAOBOOA則6. nAkEAkE證明：與任何 階矩陣都可以交換的矩陣 只能是數(shù)量矩陣，即 ., BnABBAA：設(shè) 為任意 階方陣 由于 則 只能是n證階矩陣。111212122212=.nnnnnnaaaaaaAaaa設(shè)000010000 BnBpq由于 是的 階方任意陣，令=第 行列111211112121222212221212000000=010010000000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa11,1,1,11,0000000000000000000000000000000000000000 pppppqq qqqq q

25、qnppnpaaapaaaaapaa第 行行 qq列 列12,1,10qqq qq qqnppqqaaaaaaa,1,2,0ijp qnkijaij由于可取當(dāng)時(shí)得 當(dāng)時(shí)000000kkAkEk所求矩陣2218.(),2ABEAABE若證明：的條件當(dāng)且僅當(dāng)222212411 242ABBEAABBEBE：證2 22BBEBE2 BE29.,AAOAO證明：若 是實(shí)對(duì)稱矩陣且則111212122212=nnnnnnTaaaaaaAaaaAAA：設(shè)是對(duì)稱證矩陣，1112111211212221222221212=nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAAAaaaaaa2221112122

26、22122222212=nnnnnnaaaaaaaaaO222111212222122222212000nnnnnnaaaaaaaaa111212122212=0=0=0nnnnnnaaaaaaaaa因?yàn)樗性囟际菍?shí)數(shù)，得AO11.證明：任一方陣都可以表示成一個(gè)對(duì)稱矩陣 和一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和。12TTAAAAAA：設(shè) 是任一個(gè)方陣。證1122TTAAAATTTTTTTAAAAAAAA12TAA是對(duì)稱矩陣。TTTTTTTAAAAAAAA 12TAA是反對(duì)稱矩陣。+A 對(duì)稱矩陣 反對(duì)稱矩陣。1213. , . ijTnAaXx xxAXOAO設(shè)為n階方陣，對(duì)任意的n維向量 都有證明：12,0,0

27、,1,0,0,(1)TnTXx xxXi：由于的任意性， 取只有第 個(gè)分量為證1112121222120=10nnnnnnaaaaaaAXaaa 1iiiniaaa000 120 1,2,iiniaaain（）AO122116. 00000000 0000000000000 (1,2, )nnniaaaaaain求矩陣的逆。其中1221000010000000001000000000000000000010000000001nnnaaAEaaa解：121121221000000001000010000000001000000000000000000010nnnnnrrrrrrnnaaaaa 1

28、2100001/100001/00000100001/0000010000000000100001/000001nnaaaa 12100001/1/000001/000000000001/0nnaaaa是所求的逆。17. 11111210000111112100001110120000011000210000100012XX求矩陣 ,使得111111 1000001111010000011100100 00011000100000100001AXBAA E設(shè)上述矩陣方程為：先： 求逆矩陣解：12231nnrrrrrr 100001-10000100001-1000010000100000100

29、001-1000010000111-100001-100001000001-100001A11-10002100001-1001210000100012000001-1000210000100012XA B1-1-10011-1-10011-100011-100012123121318. 243223 0 55xxxxxxx 求方程組的唯一解。（2）12324322-3001055xxx：方程組可表示為 解2432-30105先求：132431002-30010105001rr 2 2 13 2 11050012-30010243100rrrr 231050010-310012047102rr

30、 3 4 21050010117114047102rr 1361105001011711400613414r 1 5 32 17 310500101171140013/614/61 14/61rrrr 10015/6120/619/6101010/617/616/610013/614/61 14/61 2431520912-30107661105341411232432= 2-3001055xxx 方程組的解152092751110760506161341457612375/61, 50/61, 76/61xxx 21. ()klkklklIBAOIIkBkl求（）矩陣的逆。其中 為 階單位矩

31、陣， 為矩陣。10,klAIIA ：解可逆。1112111222122,XXAXkXlXX設(shè)其中是 階矩陣；是 階矩陣。11122122=kkllIBIOXXOIOIXX11122122112112222122=kkllklIBIOXXOIOIXXXBXIXBXOXOXI11122122klXIXBXOXI 1klIBAOI得 12123. 0,(-)kkAE AEAAA如果證明。21()()kkEA EAAAEAE證：121()()kEAEAEAAA可逆，1*24. ,nAnAA設(shè) 為 階方陣 證明 *nnA AA EA AA EAEA證：1*0nAAA當(dāng)時(shí)，*=00 AA AEOAA當(dāng)時(shí)，

