例題隨機(jī)過程

1、浙江大學(xué)2008-2009學(xué)年夏學(xué)期«隨機(jī)過程課程期末考試試卷請(qǐng)考生仔細(xì)閱讀以下注意事項(xiàng):1. 誠(chéng)信考試，2. 開課學(xué)院：沉著應(yīng)考，杜絕違紀(jì)。_理學(xué)院_3.考試形式：閉卷，允許帶計(jì)算器A場(chǎng)4.考試日期：2009年06月29日，考試時(shí)間：120分鐘考生姓名：學(xué)號(hào)：所屆院系：題序一二三四五總分得分評(píng)卷人備用數(shù)據(jù)：、(0.25)=0.60,：，(0.5)=0.69,：，(1)=0.84,：，(2)=0.98,：，(2.5)=0.99一.填空題(每小格2分，共44分，每個(gè)分布均要寫出參數(shù))1. 設(shè)(W(t);t芝0是參數(shù)站=1的維納過程，貝U(1)W(3)+2W(4)服從_N(0,31)_分

2、布，P(W(7)<3|W(1)=1,W(2)=2,W(3)=2=_0.69,EWW(s)=_min(t,s).(2)令Y(t)=W(t+1)W(t),tN0,則當(dāng)t芝s+1時(shí)，EY(t)Y(s)=_0,當(dāng)sts+1時(shí)，EY(t)Y(s)=s1+1_,(Y(t);tN0是嚴(yán)平穩(wěn)過程嗎？答：(是或否)_是.2. 設(shè)(X(t)；叫<t<8是寬平穩(wěn)過程,(1)若自相關(guān)函數(shù)Rx(t)=1+cost，則譜密度Sx3)=2疝3)+n53+1)+6(。-1),(2)若Rx=4+3卜氣貝火X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性當(dāng)且僅當(dāng)均值函數(shù)4=土2。3. 設(shè)(X(t);t芝0是正態(tài)過程，EX(t)=1

3、,Cov(X(t),X(s)=1+cos(ts),則X(t)服從N(1,2)分布，X(3)-X(2)服從_N(0,2-2cos1)_分布(X(t+1)-X(t);t占0是嚴(yán)平穩(wěn)過程嗎？答：(是或否)是.4. 某人拿著一把槍獨(dú)立重復(fù)地打靶，設(shè)每次命中的概率為1/3.用&表示前n打靶中命中的次數(shù)，則當(dāng)n足夠大時(shí)，&近似服從N(n,2n)分布.以Wk表示恰39好命中k次時(shí)打靶的次數(shù)，則事件(Wk芝n與下面哪個(gè)事件相等？答：B(A)(Sn:k(BXSnk(C)(Sn£k(D)(Sn廣k令Yn表示Sn除以3后的余數(shù)，則(Yn;n=0,1,.是一齊次的Markov鏈，其狀態(tài)空間芻

4、40I=0,1,2，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=0-I4101I303；11limP(Sn是3的倍數(shù))=1,limP(Yn=1)=1nf3nf3設(shè)Xn;n=0,1,.是狀態(tài)空間I=0,1,2勺齊次Markov鏈，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為0120334P=10!,p(x°=0)=p(x°=1)=3，則p(X1=1)=音2001P(X°=0,X1=1)=1,P(X1=1|X°=0)=1,63Pg=1)號(hào),p(X10=0)=力2*31.(15分)設(shè)Sn=X1X2.Xn,里X1_,Xn.fc同分布，P(X1=2)=,312P(X1=)=».(1)計(jì)算Sn；n=1,2

5、,.的均值函數(shù)和自相美函數(shù)ESn=13mnmSn(2)P(S442):1-n(2.5)=0.01計(jì)算P(S44a2)的近似值；(3)問當(dāng)nT*時(shí),痂/依概率收斂到什么？為什么？解：()1ES(3)根據(jù)大數(shù)定理，In何=lnX.lnX馬EInX1=-號(hào)2三. In2所以n,S7Pe"=2(12分)以Nt表示在時(shí)間間隔(0,t內(nèi)到達(dá)某商場(chǎng)的顧客數(shù)，設(shè)Nt,t芝0是強(qiáng)度為舄>0的泊松過程，計(jì)算(1)P(Ni=0,N2=1)；P(Ni=1|N4=2);P(W,>1,W2<2),這里Wi表示第i個(gè)顧客來到的時(shí)刻.解：e2'(2)3四. (3)e-'1-e*-標(biāo)

6、_(14分)設(shè)A,B,0獨(dú)立同分布，eU(0,2m),X(t)=Bcos(tA+e),q<t<8.(1) 求X(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)，并證明它是寬平穩(wěn)過程；(2) 計(jì)算<X(t)>,判斷X(t)的均值是否具有各態(tài)歷經(jīng)性，說明理由。(公式:cos(a+0)=cosacos0-sin口sin0)解：(1)%t)=0-,、二sin(2二)RX(t,t)=3*/七(t)是常數(shù)，Rx(t,t+T)只與T有關(guān)X(t)是寬平穩(wěn)過程.1T(2)：X(t)=Tm萬X(t)dt=0',P(：X(t)=)=1aX(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性.(15分)設(shè)X(t)=At+(1|A|)B,t芝0,這里A和B獨(dú)立同分布，P(A=0)=P(A=1)=P(A=-1)=*.(1)寫出X(t);t河的所有樣本函數(shù)，計(jì)算(X(t)均值函數(shù)和3自相關(guān)函數(shù)，(2)計(jì)算X(1)的分布律，計(jì)算P(X(2)=1洲P(X(1)=1,X(2)=1).解：涂樣本函數(shù)：x(t)=0,x(t)=1,x(t)-1,x(