利用空間向量求角和距離

1、第二課時利用空間向量求角和距離【基礎(chǔ)鞏固】1.已知直線l1的方向向量S1=(1,0,1)與直線l2的方向向量S2=(-1,2,-2),則l1與l2夾角的余弦值為(C)(A)(B)(C)(D)解析：因?yàn)镾1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以COS<Si,S2>="如J2X3=-2.又兩直線夾角的取值范圍為(0,司，所若時=2%則空間P,D兩點(diǎn)以l1和l2夾角的余弦值為2.已知點(diǎn)A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),間的距離為(D)8戶、方(A)(B)(C)(D)解析：設(shè)P(x,y,z),因?yàn)樘?2瀛,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-

2、x,3-y,4-z),史3-T知以在正方體ABCD-AiCiD中,M是AB的中點(diǎn)，則sinv庭】，威>的值等于(B)I100E(A)(B)'(C):(D)解析：如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1,則ID(0,0,0),Bi(1,1,1),C(0,1,0),M(1,0),I所以=(1,1,1),;=(1,-,0).TT二一h焰X所以cosv*",.>=»"w=、i=所以sinvD"m>=E=15.故選B.在長方體ABCD-A1C1D中,AB=2,BC=2,DD=3，則AC與BD所成角的余弦值為(A)3抑3例伊(A

3、)0(B)(C)-(D)1解析：建立如圖坐標(biāo)系，則D(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).BDyAC所以cosV'",>=C=0.所以AC與BD所成角的余弦值為0.已知正四棱柱ABCD-ABGD中,AA1=2AB,則CD與平面BDC所成角的正弦值等于(A)2Apa/21_(A)(B)(C)(D)解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA=2AB=2則B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),Ci(0,1,2),TTT故De=(1,1,0),”】=(0,1,2),dc=(0,1,0)

4、.設(shè)平面BDC的法向量rtn-DBOf1T、rr-rt"DC為n=(x,y,z),貝尸+y=0,即偵+M=Q,令z=1,則y=-2,x=2,所以平面BDC的一個法向量為n=(2,-2,1).設(shè)直線CD與平面BDC所成的角為0,件DC|£則sin0=|cos<n,。"'>|=mNDC|項(xiàng)，故選A.2. aa已知點(diǎn)M(a,0,a),平面兀過原點(diǎn)O,且垂直于向量n=(J,a),則點(diǎn)M到平面兀的距離d為.OM-nJ6解析：。M=(a,0,a),則M到平面兀的距離d=6a.3. 答案：。a如圖正方體ABCD-ABGDi的棱長為1,O是平面A1B1C1D的

5、中心，貝UBO與平面ABGD所成角的正弦值為.11解析：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則B(1,1,0),O(Zj,1),T11眼】=(1,0,1)是平面ABGD的一個法向量.又。占=(2,2,-1),1T二2一二二麟”必所以BC與平面ABGD所成角的正弦值為M珥即】|=2'=6.答案:(2019福州高二期中)如圖，已知正方體ABCD-/BCD,棱長為4,E為面ADDA的中心,CF=3FC,AH=3HD.求異面直線EB與HF之間的距離；(2)求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值.解：以D1為原點(diǎn)，。,"氣站分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，則E(2,0,

6、2),Bi(4,4,0),H(1,0,4),F(0,4,1).(1)=(2,4,-2),=(-1,4,-3),=(-1,0,2),設(shè)平面EBFH的法向量為n=(x,y,z),rtjpEB=0.t(2+4y-2z=0,則SHFF即取x=1,則z=-3,y=-2,則n=(1,-2,-3),T|n-EH|-l+0-6|奶異面直線EB與HF之間的距離為網(wǎng)=E4=2.=(2,4,-2),=(2,0,-2),=(-1,0,2),設(shè)平面HBE的法向量為mi=(x',y',z'),ImEH=0*=0,建n加】即Ux+4y-2z=0,II取x'=2,則y'=-',

7、z'=1.所以mi=(2,-,1).Tm?EB=0,'訴三=n仔工+4伊-跪=0.設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,y,z),貝M'1'即i2x-2z=0-取x=1,y=0,z=1,則m=(1,0,1),mrm2q所以cos<m1,m2>=¥1='.因?yàn)槎娼荋-B1E-A1為鈍二面角，所以二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值為-丁.【能力提升】在正方體ABCD-ABGD中,E為BB的中點(diǎn)，則平面AED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(B)£2(A)(B)(C)(D)解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為