32、 (現(xiàn)要證=0)反證法：假設(shè)0，*1*1*()(),0,AAOAOAOA存在，則有那么與假設(shè)矛盾。1*0nAA所以，習(xí)題習(xí)題3 部分習(xí)題部分習(xí)題1.(1)(2)abababab判斷下列等式何時(shí)成立： 222 2abababa aa bb babababa aa bb b ：(1證)220a aa bb ba aa bb ba bab ，得 與 垂直 22222 +=+2+ b2abababa aa bb babaa ba aabb b ：(2)證 =cos,1, ,0,a baba ba ba baba b 得同向。 11122233311122233324.,11 011x y zxyzxy

33、 zxyzxyzxyzxyz證明：不在同一條直線上的三點(diǎn)所確定的平面方程為111212121313131 0 xxyyzzxxyyzzxxyyzz：三點(diǎn)所在的平面：證方程12111324211111122221212133331313110111010rrrrrrxyzxxyyzzxyzxyzxyzxxyyzzxyzxxyyzz1112 1212121313131=( 1)xxyyzzxxyyzzxxyyzz11122233311011xyzxyzxyzxyz所以平面方程： 習(xí)題習(xí)題4 部分習(xí)題部分習(xí)題12345123452345345451.2544373210(1)132141621125

34、12xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解線性方程組：12-541437-1-32100-1-13-21-14001-162-110002512解：2 3 112-5414011415120-1-13-21-14001-162-110002512rr 方法：將增廣矩陣用方法：將增廣矩陣用行初等變換行初等變換化為階梯化為階梯形矩陣。形矩陣。3212-541401 141512001-170-16001-162-110002512rr 4312-541401 141512001-170-160001250002512rr 5 2 412-541401 141512001-170-1600012

35、5000012rr 12-540201 141500001-170-16000101000012 12-500-201 140015001001000101000012 120003010001001001000101000012 100001010001001001000101000012 1234511112xxxxx得同解方程組： 12345,1,1,1,1,2x x x x x方程組的解=12341234124 = 3, 1,11,1,21, 3, 34,0,5, 設(shè),=,=,= (1) 證明：,線性相關(guān)； (2) 證3.明：,線性無(wú)關(guān)。123411223344 (1) ,0 k k

36、k kkkkk（用“線性相關(guān)的定義”方法）設(shè)有數(shù)：使得 證明成立。12343-1,111,21-3-34,0,50,0,0kkkk，123412312343403 02350kkkkkkkkkkk31141 1301235A 線性方程組的系數(shù)矩陣：12350 1210001 一系列行變換 1234123434, ,r Ak k k k （變量個(gè)數(shù)）方程組有非零解,線性相關(guān)。123112234(2) ,0 k k kkkk（用“線性相關(guān)的定義”方法）設(shè)有數(shù)：使得 成立。1233-1,111,24,0,50,0,0kkk，12312123340 0250kkkkkkkk314110125A 線性方

37、程組的系數(shù)矩陣：125011001 一系列行變換 1231243, =0,=0,=0r Akkk 變量個(gè)數(shù)方程組只有唯一解,線性無(wú)關(guān)。12341234124 = 3, 1,11,1,21, 3, 34,0,5, 設(shè),=,=,= (1) 證明：,線性相關(guān)； (2) 證3.明：,線性無(wú)關(guān)。1234 (1) 3114,1 1301235TTTT （用秩的方法）,證明1312351 1303114rr 213 3 11235036505 1011rrrr 3 2 2123503650 121rr 2-3 3123500080 121rr 1282312350 1210001rrr 12341234,3

38、4, ,TTTTr ,線性相關(guān)。124124(2) 3, TTTr ,線性無(wú)關(guān)。123112123 ,+ 設(shè)線性無(wú)關(guān)。 證明：向量組,也線4性無(wú)關(guān)。123123123 ,(,)3r 不妨設(shè)是列向量。證明：（用秩的方法，）線性無(wú)關(guān)321123+cc ,21123cc ,112123+矩陣,112123123+()3rr,112123+向量組,線性無(wú)關(guān)。12123213121 ,=+ =+=+sssss 證明向量組與向量組， ，5等價(jià)。 121212 ,(1) ()ssss 不妨設(shè)是列向量。證明：（用秩的方法）1212,ss 矩陣11222112212,ssssccccccsss 12121212

