研一課程考試隨機(jī)過程第12講

1、院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫第一章隨機(jī)過程及其分類量， n 維隨機(jī)向量。在極限定理中我們研究在概率論中，我們研究了隨了無窮多個(gè)隨量，但只局限在它們之間相互的情形。將上述情形加以推廣，即研究一族無窮多個(gè)、相互有隨量，這就是隨機(jī)過程。1 隨機(jī)過程的概念定義：設(shè)(W, S, P) 是一概率空間，對每一個(gè)參數(shù)t ÎT ， X (t,w) 是一定義量，則稱隨量族 XT =X (t,w); t ÎT為在概率空間(W, S, P) 上的隨該概率空間上的一隨機(jī)過程。其中T Ì R 是一實(shí)數(shù)集，稱為指標(biāo)集或參數(shù)集。隨機(jī)過程的兩種描述方法：用表示 XT ，X (t

2、,w) : T ´ W ® R即 X (×, ×) 是一定T ´ W上的二元單值函數(shù)，固定t ÎT ， X (t, ×) 是一定樣本空間W上的函數(shù)，即為一隨 量；對于固定的w ÎW ， X (×, w) 是一個(gè)關(guān)于參數(shù)t ÎT 的函數(shù)，通常稱為樣本函數(shù)，或稱隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，所有樣本函數(shù)的集合確定一隨機(jī)過程。記號(hào) X (t,w) 有時(shí)記為 X t (w) 或簡記為 X (t) 。參數(shù)T 一般表示時(shí)間或空間。常用的參數(shù)一般有：（1）T = N0 = 0,1,2,L ；（2）T = 0,±

3、;1,±2,L ；（3）T = a,b ，其中a 可以取0 或- ¥ ，b 可以取+ ¥ 。當(dāng)參數(shù)取可列集時(shí)，一般稱隨機(jī)過程為隨機(jī)序列。隨機(jī)過程X (t); t ÎT可能取值的全體所的集合稱為此隨機(jī)過程的狀態(tài)空間，記作 S 。 S 中的元素稱為狀態(tài)。狀態(tài)空間可以由復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)或更一般的抽象空間。例 1：拋擲一枚硬幣，樣本空間為W = H ,T，借此定義：院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫X (t) = ìcosp t ,當(dāng)出現(xiàn)H 時(shí)t Î(-¥ , + ¥)í 2t ，當(dāng)出現(xiàn)T 時(shí)î

4、其中 PH = PT = 1/ 2 ，則X (t), t Î(-¥, + ¥) 是一隨機(jī)過程。試其樣本函數(shù)和狀態(tài)空間。例 2：設(shè)X (t) = Acos(w t + q ),t Î(-¥, + ¥)是正，q U (0, 2p ) 。試其中 A 和其樣本函數(shù)和狀態(tài)空間。例 3：質(zhì)點(diǎn)在直線上的隨機(jī)游動(dòng)，令 X n 為質(zhì)點(diǎn)在n 時(shí)刻時(shí)所處的位置，試其樣本函數(shù)和狀態(tài)空間。例 4：某“服務(wù)站”在0, t 時(shí)間內(nèi)到達(dá)的“顧客”數(shù)，記為 N (t)，則N (t), t ³ 0是一隨機(jī)過程，試其樣本函數(shù)和狀態(tài)空間。若記 Sn 為第n 個(gè)“顧

5、客”到達(dá)的時(shí)刻，則Sn , n = 1,2,L 為一隨機(jī)序列，我們自然要關(guān)心Sn , n = 1,2,L 的情況以及它與隨機(jī)過程N(yùn) (t), t ³ 0的關(guān)系，這時(shí)要將兩個(gè)隨機(jī)過程作為一個(gè)整體來研究其概率特性（統(tǒng)計(jì)特性）。例 5：布朗運(yùn)動(dòng)。2 隨機(jī)過程的分類隨機(jī)過程的分類一般有兩種方法：（1）以參數(shù)集和狀態(tài)空間的特征來分類；（2）以統(tǒng)計(jì)特征或概率特征來分類。我們分述如下：（一） 以參數(shù)集和狀態(tài)空間的特性分類：以參數(shù)集T 的性質(zhì)，隨機(jī)過程可分為兩大類：（1）T 可列；（2）T 不可列。以狀態(tài)空間 S 的性質(zhì)，即 X (t) 所取的值的特征，隨機(jī)過程也可以分為兩大類：（1）離散狀態(tài)，即

