復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2010118

1、第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示前面我們用微分、積分可以研究解析函數(shù)的性質(zhì)；實(shí)際上級(jí)數(shù)也是研究解析函數(shù)的一種有效的工具.在本章，我們將討論復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，討論復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；重點(diǎn)利用解析函數(shù)的級(jí)數(shù)（泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)）表示導(dǎo)出解析函數(shù)的一些良好的性質(zhì).§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)教學(xué)目的：i.理解復(fù)數(shù)序列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義；2. 掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)以及復(fù)數(shù)序列（級(jí)數(shù)）與實(shí)數(shù)列（級(jí)數(shù)）斂散性的關(guān)系，能正確判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式講授與指導(dǎo)練習(xí)相結(jié)合教學(xué)過程：§4.1.1復(fù)數(shù)序列的極限通常，把按照自然數(shù)的順序排列的一列復(fù)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)列，簡(jiǎn)記為（zn.其中稱為通項(xiàng).【定義】設(shè)Zn

2、是一個(gè)復(fù)數(shù)列，為一個(gè)復(fù)常數(shù)，若對(duì)Vs>0>0（正整數(shù)），使得當(dāng)nan時(shí)，總有ZnZo<8,則稱Zn當(dāng)nT8時(shí)收斂于（或Zn收斂（于），而稱為Zn當(dāng)nT=«時(shí)的極限，記為niZn=Zo.若不存在，則稱Zn發(fā)散或Zn不收斂.|im，Zn=z0等價(jià)于任給的一個(gè)鄰域注：定義的幾何意義在此鄰域之外至多含有Zn的有限項(xiàng)(如圖4.1(a);從上述兩個(gè)定義不難看出，復(fù)數(shù)序列的極限與實(shí)數(shù)列的極限，在形式上是完全相似的.因此，類似于實(shí)數(shù)列極限的有關(guān)結(jié)果，我們還可平行地給出復(fù)數(shù)列極限的相應(yīng)結(jié)果，如極限的四則運(yùn)算法則，收斂數(shù)列的有界性，數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則等.【定理4.1】(復(fù)數(shù)列與實(shí)數(shù)列收

3、斂的關(guān)系)記zn=xn+iyn,limXn=Xonn=1,zo=x°+iy。，則n%Zn=z°匕四_y-證：此命題注意到下面的不等式立即可得XnX。yn_y。Zn_Z。三XnX。yny。例1求下列極限！呵榻+）；（2）!叫日+i2n）；n卜_nnl_2（3）limein=lim（cosn+isinn）.n：n解（1）因lim媚=1,lim=0,nnn所以lim（n、2i虹）=1.nj-n因lim4=0，lim2n=危不存在，n2"n-.C1n所以lim（廠*i2）不存在.（3）因ein=cosn+isinn，而Jjmcosn與limsinn均不存在，所以n或由存在

4、.例2判斷下列復(fù)序列的斂散性,1.1、咯皿=一+|g；n2:nl：n=nI(n1一,n)；nn|n=1I001；n(n1)，111二1二一、'n|'n=(1)en=(1)cosI(1)sin；nnnnn(5)；nln=ncosIn.n1(6):nn=I項(xiàng)/、2nIEE.n!廠寸(8)%Wn=三<ZJ解因?yàn)?1+i，二T0(nT°O)，所以C(n收斂于0.n2(2)：n=-I('、n1f，n)nJn1n'"n'二）,n收斂于1.(3)因?yàn)閅n=1In0.01>I(n*,limn0.01=nn(n1)1),所以L收斂于.1二1

5、點(diǎn)(4)因?yàn)?amp;n=(1+)cos+i(1+-)sint1(nT*),nnnn所以&n收斂于1.nnee因?yàn)?amp;n=ncosin=nchn=n*00(nt«),2所以%發(fā)散.1,n=4k十1n-1,n=4k+2，_(6)因?yàn)閨n=<,(為整數(shù))，所以發(fā)散-i,n=4k31,n=4k故%|%=|+2發(fā)散.(8)發(fā)散.（7）|口=''t0（nT8時(shí)），七二2收斂.n!nn!limy不存在，所以n_練習(xí)：判斷下列序列極限是否存在，若存在，求出其極限口n=（收斂）；"n=（1+L）F（收斂1-ni2（3）嗎=（一1尸+1（發(fā)撒）；UyeV（