39、,ssss 12(1)(1)(1)121212, , , ,sscscscsss 120, 0, , 0, ,s 121212 ,sssrr 1212,ss 向量組可由向量組線性表示。1212,ss 顯然，向量組可由向量組線性表示。1212,ss 所以，向量組與向量組等價(jià)。123451212 = 1-1,2,4= 0,3,1,2= 3,0,7,14= 1, 1,2,0= 2,1,5,6, 設(shè)向量組， ，。(1)證明線性無(wú)關(guān)；(2)求向量組中包含的極大線性6.無(wú)關(guān)組。1234510312-1 30-1 1 ,2172542 1406TTTTT解4 2 3213 2 110312033030 11

40、0100044rrrrrr 123144103120 110 10 110 1000 11rr 32103120 110 100000000 11rr 3410312011010001100000rr 1212(1)( ,)2, ,r 線性無(wú)關(guān)。12345124124124(2)( ,)3,3( ,)3, ,rr 極大線性無(wú)關(guān)組有 個(gè)向量。線性無(wú)關(guān)。是向量組的極大線性無(wú)關(guān)組。 證明：若向量組 可由向量組 線性表示，則 向量組 的秩向量組8.的秩 若向量組 可由向量組 線性表示， 由于向量組 的極大線性無(wú)關(guān)組與向量組 等價(jià)； 向量組 的極大線性無(wú)關(guān)組與向量組證明等價(jià)；則向量組 的極大線性無(wú)關(guān)組可

41、由向量組 的極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。4.1向量組的極大無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù) 向量組 的極大無(wú)關(guān)組的由推論知，向量個(gè)數(shù) 即 向量組的秩 向量組 的秩 ,()( )( )A Bm nr ABr Ar B設(shè)都是矩陣，證明：9.12121212 =,nnnnABA nBn 令其中，是 的 個(gè)列向量， 是：的證個(gè)列向量.11221122=,nnnnABABn 則 其中，是的 個(gè)列向量，12121212( ), ( ).,.nsntr Asr Bt 設(shè)不妨設(shè)的極大線性無(wú)關(guān)組為. 設(shè)的極大線性無(wú)關(guān)組為11221212,nnst 向量組可由向量組,線性表示。11221212,nnst 向量組的秩 向量組,的秩12

42、12,stst 而向量組的秩 向量組的向量個(gè)數(shù)1122(,)nnrst 所以， ()( )( )r ABr Ar B即 ()( )TAm nr Ar A設(shè) 是矩陣，證明：10.1212 =,nnAA n 令其中，是 的 個(gè)證：列向量。1212=,TTTTnTTTTnAAn則 其中，是的 個(gè)行向量。12121212,=,TTTTnnTTTTnnAAAA 的列向量組與的行向量組是相同的向量組，它們有相同的極大線性無(wú)關(guān)組，則有的列向量組的秩的行向量組的秩 ( )()Tr Ar A即123412341234123415.22+3209+1421 3 +2+5414+5+7102(1)xxxxxxxxx

43、xxxxxxx設(shè)線性方程組為：求方程組導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(2)用特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示方程組的所有解。2-13209-1 1421325-41457-102A解：132 3 31-32610-71142325-41457-102rrrr 3+3 12+4 11-32611-32610-71 1420-71 1420-7-1 14-2000000-7-1 14-200000rrrr -11121 2 213261111022207114207114200000000000000000000rrrr 12423411 2227142xxxxxx 得同解方程組：112213124211222

44、7142xccxcxccxc 121234112221007142010 xxccxx112210(1)071401AX 方程組導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，121234202 20112221007142010 xxccxx（ ）方程組的一個(gè)特解是其所有解：123123212320.(1)+12 (1)+(1)xxxxxxxxx對(duì) 不同的值，判斷方程組是否有解，有解時(shí)求出全部解（ ）21111=1 1111 1A解：21311 11 111111rr 2213 (1) 1222111001 (1)1(1)rrrr 23222221110001 (1)1(1)rr 2321110(1)00(3)21 1

45、1101110=00000000100010000A 當(dāng)時(shí)，( )=1( )=2r Ar A，此時(shí)方程組無(wú)解；11-29=-30-33 120007A 當(dāng)時(shí)，( )=2( )=3r Ar A，此時(shí)方程組無(wú)解；2123230-3( )( )=3,2(3)21(3)21(3)r Ar Axxx 當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解。21. 00Am nnAXA設(shè) 為矩陣，證明：若任一個(gè) 維向量 都是的解，則12100010 ,0000010nnneeeAX ：設(shè) 個(gè) 維向量由題意知，它們都是解的解。12=0, =0, , =0 nAeAeAe則 1212,=,=0 nnA e eeAe AeAe 0 0AEA即