6、X (t) 所取的值是離散的；（2）連續(xù)狀態(tài)，即 X (t) 所取的值是連續(xù)的。院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫由此可將隨機(jī)過程分為以下四類：（a）（b）（c）（d）離散參數(shù)離散型隨機(jī)過程； 連續(xù)參數(shù)離散型隨機(jī)過程； 連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過程；離散參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過程。（二）以隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征或概率特征分類：以隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征或概率特征來進(jìn)行分類，一般有以下一些：（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）（h）增量過程；Markov 過程；過程； 平穩(wěn)過程； 鞅；更新過程；Poission 過程； 過程。注意：以上兩種對隨機(jī)過程的分類方法并不是的，比如，我們以后要討論的 Mar

7、kov 過程，就有參數(shù)離散狀態(tài)空間離散的 Markov 過程，即 Markov 鏈，也要討論參數(shù)連續(xù)狀態(tài)離散的 Markov 過程，即純不連續(xù) Markov 過程。在下面幾章中，研究幾種重要的、應(yīng)用非常廣泛的隨機(jī)過程。3 隨機(jī)過程的數(shù)字特征（一）單個(gè)隨機(jī)過程的情形設(shè)X (t); t ÎT是一隨機(jī)過程，為了刻畫它的統(tǒng)計(jì)特征，通常要用到隨機(jī)過程的數(shù)字特征，即隨機(jī)過程的均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。下面我們給出它們的定義。（a） 均值函數(shù)：隨機(jī)過程X (t); t ÎT的均值函數(shù)定義為：（假設(shè)存在）院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫m (t) = m(t

8、) = EX (t)X（b） 方差函數(shù)：隨機(jī)過程X (t); t ÎT的方差函數(shù)定義為：（假設(shè)存在）s 2(t)2 （c）（自）協(xié)方差函數(shù)：隨機(jī)過程X (t); t ÎT的（自）協(xié)方差函數(shù)定義為：C(t)（自）相關(guān)函數(shù)：隨機(jī)過程X (t); t ÎT的（自）相關(guān)函數(shù)定義為：RX (s,t) = EX (s) X (t)特征函數(shù)：記：（d）（e）f (u ,u ,L,u ; t ,t ,L,t ) = Eexp ju X (t ) + L+ u X (t )X12n12n11nn稱f (u ,u ,L,u ; t ,t ,L,t ), t ,t ,L,t Î

9、;T , n ³ 1X12n12n12n為隨機(jī)過程X (t); t ÎT的有特征函數(shù)族。數(shù)字特征之間的關(guān)系：C(t)= EX (s) X (t) - m (s) × m (t)XX= R(t)s (t) = D (t) = C2(t)2XX上面的例 1，（1）寫出 X (t) 的一維分X (1/ 2), X (1) ；（2）例 6：寫出 X (t) 的二維分( X (1/ 2), X (1) ；（3）求該過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。例 7：求例 2 中隨機(jī)過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。（二） 兩個(gè)隨機(jī)過程的情形設(shè)X (t); t ÎT、Y (t); t 

10、06;T是兩個(gè)隨機(jī)過程，它們具有相同的參數(shù)集，院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫對于它們的數(shù)字特征，除了有它們的數(shù)字特征外，我們還有：（a） 互協(xié)方差函數(shù)：隨機(jī)過程X (t); t ÎT和Y (t); t ÎT的互協(xié)方差函數(shù)定義為：CXY (s,t) = E X (s) - m X (s)Y (t) - mY (t)（b） 互相關(guān)函數(shù)：隨機(jī)過程X (t); t ÎT和Y (t); t ÎT的互相關(guān)函數(shù)定義為：RXY (s,t) = EX (s)Y (t)互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)有以下的關(guān)系：CXY (s,t) = RXY (s,t) - m

11、 X (s) × mY (t)如果兩個(gè)隨機(jī)過程X (t); t ÎT 和Y (t); t ÎT ，對于任意的兩個(gè)參數(shù)s,t ÎT ，有CXY (s,t) = 0或RXY (s,t) = m X (s) × mY (t) = EX (s) × EY (t)則稱隨機(jī)過程X (t); t ÎT和Y (t); t ÎT是統(tǒng)計(jì)不相或不相。（三） 有分布族設(shè)X (t); t ÎT是一隨機(jī)過程，對于"n Î N ， "ti ÎT (1 £ i £ n) ，記F

