蘇教版二輪專題平面向量

1、平 面 向 量【高考考情解讀】從近幾年高考來看，平面向量有以下幾個考查特點：1.向量的加法，主要考查運算法則、幾何意義；平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運算、兩向量平行與垂直的充要條件是命題的重點內(nèi)容，主要考查運算能力和靈活運用知識的能力；試題常以填空題形式出現(xiàn)，難度中等偏下.2.平面向量與三角函數(shù)、解析幾何相結(jié)合，以解答題形式呈現(xiàn)，難度中等【知識梳理】1 平面向量中的五個基本概念(1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.(2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為.(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)(4)如果直線l的斜率為k，則a(1，k)是直

2、線l的一個方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量b在向量a方向上的投影2 平面向量的兩個重要定理(1)向量共線定理：向量a(a0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù)，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底3 平面向量的兩個充要條件：若兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：(1)ababx1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20.4 平面向量的三個性質(zhì)(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x

3、2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .【考點探究】考點一平面向量的概念及線性運算例1(1)(2013·江蘇)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_(2)ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，0且|，則向量在上的投影為_解析(1)如圖，()，則1，2，12.(2)由0，得.又O為ABC外接圓的圓心，OBOC，四邊形ABOC為菱形，AOBC.由|2，知AOC為等邊三角形故在上的投影為|cosACB2cos . (1)在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當(dāng)作字母，其運算就類似

4、于代數(shù)中合并同類項的運算；有的問題采用坐標(biāo)化解決更簡單(2)運用向量加減法解決幾何問題時，要善于發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形，使用三角形法則時要特別注意“首尾相接”運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合 (1)已知ABC和點M滿足0.若存在實數(shù)m使得m成立，則m的值為_(2)如圖，平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|1，|2，若(，R)，則的值為_解析(1)0，點M是ABC的重心3，m3.(2)方法一如圖，11，|1|2，|1|4，42.6.方法二由，兩邊同乘，得2·0，4.4，兩邊同乘，得·4·，即34().2

5、.6.方法三以O(shè)為原點，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)即A(1,0)，C(3，)，B(，)由得，.6.考點二平面向量的數(shù)量積例2(1)(2012·江蘇)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·，則·的值是_(2)若a，b，c均為單位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，則|abc|的最大值為_解析(1)方法一坐標(biāo)法以A為坐標(biāo)原點，AB，AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)

6、系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，·(，0)·(x,2)x.又·，x1.(1，2)·(，1)·(1，2)22.方法二用，表示，是關(guān)鍵設(shè)x，則(x1).··()·(x)x22x，又·，2x，x.·()·22×2×4.(2)方法一由題意知a2b2c21，又a·b0，(ac)·(bc)a·ba·cb·cc20，a·cb·cc21，|ab

7、c|2a2b2c22a·b2a·c2b·c32(a·cb·c)1，|abc|1.方法二設(shè)a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，則x2y21，ac(1x，y)，bc(x,1y)，則(ac)·(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x,1y)，|abc|1. (1)涉及數(shù)量積和模的計算問題，通常有兩種求解思路：直接利用數(shù)量積的定義；建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算求解(2)在利用數(shù)量積的定義計算時，要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模和夾角已知的向量進(jìn)行計算求平面向量的模時，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方 (1

8、)(2013·山東)已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若A，且，則實數(shù)的值為_(2)(2013·重慶改編)在平面上，|1，.若|<，則|的取值范圍是_答案(1)(2)解析(1)由知·0，即·()·()(1)·A22(1)×3×2××940，解得.(2)，·()·()···20，···2.，.|1，21122(···)222(2)22，|<，0|2<，0

9、22<，<22，即|.考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0<<x<.(1)若，求函數(shù)f(x)b·c的最小值及相應(yīng)x的值；(2)若a與b的夾角為，且ac，求tan 2的值 (1)應(yīng)用向量的數(shù)量積公式可得f(x)的三角函數(shù)式，然后利用換元法將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)式，由此可解得函數(shù)的最小值及對應(yīng)的x值(2)由夾角公式及ac可得關(guān)于角的三角函數(shù)式，通過三角恒等變換可得結(jié)果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，co

10、s x2cos )，f(x)b·ccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，則2sin xcos xt21，且1<t<.則yt2t12，1<t<，t時，ymin，此時sin xcos x，即sin，<x<，<x<，x，x.函數(shù)f(x)的最小值為，相應(yīng)x的值為.(2)a與b的夾角為，cos cos cos xsin sin xcos(x)0<<x<，0<x<，x.ac，cos (sin x2sin )

