十章量子力學(xué)基礎(chǔ)_第1頁
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1、第十六章量子力學(xué)基礎(chǔ)一、基本要求1、了解波函數(shù)的概念及其統(tǒng)計(jì)意義,理解微觀粒子的波動(dòng)性2、了解一維定態(tài)的薛定避方程及其波函數(shù)解一般必須滿足的條件,以及量子力學(xué)中用薛定避方程處理一維無限深勢(shì)阱、一維諧振子等微觀物理問題的方法。3、了解量子力學(xué)對(duì)氫原子問題處理的基本方法,理解描述氫原子量子態(tài)的三個(gè)量子數(shù)(n,l,m)的函義和能級(jí)公式。了解核外電子概率分布的函數(shù)形式和意義。二、基本內(nèi)容本章重點(diǎn):建立量子物理的基本概念,了解微觀粒子運(yùn)動(dòng)的基本特征、波函數(shù)的概念及其統(tǒng)計(jì)解釋、一維定態(tài)的薛定避方程及其應(yīng)用。本章難點(diǎn):波函數(shù)及其核外電子概率分布的意義。(一)波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)意義:微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài),

2、是用波函數(shù)w(F,t)來描述的,這個(gè)波函數(shù)所反映的微觀粒子波動(dòng)性,就是德布羅意波。(量子力學(xué)的基本假設(shè)之一)玻恩指出:德布羅意波或波函數(shù)甲(rt)不代表實(shí)際物理量的波動(dòng),而是描述粒子在空間的概率分布的概率波。量子力學(xué)中描述微觀粒子的波函數(shù)本身是沒有直接物理意義的,具有直接物理意義的是波函數(shù)的模的平方,它代表了粒子出現(xiàn)的概率。微觀粒子的概率波的波函數(shù)是:中(F,t)=甲(x,y,z,t)因此概率密度:波函數(shù)模的平方I*(r,t)I2代表時(shí)刻t,在r處附近空間單位體積中粒子出現(xiàn)的幾率。2,:(x,y,z,t)(x,y,z,t),(x,y,z,t)1(r,t)|也被稱為概率密度。即某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)

3、附近在體積元dV中的粒子的概率為:w(x,y,z,t)|2dxdydz或(r,t)|d波函數(shù)必須滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件:?jiǎn)沃?、連續(xù)、有限。波函數(shù)必須滿足歸一化條件:廣(r,t廣(r,t)d=1(二)薛定避方程:1、含時(shí)薛定避方程:量子力學(xué)中微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來描述,決定粒子狀態(tài)變化的方程是薛定避方程。一般形式的薛定避方程,也稱含時(shí)薛定避方程,即:i-呈祟=才2U(r)一(r,t)式中k是粒子的質(zhì)量,U(r)是否粒子在外力場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)。2、定態(tài)薛定避方程:當(dāng)粒子在穩(wěn)定場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),勢(shì)能函數(shù)與時(shí)間無關(guān),即U=U(r)時(shí),為定態(tài)薛定避方程:-22-一'22U(r)(r)=E(r)其特解為:(r,t

4、廣(r)eiEt/hOOoo概率密度分布為:,")='-(r,tr(r,t"(r)-(r)(三)一維勢(shì)阱和勢(shì)壘問題:1、一維無限深方勢(shì)阱:對(duì)于一勢(shì)阱有維無限深方U(x)U(x)=0(0<x<a):°°(0<x,x芝a)定態(tài)薛定避方程為:L2Ek二薛定避方程的解為:'-(x)=Asin(kx:)其中k,A,a都是常量,(A,a為積分常量),其中A,a分別用歸一化條件和邊界條件確定。根據(jù)甲(0)=0,可以確定a=0或mi,m=1,2,3,于是上式改寫為:(x)=Asinkx根據(jù)平(a)=0,可以確定ka=e,n=1,2,3,

5、根據(jù)歸一化條件,確定得能級(jí)公式為:2k22a2,n1,2,3,由此式知:一維無限深方勢(shì)阱的能譜是分立譜這個(gè)分立的能譜就是量子化了的能級(jí)當(dāng)n=1時(shí),粒子處于最低能量狀態(tài),稱為基態(tài),其基態(tài)能量(零點(diǎn)能)為:Ei=二2一22a2-二0激發(fā)態(tài)能量:En2-22二n22a2(n=2,3,)一維無限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的波動(dòng)方程:d即"jmEwdx2h20,(x£0,x_a)波函數(shù):'(x)=sinn”x,(0<x<a)aa概率密度:平(x)2=2sin2里xaa呂匕旦月匕里:勢(shì)阱中相鄰能級(jí)之差:能級(jí)相對(duì)間隔:二22n2EnEn量子數(shù):n=1,2,3,屯非n