12、X (n ; t1 ,t2 ,L,tn )= PX (t1 ) £ x1 , X (t2 ) £ x2 ,L, X (tn ) £ xn 其全體F (Xn ; t1 ,t2 ,L,tn ), t1 ,t2 ,L,tn ÎT , n ³ 1稱為隨機(jī)過程X (t); t ÎT的有分布族。它具有以下的性質(zhì)：（1） 對稱性：對(1,2,L, n) 的任意排列( j1 , j2 ,L, jn ) ，則有：院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫n ; t1 ,t2 ,L,tn ) = FX (FX (jn ; t j1 ,t j2 ,L

13、,t jn )（2） 相容性：對于m < n ，有：m ,+¥,L,+¥ t1 ,t2 ,L,tm ,tm+1 ,L,tn )m ; t1 ,t2 ,L,tm )FX (= FX (注 1：隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性完全由它的有分布族決定。注 2：有分布族與有特征函數(shù)族相互唯一確定。問題：一個(gè)隨機(jī)過程X (t); t ÎT的有分布族，是否描述了該過程的全部概率特性？解決此問題有以下著名的定理，此定理是隨機(jī)過程理論的基礎(chǔ)。定理：（Kolmogorov 存在性定理）設(shè)分布函數(shù)族F (Xn ; t1 ,t2 ,L,tn ), t1 ,t2 ,L,tn ÎT ,

14、n ³ 1滿足以上提到的對稱性和相容性，則必存在唯一的隨機(jī)過程X (t); t ÎT ，使F (Xn ; t1 ,t2 ,L,tn ), t1 ,t2 ,L,tn ÎT , n ³ 1恰好是X (t); t ÎT 的有分布族，即：FX (n ; t1 ,t2 ,L,tn )= PX (t1 ) £ x1 , X (t2 ) £ x2 ,L, X (tn ) £ xn 注：定理說明了隨機(jī)過程X (t); t ÎT的有分布族包含了X (t); t ÎT的所有概率信息。因此，研究隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征可以

15、通過研究其有函數(shù)族的特性來達(dá)到。分布（四）兩個(gè)隨機(jī)過程的性設(shè)X (t); t ÎT、Y (t); t ÎT是兩個(gè)隨機(jī)過程，它們具有相同的參數(shù)集，ÎT ， t1¢,t2¢ ,L,tm¢ ÎT ，則稱n + m 維隨機(jī)向量n, m Î N ，以及( X (t1 ), X (t2 ),L, X (tn ),Y (t1¢),Y (t2¢ ),L,Y (tm¢ ) 的分布函數(shù)：n ; t1 ,t2 ,L,tn ; y1 , y2 ,L, yn ; t1¢,t2¢ ,L,tm&

16、#162; )FXY (= PX (t1 ) £ x1 ,L, X (tn ) £ xn ,Y (t1¢) £ y1 ,L,Y (tm¢ ) £ ym 院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫為隨機(jī)過程X (t); t ÎT和Y (t); t ÎT的n + m 維分布函數(shù)。如果對于的n, m Î N ，以及任意的t1 ,t2 ,L,tn ÎT ， t1¢,t2¢ ,L,tm¢ ÎT ，隨機(jī)過程X (t); t ÎT和Y (t); t &#

17、206;T的分布函數(shù)滿足：n ; t1 ,t2 ,L,tn ; y1 , y2 ,L, yn ; t1¢,t2¢ ,L,tm¢ )n ; t1 ,t2 ,L,tn ) × FY ( y1 , y2 ,L, yn ; t1¢,t2¢ ,L,tm¢ )FXY (= FX (則稱隨機(jī)過程X (t); t ÎT和Y (t); t ÎT是的。注：隨機(jī)過程 X (t); t ÎT 和 Y (t); t ÎT可以得到隨機(jī)過程 X (t); t ÎT和Y (t); t ÎT統(tǒng)計(jì)不相

18、關(guān)，反之不對。但對于正態(tài)過程來說是等價(jià)的，這一點(diǎn)我們以后將看到。4d 函數(shù)及離散型隨的d 函數(shù)表示量分（1）d 函數(shù)（Dirac 函數(shù)）的定義及性質(zhì)定義：對于任意的無窮次可微的函數(shù) f (t) ，如果滿足：+¥+¥òd (t) f (t)dt = limd (t) f (t)dtòe-¥e ®0-¥其中：t < 00 £ t £ et > eì 0,d (t) = ï 1 ,í eeï 0,î則稱de (t) 的弱極限為d 函數(shù)，記為d (t)