46、得121 1221223. , 1ttttAXbkkkAXbkkk 設(shè)是非齊次線性方程組的解。證明：也是的一個(gè)解的充分必要條件是12 1tkkk充分性。設(shè)證：1212, , , ttAXbAbAbAb 由于是非齊次線性方程組的解，則有 1 12211221212t1 122 () tttttttA kkkk Ak Ak Ak bk bk bkkkbbkkkAXb那么所以，也是的一個(gè)解。1 1221 122 ()ttttkkkAXbA kkkb必要性。設(shè)也是的一個(gè)解。那么1122121212 1tttttk Ak Ak Abk bk bk bbkkk bbkkkb0, 習(xí)題習(xí)題5 部分習(xí)題部分習(xí)

47、題3212222361A 1. 求矩陣的特征值和特征向量。（ ）321222361EA解：c3122102204rr2224 224123=24 特征值，12=2201211212242000363000EA XEA 對(duì)特征值，解方程組112213212121232 21 10,001=xccxcxcxxccc cx 得則 （不全為 ）是對(duì)應(yīng)2的全部特征向量。3=-4-4072172111-1-42221-1-1032363121000EA XEA 對(duì)特征值，解方程組123123-2 31 -203=-4xcxcxcxxccx得則 （ 不為 ）是對(duì)應(yīng)的全部特征向量。1

48、*3220106.232 ,101 ,2230012BCAC B CBBAE 設(shè)矩陣其中是 的伴隨矩陣。求的特征值和特征向量。1*1111111111*()()()()()AC B CCB BCB C B CB BCCB C CBCCCBC BCCCBC C：解*234077325 ,()522225225BCBC ，1077010700( 1)522101254225001223A 9002274225AE 2900(2 )274(9) (3)225EAE1232=9=3AE的特征值：，12=99-(2 )00001129-(2 )= 224000224000EAEXEAE 對(duì)，解方程組：1

49、2121212=910 (,0)01kkk k得的特征向量：不全為3=33-(2 )0-6001003-(2 )= 2-4401-122-2000EAEXEAE 對(duì)，解方程組：3110=31 (0)1kk 得的特征向量：不為7., ,A BABBA 試證對(duì)于可逆矩陣有。11 BAEBAA ABAAAB AABBA證： 8. 只對(duì)其自身相似的矩陣具有什么樣的形式？1, AP APPA 設(shè) 只與自身相似，則對(duì)都有任意可：逆矩陣解 APPA則11121,1121222,121,11,21,11,12,1=nnnnnnnnnnnnn nnnaaaaaaaaAaaaaaaaa設(shè)( , (1) 3PP i

50、 j取這是第 類初等矩陣111111111( , (1)jjijjjnijniiiijinjjijjjnnninjnnaaaaaaaaAaaaaaaaPaaaai ja111111111( , (1)+)ijniiiiiiijinjinjjijjjnnninjninaaaaaaaaAaaaaP i jaaaaaaaa 0, jiiijjijaaa當(dāng)時(shí)，則有,00000 00i jAkkkAkEk由于的任意性，得 的主對(duì)角元素都相等（令都等于 ）不是主對(duì)角元素都為 ，因此有1-20200.2000,79200031AaBba b 矩陣與相似，試求的值。,AB 因?yàn)橛邢嗤奶亟猓赫鞫囗?xiàng)式。2120

51、1220227922 (1)4)EAaaaa 2000023003EBbb2222(1)423 (1)4(3)3aabaabb得13435,3ababab 得到 3.3012,0,An nAAA 設(shè) 是（）階矩陣，如果但 試證 不可對(duì)角化。121.0000 00nAP AP 反證法。設(shè) 可對(duì)角化，則存在可逆矩證陣P,使得132130000 00nP A P3313120000 =0 =000nPP3331212=0=0=0=0=0=0nn則有， ，那么有， ，。12110000000000 =0000000nAPPPPA則這與矛盾。2(,0).,15rTrAnAATT ATrErdiag E 試證明：設(shè) 是 階實(shí)對(duì)稱矩陣，且則存在 正交矩陣使得其中 為秩， 為 階單位矩陣。.A 設(shè) 的特征值為 ，對(duì)應(yīng) 的特征向量為證。A2A2 220, =0 =1=10A 則有 ，即0的特征值只能是 和或1t0.Ant