11、sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2. 在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起了解，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題 已知向量a，b(cos x，1)(1)當(dāng)ab時，求cos2xsin 2x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)2(ab)·b，已知在ABC中

12、，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范圍解(1)ab，cos xsin x0，tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)·bsin，由正弦定理，可得sin A，A.f(x)4cossin，x0，2x，1f(x)4cos(2A).【規(guī)律總結(jié)】1 當(dāng)向量以幾何圖形的形式出現(xiàn)時，要把這個幾何圖形中的一個向量用其余的向量線性表示，就要根據(jù)向量加減法的法則進(jìn)行，特別是減法法則很容易出錯，向量 (其中O為任意一個點)，這個法則就是終點向量減去起點向量2 根據(jù)平行四邊形法則，對于非零向量a，b，當(dāng)|ab|ab|

13、時，平行四邊形的兩條對角線長度相等，此時平行四邊形是矩形，條件|ab|ab|等價于向量a，b互相垂直3 兩個向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線4 平面向量的綜合運用主要體現(xiàn)在三角函數(shù)和平面解析幾何中，在三角函數(shù)問題中平面向量的知識主要是給出三角函數(shù)之間的一些關(guān)系，解題的關(guān)鍵還是三角函數(shù)問題；解析幾何中向量知識只是給出一些幾何量的位置和數(shù)量關(guān)系，在解題中要善于根據(jù)向量知識分析解析幾何中的幾何關(guān)系.【押題精煉】1 已知兩點A(1,0)，B(1，)，O為坐標(biāo)原點，點C在第二象限

14、，且AOC120°，設(shè)2(R)，則_.解析根據(jù)AOC120°，可知點C在射線yx(x<0)上，設(shè)C(a，a)，則有(a，a)(2,0)(，)(2，)，即得a2，a，消去a，得1.2 函數(shù)ytan(x)(0<x<4)的圖象如圖所示，A為圖象與x軸的交點，過點A的直線l與函數(shù)的圖象交于B、C兩點，則()·_.解析A點坐標(biāo)為(2,0)，即(2,0)，由ytan(x)的圖象的對稱性知A是BC的中點2，()·2·2×|28.3 在ABC中，向量m(2cos B,1)，向量n(1sin B，1sin 2B)，且滿足|mn|mn|

15、.(1)求角B的大??； (2)求sin Asin C的取值范圍解(1)由|mn|mn|，可知mnm·n0.而m(2cos B,1)，n(1sin B，1sin 2B)，所以有m·n2cos Bsin 2B1sin 2B2cos B10，得cos B，從而B60°.(2)sin Asin Csin Asin(120°A)sin Acos Asin(A30°)又0°<A<120°，則30°<A30°<150°，<sin(A30°)1.所以<sin Asi

16、n C，即sin Asin C的取值范圍是(，【鞏固練習(xí)】一、填空題1 i與j為互相垂直的單位向量ai2j，bij且a與b的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是_解析a·b(i2j)·(ij)12>0，<， 又a、b同向共線時，a·b>0，設(shè)此時akb(k>0)，則i2jk(ij)， 2，a、b夾角為銳角的的取值范圍是(，2).2在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為_解析·0，ACBD.四邊形ABCD的面積S|××25.3 若M是ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足53，則ABM與ABC的面積比為

17、_解析設(shè)AB的中點為D，由53，得3322，即32.如圖所示，故C，M，D三點共線，且，也就是ABM與ABC對于邊AB的兩高之比為35，則ABM與ABC的面積比為.4若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_解析由已知條件得a2(a2b)2，即a·b|b|2，cosa，b.5 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為90°.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上運動若xy，其中x、yR，則xy的最大值是_解析設(shè)AOC，則COB90°，cos ·sin ·，即.xycos sin sin.6在ABC中，AB2，AC3，&#

18、183;1，則BC_.解析·1，且AB2，1|·|cos(B)，|·|cos B1.在ABC中，AC2AB2BC22AB·BCcos B，即94BC22×(1)BC.二、解答題7已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x，2cos x)，設(shè)函數(shù)f(x)a·b(xR)的圖象關(guān)于直線x對稱，其中，為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍解(1)f(x)sin2xcos2x2sin x·cos xcos 2xsin 2x2sin.由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故.故T.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的圖象過點，得f0，即2sin2sin .故f(x)2sin.由0x，有x，所以sin1，得12sin2，故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為1，28已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向