19、 。顯然，對于任意的e > 0 ，有：d (t)dt = e 1 dt = 1+¥òeò0 e-¥即+¥d (t)dt = 1ò-¥院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫注 1 ： d (t) 在 t = 0 點(diǎn)的取值為 ¥ ，在 t ¹ 0 點(diǎn)的取值為 0 ，并且滿足+¥d (t)dt = 1。注 2：工程（信號(hào)處理等）上d 函數(shù)也稱為脈沖函數(shù)或d 函數(shù)的篩選性質(zhì)：若 f (t) 為無窮次可微的函數(shù)，則有：òI d (t) f (t)dt = f (0)其中 I 是包

20、含點(diǎn)t = 0 的任意區(qū)間。特殊地，有：+¥ò-¥沖激函數(shù)。d (t) f (t)dt = f (0)ò-¥更一般地，我們有：+¥òd (t - t ) f (t)dt = f (t )00-¥的d 函數(shù)表示為： PX = xi = pii = 1,2,L，則由d （2）離散型隨量分設(shè)離散型隨量 X 的分函數(shù)的篩選性質(zhì)可以定義離散型隨量 X 的分布密度（離散型分布密度）為：¥f (x) = å pid (x - xi )i=1因?yàn)?，由d 函數(shù)的篩選性質(zhì)，離散型隨量 X 的分布函數(shù)可以表示為：&#

21、165;F (x) = PX £ x = å pi =xåp d (u - x )duòii-¥xi £ xi=1量分的d 函數(shù)表示法。它將離散型隨注：工程上，常用離散型隨量的分表示成分布密度的形式，因此與連續(xù)型隨量的概率分布密度函數(shù)一樣，可以進(jìn)行統(tǒng)一處理。在下面的例子中看到它的應(yīng)用。5條件數(shù)學(xué)期望條件數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)數(shù)學(xué)中最基本最重要的概念之一，它在隨機(jī)過程課程中具有廣泛的應(yīng)用，需要同學(xué)們很好地掌握。院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫（1） 離散型情形定義：設(shè)二維離散型隨量( X , Y ) 所有可能取的值是(xi ,

22、y j ) ，其布率為 PX = xi ,Y = y j = pi j ³ 0 ，記：分Y = å I(Y = y) (w )EXY = y j EXjj稱 EXY為 X 關(guān)于Y 的條件數(shù)學(xué)期望。注 1：定義中的 I(Y = y ) (w ) 是示性函數(shù)，即：jì 1,w Îw : Y (w ) = y j I(Y = y ) (w ) = í 0,jw Ïw :Y (w ) = y îY是隨j注 2：條件數(shù)學(xué)期望 EX量Y 的函數(shù)，因此有關(guān)于它的分布，其分布為：當(dāng) EXY = y j ¹ EXY = yk ( j

23、 ¹ k ) 時(shí)，Y = EXY = y j = PY = y j PEX否則，令： Dj =k : EXY = yk = EXY = y j ，則Y = y j = å PY = yk Y = EXPEXkÎDj注 3：由于條件數(shù)學(xué)期望 EXY是隨量Y 的函數(shù)，故可以求其數(shù)學(xué)期望，其數(shù)學(xué)期望為：EEXY = å EXjY = y j PY = y j = EX （2） 連續(xù)型情形分布密度函數(shù) f (x, y) ， Y 的邊緣分布為定義：設(shè)二維隨量具有fY ( y)，若隨量 EXY滿足：Y是隨量Y 的函數(shù)，當(dāng)Y = y 時(shí)，它的取值為 EXY = y；（

24、a）EXD ，有：（b）對于任意的Y Y Î D = EXY Î DEEX則稱隨量 EXY為 X 關(guān)于Y 的條件數(shù)學(xué)期望。院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫注 1：由于條件數(shù)學(xué)期望 EXY是隨量Y 的函數(shù)，故可以求其數(shù)學(xué)期望，其數(shù)學(xué)期望為：EEX+¥òY =E( XY = y) fY ( y)dy =EX -¥例：設(shè)： ( X ,Y ) N (m , m , r,s,s ) ，則有：221212- m )1EY1sX = m + r 2 ( X - m )EYs211（3） 條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)在各給定的隨量的數(shù)學(xué)期望存在的條件下，