6、1-En=(2n1)菽:2n“I8ma2h2n28maEnt0能量視為連續(xù)變化。En與能量本征值En相對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)¥n=(x)為:歸一化波函數(shù)為:'n(x)=2sinaan二xn=1,2,3,U0E2、勢(shì)壘穿透和隧道效應(yīng):有限高的勢(shì)壘:U(x"U(x)="0(P區(qū)"g)U(x)=U°,0<x<a(Q區(qū))在p區(qū)和s的形式區(qū)薛定避方程為:郭如(x)=0在Q區(qū)粒子應(yīng)滿足下面的方程式:3.登(e_u°廣(x)dx2用分離變量法求解,得:A1eikxB1e成(P區(qū))-2x_x=A2eB2e在P區(qū),勢(shì)壘反射系數(shù):Aikx-3

7、e(S區(qū))BiAi2在Q區(qū),勢(shì)壘透射系數(shù):(x:0,xa)(0:x:a)T=粒子能夠穿透比其動(dòng)能高的勢(shì)壘的現(xiàn)象,稱為經(jīng)典理論:(1)E>U0的粒子,越過勢(shì)壘(2)E<Uo的粒子,不能越過勢(shì)壘。量子理論:(1)E>U。的粒子,也存在被彈回的概率一一反射波。(2)E<U。的粒子,也可能越過勢(shì)壘到達(dá)s區(qū)隧道效應(yīng)(四)一維諧振子問題為系統(tǒng)的勢(shì)能:1 i、一維諧振子的定態(tài)薛定避方程O1.00U(x)kx=x2 2簡(jiǎn)諧振子的能量為:將勢(shì)能形式代入定態(tài)薛定避方程,得:2d2-22dx22x2(x)=E(x)2、一維諧振子的能量本征值:為使波函數(shù)量滿足單值、連續(xù)、有限的條件,能量本征值

8、只能取:1一E="(n項(xiàng)n=1,2,3,基態(tài)能量(零點(diǎn)能)為:E。2(五)氫原子1、角動(dòng)量的本征函數(shù)和相應(yīng)的量子數(shù):動(dòng)量的本征值為:L=.l(l1)-L稱為軌道量子數(shù)或角量子數(shù),表示電子相對(duì)于原子核的角動(dòng)量的大小。核外電子相對(duì)于核的角動(dòng)量,稱為軌道角動(dòng)量。電子軌道角動(dòng)量的z分量的大小:Lz=m”m=0,±1,±2,±lm稱為磁量子數(shù)。軌道角動(dòng)量在空間不能任意取向,而只能取某些特定方向的性質(zhì),稱為角動(dòng)量的空間量子化O2、氫原子的能級(jí):氫原子的能級(jí)公式:En4mues4mee從能級(jí)公式可以看到,當(dāng)n=1,即氫原子處于基態(tài)時(shí),Ei22n2n=1,2,3,22(

9、4二;o)2n2,這就是電離。能量為:4mue=-13.597eV2汽2(4戒。)23、能量的本征函數(shù)和能級(jí)的簡(jiǎn)并度:對(duì)于任何一個(gè)主量子數(shù)n,共有:n_J'(211)=n2i個(gè)量子態(tài)都對(duì)應(yīng)于相同的能量本征值En,這種情形就稱為能級(jí)En是簡(jiǎn)并的,或者更具體地說,定態(tài)能級(jí)En的簡(jiǎn)并度是n2三、類氫離子能級(jí)公式24meZeC222,nT22(4;。)n(六)氫原子中電子的概率分布1、電子概率的徑向分布:在半徑為r到r+dr的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率為:大2大2、2wm(r)dr=00R(r)r2drYm(e,平)|sinedkl中22=R;i(r)r2dr22式中Wnl=Rnl(r)r是電子出現(xiàn)

10、在相應(yīng)球殼內(nèi)的概率密度,稱為電子概率的徑向分布函數(shù)??梢宰C明,對(duì)于n-l-1=0的所有量子態(tài)的最概然半徑可以表示為:_2_rn=na,n=1,2,2、電子概率的角度分布函數(shù):立體角dQ=sin6d6d鈉發(fā)現(xiàn)電子的概率為:Wlm(6")dQ=fRnl(r)Ylm(8,中)2r2drsin8d8d中=|Ylm(B,中)2sin8d8d平=丫異們甲)2dQ式中Wm(9$是電子出現(xiàn)在相應(yīng)立體角內(nèi)的概率密度,稱為電子概率的角度分布函數(shù)。電子概率的角度分布函數(shù)Wm(6,與平無關(guān),所以角度分布函數(shù)Wm(Q是以Z軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的三、問題討論1、數(shù)歸一化波函是什么意思?2答:波函數(shù)絕對(duì)值的平萬,(r)

