2014年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編(純word解析版)____________十一、數(shù)列(逐題詳解)

1、2014年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編(純word解析版) 十一、數(shù)列（逐題詳解） 第I部分 1.【2014年重慶卷（理02）】對任意等比數(shù)列,下列說法一定正確的是（ ）成等比數(shù)列 成等比數(shù)列成等比數(shù)列 成等比數(shù)列【答案】D【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?，所以成等比?shù)列，選擇2.【2014年福建卷（理03）】等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，S3=12，則a6等于（） A8 B10 C12 D14【答案】C【解析】由題意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，公差d=a2a1=42=2，a6=a1+5d=2+5×2=12，故選：C3.【2014年遼寧卷（理08）】設(shè)等

2、差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ）A B C D【答案】C【解析】等差數(shù)列an的公差為d，an+1an=d，又?jǐn)?shù)列2為遞減數(shù)列，=1，a1d0故選：C4.【2014年全國大綱卷（10）】等比數(shù)列中，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于（ ）A6 B5 C4 D3【答案】C【解析】等比數(shù)列an中a4=2，a5=5，a4a5=2×5=10，數(shù)列l(wèi)gan的前8項(xiàng)和S=lga1+lga2+lga8=lg（a1a2a8）=lg（a4a5）4=4lg（a4a5）=4lg10=4故選：C第II部分 5.【2014年上海卷（理08）】設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，若，則 .【答案】【解析】：，6.【2014年廣

3、東卷（理13）】若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意得，又，=.7.【2014年北京卷（理12）】若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)_時(shí)的前項(xiàng)和最大.【答案】8【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7+a8+a9=3a80，a80，又a7+a10=a8+a90，a90，等差數(shù)列an的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，等差數(shù)列an的前8項(xiàng)和最大，故答案為：88.【2014年江蘇卷（理07）】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值是 【答案】4【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，所以由得，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，解得，9.【2014年天津卷（理11）】設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若、成

4、等比數(shù)列，則的值為_.【答案】【解析】依題意得，所以，解得.10.【2014年安徽卷（理12）】數(shù)列是等差數(shù)列，若構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，則_【答案】1【解析】由題意得設(shè)代入上式得，故公比第III部分11.【2014年重慶卷（理22）】設(shè)（1） 若，求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，問：是否存在實(shí)數(shù)使得對所有成立？證明你的結(jié)論.解：（1）當(dāng)時(shí)，平方變形為：，故為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，故，故（2）此時(shí)，當(dāng)時(shí)求得不動(dòng)點(diǎn)，計(jì)算前幾項(xiàng)得發(fā)現(xiàn)，猜測存在。下面證明加強(qiáng)結(jié)論。當(dāng)時(shí)已經(jīng)驗(yàn)證結(jié)論成立。假設(shè)，則由在上單調(diào)遞減可知：，即也是成立的。由數(shù)學(xué)歸納法可知對任意成立。所以存在常數(shù)滿足題意。12.【2014年湖

5、南卷（理20）】(本小題滿分13分) 已知數(shù)列滿足，. （1）若是遞增數(shù)列，且，成等差數(shù)列，求的值； （2）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，而，因此 ，又，成等差數(shù)列，所以，因而，解得或， 但當(dāng)時(shí)，與是遞增數(shù)列相矛盾，故. (2) 由于是遞增數(shù)列，因而 ，于是 且 ，所以 則可知，因此， 因?yàn)槭沁f減數(shù)列，同理可得，故， 由即得 . 于是 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為13.【2014年全國大綱卷（18）】（本小題滿分12分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，從而有若，此時(shí)

6、不成立若，數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，隨著的增大而增大，也不滿足當(dāng)時(shí)，數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，要使，則須滿足即，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，所以此時(shí)（2）由（1）可得所以.14.【2014年山東卷（理19）】(本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列。（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）令=求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（I）解得（II）15.【2014年四川卷（理19）】設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）。（1）若，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為所以 因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的

7、圖象上，所以，所以又，所以（2）由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為所以切線在軸上的截距為，從而，故從而， 所以故16.【2014年天津卷（理19）】（本小題滿分14分）已知和均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，.，集合.，.，.當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；設(shè)、，.，.，其中、，.，.證明：若，則.解：(1)當(dāng)q2，n3時(shí)，M0，1，Ax|xx1x2·2x3·22，xiM，i1，2，3，可得A0，1，2，3，4，5，6，7(2)證明：由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及an<bn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn

8、1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn11<0，所以s<t.17.【2014年全國新課標(biāo)（理17）】(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，=1，其中為常數(shù).()證明：；（）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由.【解析】：()由題設(shè)，兩式相減，由于，所以 6分（）由題設(shè)=1，可得，由()知假設(shè)為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，解得；證明時(shí)，為等差數(shù)列：由知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列令則，數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列令則，（），因此，存在存在，使得為等差數(shù)列. 12分18.【2014年全國新課標(biāo)（理17）】（本小題

9、滿分12分）已知數(shù)列滿足=1，.（）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（）證明：. （1）由得又，所以， 是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列。=，因此的通項(xiàng)公式為=（2）由（1）知=因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，所以，于是，=所以，19.【2014年江蘇卷（理20）】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得，則稱是“H數(shù)列?！保?）若數(shù)列的前n項(xiàng)和=（n），證明：是“H數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)=1.公差d0.若是“H數(shù)列”，求d的值；（3）證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“H數(shù)列” 和，使得=（n）成立。（1）證明：= ，=（n），又=2= ，（n）。存在m=n+1使得（2）=1+

10、（n-1）d ，若是“H數(shù)列”則對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得 。=1+（m-1）d成立?；喌胢= +1+，且d0 又m ， ，d，且為整數(shù)。（3）證明：假設(shè)成立且設(shè)都為等差數(shù)列，則n+=+（-1），=+1，= （）同理= （）取=k由題=+（-1）+（-1）=（）+（n-1）（）=（n+k-1）可得為等差數(shù)列。即可構(gòu)造出兩個(gè)等差數(shù)列和同時(shí)也是“H數(shù)列”滿足條件。20.【2014年北京卷（理20）】（本小題13分）對于數(shù)對序列，記，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，（1） 對于數(shù)對序列，求的值.（2） 記為四個(gè)數(shù)中最小值，對于由兩個(gè)數(shù)對組成的數(shù)對序列和，試分別對和的兩種情況比較和的大小.（

11、3）在由5個(gè)數(shù)對組成的所有數(shù)對序列中，寫出一個(gè)數(shù)對序列使最小，并寫出的值.（只需寫出結(jié)論）.解：（I） =8（） . 當(dāng)m=a時(shí)，= 因?yàn)?，且，所?當(dāng)m=d時(shí)， 因?yàn)?，且所以?所以無論m=a還是m=d，都成立。（）數(shù)對序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小， =10， =26， =42， =50， =52 21.【2014年廣東卷（理19）】（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前和為,滿足，且，(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！窘馕觥?，又，又，綜上知，；（）由（）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，則，又，解得，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成

12、立；由知，22.【2014年湖北卷（理18）】已知等差數(shù)列滿足： 2，且 成等比數(shù)列.（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2） 記 為數(shù)列的前 項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.（）根據(jù)的通項(xiàng)公式表示出的前項(xiàng)和公式,令，解此不等式。 【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，故有化簡得，解得或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或。（2）當(dāng)時(shí)，。顯然此時(shí)不存在正整數(shù)，使得成立。當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去），此時(shí)存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41。綜上，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意的；當(dāng)時(shí)，存在滿足題意的，其最小值為41。23.【2014年江西卷（理17）】（本小題滿分1

13、2分）已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列（），滿足.(1) 令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）同時(shí)除以，得到2分即：3分所以，是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列4分所以，5分(2) ，6分9分兩式相減得：11分12分24.【2014年上海卷（理23）】(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分8分. 已知數(shù)列滿足，. (1) 若，求的取值范圍；(2) 設(shè)是公比為的等比數(shù)列，. 若，求的取值范圍；(3) 若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.【解析】：（1）依題意，又， 綜上可得； （2）由已知得，又， 當(dāng)時(shí)，即，成立 當(dāng)時(shí)，即， ，此不等式即， ， 對于不等式，令，得，解得， 又當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即，即，時(shí)，不等式恒成立綜上，的取值范圍為（3）設(shè)公差為，顯然，當(dāng)時(shí)，是一組符合題意的解，則由已知得，當(dāng)時(shí)，不等式即，時(shí)，解得，的最大值為，此時(shí)公差25.【2014年浙江卷（理19）】（本小題滿分14分）已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且，.求與；設(shè).記數(shù)列的前項(xiàng)和為.求；求正整數(shù)，使得對任意，均有.解：（）a1a2