25、我們有：（a） EX = EEXY；ìünníåY ý = åai E X i（b） Ea XY a.s. ；其中ai (1 £ i £ n) 為；î i=1þi=1ii（c） Eg( X )h(Y ) Y = h(Y )Eg( X ) Y a.s. ；（d） Eg( X )h(Y ) = Eh(Y )Eg( X ) Y；Y = EX ；（e） 如果 X , Y，則有 EX證明：設(shè)( X ,Y ) f (x, y) ，則有：+¥ +¥Eg( X )h(Y ) = ò

26、-¥ ò-¥ g(x)h( y) f (x, y)dxdy+¥éùf (x, y)+¥-¥=òòg(x)dx h( y) f ( y)dyêúY-¥f ( y)ëûY+¥=Eg( X )òY = yh( y) f ( y)dy = Eh(Y )Eg( X ) YY-¥注 1：常用的計(jì)算式子：+¥Eg( X )h( y) =Eg( X )òY = yh(x) fY ( y)dy-¥+

27、65;PA =PA Y = y f ( y)dyòY-¥+¥PX £ x =PX £ x Y = y f ( y)dyòY-¥院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫6隨機(jī)過程舉例例 a：如果正弦波隨機(jī)過程為X (t) = Acos(w t + q )取，而相位q 是一個(gè)隨其中振幅 A 取，角頻率量，它均勻分布于(-p ,p ) 之間，即：ìï1- p £ x £ p其它,fq (x) = í2pïî0,求在t 時(shí)刻 X (t) 的概率密度。解：固

28、定時(shí)刻t ，則隨量 X (t) = Acos(w t + q ) 是隨由分布函數(shù)的定義：FX (t ) ( y) = PX (t) £ y = PAcos(w t + q ) £ y當(dāng) y < - A 時(shí)， FX (t ) ( y) = 0當(dāng) y ³ + A 時(shí)， FX (t ) ( y) = 1當(dāng)- A £ y < + A 時(shí)，我們有：FX (t ) ( y) = PX ( y) £ y = PAcos(w t + q ) £ y =量q 的函數(shù)。= P(-p < q £ w t - arccos U a

29、rccos y - w t < q £ p ) yAAédxù 1 y Aw t -arccos-pp=òdx +ò2p êëarccos -w túAûy=éw t - arccos y + p + p - arccos y + w tù12p êëúûAA= 1 éw t + p - arccos y ùp êëAúû因此，當(dāng)- A £ y < + A 時(shí)， X

30、 (t) 的概率密度為：院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫1( y) = F( y) =f/X (t )X (t )p- y 2A2最終得到 X (t) 的概率密度為：ì1- A £ y £ + A,ïf X (t ) ( y) = ípïî- y 2A20,其它例 b：設(shè)一由正弦振蕩器輸出的隨機(jī)過程：X (t) = Acos(Wt + q ),t Î(-¥, + ¥)其中 A 、W和q 是相互的隨量，并且已知它們的分布密度函數(shù)分別為：W U (250, 350)、q U (0,

31、2p ) 及ì2a ,a Î(0, A )f (a) = ï0íA2A0ïî 0,a Ï(0, A0 )試求隨機(jī)過程 X (t) 的一維概率密度。解：設(shè)Y (t) = a cos(wt + q ) ,其中a 和是，q U (0, 2p ) ，由例 a 的結(jié)果可知Y (t) 的一維分布密度為：ì1- a £ y £ +a,ïfY (t ) ( y) = ípïî比較 X (t) 與Y (t) ，我們有：- y 2a 20,其 它A = a, W = w)Y

32、(t) = X (t由連續(xù)型全概率公式，我們有：PX (t) £ x = òò PX (t) £ xA, WdF (a, w)由于 A, W 相互，因此有：dF (a, w) = f (a, w)dadw = f (a) f (w)dadwAW故有 X (t) 的一維概率密度為：院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫1f( x) =òò pf (a) f (w )dadw =WX ( t )A- x 2a 2 12a1 A350=òò××dw0da250 p- x 2A2100xa 2