8、1,I則D(0,0,0),Ai(1,0,1),E(1,1,),TI所以=(1,0,1),'=(1,1,).設(shè)平面AiED的法向量為n=(x,y,z),TX+z=0n，DA=Oj則(g。，即I21I令x=1,得y=-z=-1,所以n=(1,-Z-1).又平面ABCD勺一個法向量為=(0,0,1),第H-EB：T一*所以cos<n,>=-.2所以平面AED與平面ABC斷成的銳二面角的余弦值為專.故選B.已知矩形ABC齒ABE哇等,D-AB-F為直二面角,M為AB的中點(diǎn),FM吏與BD所成角為0,且cos。=可，則AB與BC的邊長之比為(C)(A)1:1(B)&:1(C)龍

9、:2(D)1:2解析：設(shè)AB=a,BC=b建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則相關(guān)各a點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0,0),M(0,0),B(0,a,0),D(0,0,b),a=(-b,0),=(0,-a,b),TI8+T(22TT所以|曲|=4,|“|=&日8，函BD=-2,-序+竺底奇吏|cos<*">|T=9,b2ABa2整理得4X"、5x/-26=0,所以風(fēng)'=2.故選C.(2019煙臺高二檢測)棱長為1的正方體ABCD-A1CD.中,E,F分別是BC,CC6勺中點(diǎn)，則點(diǎn)D到平面EFDB的距離為.解析:以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

10、I1則D(0,0,0),F(0,0),E(,1,0),Di(0,0,1).所以=(-，-,0),'=(-,-1,1).11“產(chǎn)矛E1-x-y+z=0,設(shè)n=(x,y,z)為平面EFDBi的法向量，則'I易求平面EFDB一個的法向量為n=(-1,1,*,TI|DFn|1又晶=(0,2,0),所以d=ET紋I答案：在直三棱柱ABC-AB'C'中，底面ABC邊長為2的正三角形，D'是棱AC'的中點(diǎn)，且AA=2論試在棱CC上確定一點(diǎn)M,使A"平面AB'D'當(dāng)點(diǎn)M為棱CC中點(diǎn)時，求直線AB'與平面ABM所成角的正弦值.解:

11、(1)因?yàn)橹比庵鵄BC-AB'C'中，底面ABC是邊長為2的正三角形,D'是棱AC'的中點(diǎn)，所以BD'LAC，所以BD'L平面ACCA,所以B'D'MM,所以在棱CC上確定一點(diǎn)M,使A雄平面AB'D',只要過A'作A雄AD交CC于點(diǎn)M即可.如圖以A為原點(diǎn)，以用，希為y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹比庵鵄BC-AB'C'中，底面AB決邊長為2的正三角形，第7頁D'是棱AC'的中點(diǎn)，且AA=2很.所以A(0,0,0),B'(相,1,2成),A(0,0,2點(diǎn)

12、),b(1,0),M(0,2,我),所以'=(,1,2)"=(0,2,-),=(,1,-2),設(shè)平面ABM的一個法向量為n=(x,y,z),n-A'M=0*Qt2y-0,則=即槌x+yf室=0,令y=1,則n=(相,1,我)，設(shè)直線AB'與平面ABM所成的角為0.sin0=|cos<n，徊>|=|milAB|=寸2x氣另=3.所以當(dāng)點(diǎn)M為棱CC中點(diǎn)時，直線AB'與平面ABM所成角的巫正弦值為.【探究創(chuàng)新】如圖，在四棱錐P-ABCW,PAL平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,/DABNABC=90,E是CD的中點(diǎn).證明:CDX平面PA

13、E;若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABC斷成的角相等，求四棱錐P-ABCD勺體積.解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=h，則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).TTT易知8=(-4,2,0),"=(2,4,0),"=(0,0,h).因?yàn)闈?jì)"=-8+8+0=0，擊"=0,所以CEXAE,CaAP.而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CEX平面PAE.由題設(shè)和（1）知，允示分別是平面PAE,平面ABC前法向量，而PB與平面PAE所成的角和P