11、是在r處的概率密度,即在此處附近空間單位體積中粒子發(fā)現(xiàn)的概率的大小。數(shù)歸一化波函是指概率密度在全空間中的積分為1,即:廣(r,t)(r,t)d.=1上式在物理上,是指在整個(gè)空間發(fā)現(xiàn)粒子的概率為1。因?yàn)橹灰诳臻g有一個(gè)粒子,遍及整個(gè)空間總能找到這個(gè)粒子。2、勢(shì)阱中的粒子(包括諧振子)處于激發(fā)態(tài)時(shí)的能量都是完全確定的一一沒有不確定能量。這意味著粒子處于這些激發(fā)態(tài)的壽命將為多長?它們自己能從一個(gè)態(tài)躍遷到另一個(gè)態(tài)嗎?答:粒子所處的狀態(tài)的是完全確定的,就是說在這樣的確態(tài)上能量E的不確定度為零,即:AE=0,能量E的不確定度和壽命的不確定度AE之間的不確定度關(guān)系為:hE.:.2現(xiàn)已知AE=0,就要求Att

12、必,也就是說,粒子處于這些激發(fā)態(tài)的壽命是無限長,如果沒有外界擾亂動(dòng),它們自己不能能從一個(gè)態(tài)躍遷到另一個(gè)態(tài)。四、典型例題1、粒子在一維無限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)(勢(shì)阱寬為a),若其狀態(tài)對(duì)應(yīng)于波函數(shù),;n(X)=2.3二xsinaa(0<x<a),求粒子出現(xiàn)的概率最大有哪些位置?解:出現(xiàn)粒子的概率密度為:此(x)2=2sin2由x(0<x<a)aad2d2.23二x6二.6二x八對(duì)上海式求極值:(x)=(sin)=sin=0dxdxaaaa則sin=0,絲=1兀,x=k,k=0,1,2,3,aab其中:k=0時(shí),x=0,k=6時(shí),x=a,由邊界條件知:W(x)=0k芝7時(shí),x>

13、;a,已出勢(shì)阱,a3a5a故:x=,x=,x=處,粒子出現(xiàn)的概率最大。bbb2、一維無限深方勢(shì)阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)n(x)=2n:xsin,試求:aa粒子在此“a和x=之間被找到的概率,當(dāng):3(1)粒子處于基態(tài)時(shí);(2)粒子處于n=2的狀態(tài)時(shí)解:(1)當(dāng)n=1時(shí),概率為:3/腫i(x)dx2a3sin2己dx=1a0a3.一34二=0.19(2)當(dāng)n=2時(shí),概率為:P平(x)dx=2f3sin2竺dx=1+3=0.4001a10a38n3、一個(gè)細(xì)胞的線度為105m,其中一粒子質(zhì)量為104g,按一維無限深方勢(shì)阱計(jì)算,這個(gè)粒子的n1=100和叫=101的能級(jí)和它們的差各是多少?解:E12®

14、;n2(1.0510家)2210710°21002=5.410氣E二"2n2*(1.0510家)21012553jE2=方必山=210710。10110JE=E2-E1=(5.5-5.4)1037=1.010況J,;n(x)=2.n二x打sina(0x<a),則粒子出五、自我檢測(cè)1、一維無限深方勢(shì)阱寬為a,粒子的波函數(shù)為現(xiàn)的概率最大位置是。2、若氫原子處在1=3的狀態(tài)上,則有此時(shí)氫原子的能量是,角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向上的分量的可能值是。3、當(dāng)主量子數(shù)n=3時(shí),角量子數(shù)l可能有的值是;當(dāng)角量子數(shù)1=2時(shí),磁量子數(shù)m可能有的值是。4、描述粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)平(F,t),則件(r

15、,t)|2表示;平(rt)需要滿足的條件為:;其歸一化條件為:。13"n(x):COS,、一5、已知粒子在一維矩形萬勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng),其波函數(shù)為Vaa(-a壬x苴a),那么5a粒子在x=出現(xiàn)的概率密度為:()6大?A、6、7、B2a二C、-X2、a2a在一維矩形方勢(shì)阱中,求粒子處在第一激發(fā)態(tài)(n=2)時(shí)的能量以及在勢(shì)阱中何處出現(xiàn)的的概率最氫原子中的電子處于n=4、1=3的狀態(tài),問:(1)該電子角動(dòng)量L的值為多少?(2)這角動(dòng)量L在z軸的分量為多少?8、設(shè)有一電子在寬度為a=0.20nm的一維無限深方勢(shì)阱中,求:(1)電子在最低能量級(jí)的能量;(2)當(dāng)電子處于第一激發(fā)態(tài)(n=2)時(shí),在勢(shì)阱中何處出現(xiàn)的的概率最小?六、自我評(píng)價(jià)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):15題每題8分,68題每題20分,

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