33、0ì2- x 2 ,£ AA2xxï=pA00í20ï0,> Aî0例 c：（一維隨機(jī)游動(dòng)）設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上作隨機(jī)游動(dòng)，即在t = 0 時(shí)質(zhì)點(diǎn)屬于 x 軸的原點(diǎn)，在t = 1,2,3,L 時(shí)質(zhì)點(diǎn)可以在 x 軸上正向或反向移動(dòng)一個(gè)距離，作正向和作反向移動(dòng)的概率分別為 p 和q = 1 - p 。經(jīng)時(shí)間n ，質(zhì)點(diǎn)偏離原點(diǎn)的距離為k ，問經(jīng)時(shí)間n 步后，質(zhì)點(diǎn)處于位置k 的概率如何？解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)第i 次移動(dòng)時(shí)的距離為xi ，則xi 是離散的隨也可取1。且 Pxi = +1 = p, Pxi = -1 = 1 - p = q設(shè)：質(zhì)點(diǎn)在

34、t = n 時(shí)，偏離原點(diǎn)的距離為 X n ，則 X n 也是一隨量，它可取1，量，且有：nX n = åxiX 0= 0i=1由題意，xi 與質(zhì)點(diǎn)所處位置無關(guān)，且xi 與xk （ i ¹ k ）當(dāng)t = n 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)可取的值為:n, n - 2, n - 4,L, - (n - 4), - (n - 2), - n如果在n 次游動(dòng)中有m 次質(zhì)點(diǎn)右向移動(dòng)一個(gè)，即有m 次xi = +1發(fā)生，則有n - m 次質(zhì)點(diǎn)左向移動(dòng)一個(gè)，即有n - m 次xi = -1發(fā)生，此時(shí)有：。nX n = åxi = m ´ (+1) + (n - m) ´ (-1)

35、 = 2m - n = ki=1n + k由此得到 m =。2因此，由題意，我們有：院 20062007 第一學(xué)期隨機(jī)過程講稿 孫n+kn+kn-kn+kn-kn!PX= k = Cm pmqn-m = Cpq=pq22222n + kn - knnn()!()!22此式中m 是一正整數(shù)，則如果n 為奇數(shù)時(shí)， k 也是奇數(shù)(k < n) ；如果n 為偶數(shù)時(shí)， k 也是偶數(shù)(k < n)。例 d：設(shè)有一脈沖數(shù)字通信系統(tǒng)，它傳送的信號(hào)是脈寬為T0 的脈沖信號(hào)，每隔 T0 送出一個(gè)脈沖。脈沖幅度 X (t) 是一隨 +2, + 1, - 1, - 2，且取這四個(gè)值的概率是相等的，即：PX

36、 (t) = +2 = PX (t) = +1 = PX (t) = -1 = PX (t) = -2 = 1/ 4量，它可取四個(gè)值 不同周期內(nèi)脈沖的幅度是相互統(tǒng)計(jì)差u 為均勻分布在(0,T0 ) 內(nèi)的隨X (t) 所取值( X (t1 ), X (t2 ) 的二維解：典型樣本函數(shù)如下圖：的，脈沖的起始時(shí)間相對于原點(diǎn)的時(shí)間量。試求在兩個(gè)時(shí)刻t1 ,t2 時(shí)，隨機(jī)過程概率密度。Xk(t)t在時(shí)間軸上任意固定兩個(gè)時(shí)刻t1 ,t2 ，我們令：C ： t1 ,t2 間有不同周期的脈沖存在，即t1 ,t2 處在不同的脈沖周期內(nèi)；Cc ： t ,t 間沒有不同周期的脈沖存在，即t ,t 處在相同的脈沖周期

37、內(nèi)；1212t1 - t2> T0 時(shí)，有 PC = 1 和 = 0（1） 當(dāng)院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫t1 - t2£ T0 時(shí)， t1 ,t2 可能處在同一脈沖內(nèi)，也可能不處在同一脈（2）當(dāng)沖內(nèi)。假設(shè)q 為t1 所在的脈沖的起始時(shí)刻，由于脈沖的起始時(shí)刻相對于原點(diǎn)t = 0 的時(shí)間差u 是(0,T0 ) 內(nèi)的均勻分布，而且該信號(hào)是等寬的脈沖信號(hào)，因此q 可以看作均勻分布于(t1 - T0 ,t1 ) 的隨 量。如果t1 < t2 ，則PCc = Pt < q + T = Pq > t - T = 1 - Pq < t - T202

38、02t - t1= 1 - 1t -Tq = 1 -òd2 02TTt1 -T000如果t1 > t2 ，則t - t21tPCc = Pt > q =òq = 1 -2d12Tt -TT1000因此有：PCc = 1 -PC =T0T0由全概率公式：C)PC + ff(x , x(x , xCc )PCc Xt11212t2 CCcXt Xt1 2根據(jù)不同周期內(nèi)脈沖幅度是相互的隨量，我們有：C) = é1 d (x - i)ù ´ é1 d (x - k )ùååf(x , xê&

39、#235;i=-2, -1,1, 2 4úûêëk =-2, -1,1, 2 4úûXt1 Xt2 C1212如果t1 ,t2 處在同一周期內(nèi)，則 X t = X t ，此時(shí)有：12Cc ) = é1 d (x - i)d (x - i)ùåf(x , xêú1212cXt1 Xt2 Cëi=-2, -1,1, 2 4û由此最終得到( X (t1 ), X (t2 ) 的二維概率密度如下：t1 - t2£ T0 ：當(dāng)t1 - t2t1 - t2院 2006

40、2007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫- i)ù ´ é1 d (x - k )ùåf(úûêëk =-2, -1,1, 2 4úûXt1 X t212ëi=-2, -1,1, 2T0ùæöé1åd (x - i)d (x - i) ç1 -412ú÷ø+ êëi=-2, -1,1, 2ûèT0t1 - t2> T0 ：當(dāng)- i)ù

41、´ é1 d (x - k )ùåf(úûêëk =-2, -1,1, 2 4úûXt1 X t212ëi=-2, -1,1, 2f(q)q0t1-T0t1例 e：設(shè)有某通信系統(tǒng)，它傳送的信號(hào)是脈寬為T0 的脈沖信號(hào)，脈沖信號(hào)的周期為T 。如果脈沖幅度 X (t) 是隨機(jī)的，幅度服從正態(tài)分布 N (0,s 2 ) ，不同周0期內(nèi)的的幅度是相互統(tǒng)計(jì)的。脈沖沿的位置也是隨機(jī)的，脈沖的起始時(shí)間相對于原點(diǎn)的時(shí)間差u 為均勻分布在(0,T0 ) 內(nèi)的隨量。u 和脈沖幅度間也是相互統(tǒng)計(jì)的（脈沖幅度

42、調(diào)制信號(hào)），試求在兩個(gè)時(shí)刻t1 ,t2 時(shí)，該隨機(jī)過程X (t) 所取值( X (t1 ), X (t2 ) 的二維概率密度。解：在時(shí)間軸上任意固定兩個(gè)時(shí)刻t1 ,t2 ，討論同例 d。特別注意此時(shí)的狀態(tài)空間！t1 - t2> T0 時(shí)， t1 ,t2 位于不同的周期內(nèi)，此時(shí)我們有：（a） 當(dāng)2 üf(x ,2 ýXt1 X t21îþt1 - t2£ T0 時(shí)， t1 ,t2 位于兩個(gè)不同的周期內(nèi)的概率為：（b） 當(dāng)t1 - t2t1 - t2院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫PC =T0t1 ,t2 位于相同的周期內(nèi)的概

43、率為：PCc = 1 -T0根據(jù)全概率公式，我們有：t - t2 ü2 ý × 12 f(x ,Xt1 X t21Tîþ0) × éùexpì-1+ê1 -íú2ps22Tîþë0û因?yàn)楫?dāng)t1 ,t2 處在同一脈沖周期時(shí)， X (t1 ), X (t2 ) 取相同的值，所以上式的第二項(xiàng)出現(xiàn)了d (x1 - x2 ) 函數(shù)。此例中看出， X (t1 ), X (t2 ) 的二維X (t1 ) 和 X (t2 ) 都是正態(tài)分布。概率密度不再

44、是二維正態(tài)分布，雖然例 f：一隨機(jī)過程，它在t0 + nT0 時(shí)刻具有寬度為b 的矩形脈沖波，脈沖概率取值± a 的隨量，且b < T0 ，t0 是在(0, T0 ) 上服從均勻分，試求該過程的相關(guān)函數(shù)和方差。幅度 A布的隨量，并且脈沖幅度 A 與t0解：由給定的隨機(jī)過程，我們有：EX (t) = a ´ p + (-a) ´ p + 0 ´ (1 - 2 p) = 0下面求相關(guān)函數(shù)：任意取t1 , t2 ，且t1 < t2 ，當(dāng)t1 - t2> T0 時(shí)， t1 ,t2 位于不同的周期內(nèi)，此時(shí)有：EX (t1 ) X (t2 ) =

45、EX (t1 )EX (t2 ) = 0£ T0 ，且t1 ,t2 位于兩個(gè)不同的周期內(nèi)時(shí)，我們有：EX (t1 ) X (t2 ) = EX (t1 )EX (t2 ) = 0t1 - t2當(dāng)t1 - t2t1 - t2t1 - t2院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫£ T0 ，且t1 ,t2 位于同一的周期內(nèi)時(shí)，假設(shè)q 為t1 所在的脈沖的起始時(shí)t1 - t2當(dāng)刻，只有當(dāng)t2 < q + b 時(shí)， X (t1 ) 和 X (t2 ) 取到不為零的值，此時(shí)的概率為：b - (t - t1 )1t -bPt < q + b = 1 - Pq <

46、; t - b = 1 -dq =ò2222Tt -TT1 000由此，我們有：× b - (t2 - t1 )EX (t ) X (t ) = a212T0同理，當(dāng)t1 > t2 是，我們有：× b - (t1 - t2 )EX (t ) X (t ) = a212T0因此，最終得到：)a2bRX (t ) =t = t - t ，21DX (t) = RX (0) =,T0T0例 g：隨機(jī)電報(bào)信號(hào)定義如下：（1）在任何時(shí)刻t ， X (t) 取值為 0 或 1，只有兩種可能狀態(tài)。并設(shè)PX (t) = 0 = 1/ 2 , PX (t) = 1 = 1/

47、2（2）每個(gè)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間是隨機(jī)的，設(shè)在T 時(shí)間內(nèi)波形變化的次數(shù)服從Poission 分布即：(lT )kPm = k =(l > 0, T > 0)e-l Tk!（3） X (t) ?。此幍臓顟B(tài)）與隨量 是相互統(tǒng)計(jì)的。求隨機(jī)電報(bào)信號(hào) X (t) 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。解：由均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的定義，有：111（1） 均值函數(shù)： EX (t) = 1´+ 0 ´=，即均值函數(shù)是。222（2） 相關(guān)函數(shù)：在時(shí)間軸上任意固定兩個(gè)時(shí)刻t1 ,t2 ，如果t2 > t1 ，則a 2 (b -t院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫RXX (t1

48、,t2 ) = EX (t1 ) X (t2 ) = 1´1PX (t1 ) = 1, X (t2 ) = 1 + 0 ´1PX (t1 ) = 0, X (t2 ) = 1 + 1´ 0PX (t1 ) = 1, X (t2 ) = 0+ 0 ´ 0PX (t1 ) = 0, X (t2 ) = 0下面求 PX (t1 ) = 1, X (t2 ) = 1。由于：X (t1 ) = 1, X (t2 ) = 1 等價(jià)于：X (t1 ) = 1, 在t2 - t1時(shí)間內(nèi)波形發(fā)生偶數(shù)次變化，即等價(jià)于X (t1 ) = 1, m偶數(shù)，故：RXX (t1 ,t

49、2 ) = PX (t1 ) = 1, m偶數(shù)= PX (t1 ) = 1Pm偶數(shù)：= 1 Pm偶數(shù)21l(t - t )kå= 21e-l (t2 -t1 )2 k =偶數(shù)k!1l(t - t )k1¥å21e-l (t2 -t1 )=´+22 k =0k!-l(t - t )k¥+ å21e-l (t2 -t1 ) k!k =0= 1 e-l (t -t )+ el (t -t )-l (t -t )e2 12 12 141=1 + e4-2l (t -t )2 1同理，如果t2 < t1 ，則有1(t ,t ) =1 + e2l (t -t )R2 1XX124故有：1(t ,t ) =1 + e-2l t -tR1 2XX124因此有：(t2 ) = Cov( X (t1 ), X (t2 )C1=e4設(shè)時(shí)間差t = t1 - t2 ，則有-2l t -t1 2院 20062007 第一學(xué)期 隨機(jī)過程講稿 孫(t ,t ) = 1 1 + e-2l t RXX124) = 1 e-2l t4(t ,t ) = Cov( X (t ), X (tCXX1212因?yàn)殡S機(jī)電報(bào)信號(hào) X (t) 的均值函數(shù)為，相關(guān)函數(shù)僅為時(shí)間差的函數(shù)，故隨機(jī)電報(bào)信號(hào)是寬平穩(wěn)過程。6復(fù)隨機(jī)過程定義：設(shè)