6、發(fā)撒）;什n1jri（5）o（n=e2（收斂）.n§4.1.2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)【復(fù)習(xí)】QO1.在高等數(shù)學(xué)中：幾何級(jí)數(shù)Zaqn（q<1）收斂;n42. .二1P-級(jí)數(shù)£（>1）收斂.nWn正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的常用判別法：比較法，比較的極限形式，比值（達(dá)朗貝爾）判別法.根值（柯西）判別法.注意：級(jí)數(shù)添加或去掉有限項(xiàng)不改變其斂散性設(shè)（Zn是一個(gè)復(fù)數(shù)序列，則（Zn的各項(xiàng)和：Z1+Z2+IH+Zn+HIod稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記為ZZn.nmn【定義2】設(shè)xZn是一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記sn=£Zk-稱為0£Zn的（前n項(xiàng)）部分和.若收斂于，即limsn=s，則稱nn-；n

7、n4oOoOQOXZn收斂于，并且也稱為ZZn的和，記為s=，Zn.oQ若（發(fā)散，則稱ZZn發(fā)散.qQOQqQ【定理4.2】£-zn收斂的充分必要條件是兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)xn,yn分別收斂.例2當(dāng)z<1時(shí)，判斷級(jí)數(shù)1+z+z?+z，+川+zn+|是否收斂？解級(jí)數(shù)部分和為Sn=1z偵川廣n1-z1-zn1z1-z1-z由于從而z<1,所以limzn=0；nSC1lim1z=lim|n*|1z=0,nmsnn1-z=limn1z*“=£"故當(dāng)z<1時(shí)，判斷級(jí)數(shù)1+z?+z，+川+zn+IH收斂且和為1.1-z類似于實(shí)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，我們也有【定義3

8、】若Zn=1zn收斂，則稱原級(jí)數(shù)Zzn收斂且絕對(duì)收斂;n=1oOCO若£zn收斂但不絕對(duì)收斂，則稱£znoO注意：因，zn是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，所以它的斂散性可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論來判別.qQ【定理4.3】級(jí)數(shù)£zn收斂的必要條件limzn=lim(xn+iyn)=°.nni.n注證明：由級(jí)數(shù)£zn收斂可以推出Zxn,£yn都收斂;再由實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ZxnJyn收斂的必要條件知limXn=0,limyn=0nlimZn=0.nE：n：n：:oO注意：1.由定義2及Zn=Sn-Sn,可得ZZn收斂時(shí)，則n=1nim：zn=0,但反之不成立.例如.1lim

9、n亦n二1,5=0,但£發(fā)放ndn【定理4.4】QOQO若Wzn絕對(duì)收斂，則£zn收斂，但反過來不成立；設(shè)zn=xn+iyn測(cè)0Zzn絕對(duì)收斂?jī)蓚€(gè)實(shí)級(jí)數(shù)nToO'xnndoO,、nAyn都絕對(duì)收斂.oOoO證明（1）因?yàn)閆Zn絕對(duì)收斂，即£zn收斂,n=1nzi又因?yàn)閤n|<|zn,yn,壬zn,有正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知oOznz4qQa,£|yn收斂，從而正項(xiàng)級(jí)數(shù)n4£Xn2Yn收斂-nz4nz4oOoOoO故£zn=£xn+i£yn收斂-反例:(-1)nxm收斂，但nzin£-|J-l=

10、£二發(fā)散.n=4nmn(1)的證明知QO£zn絕對(duì)收斂時(shí)n=4£Xn,f|yn收斂-n=4n=1n=4n=1n2oOododoo反之，Zxn,£yn絕對(duì)收斂時(shí)，Z|xn|yn收斂.ndnTnTn4OD因?yàn)閦nxn+yn，所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較法知Z'zn收斂.nz!例3討論下列級(jí)數(shù)的斂散性.并判斷是否絕對(duì)收斂二11一二in一二in(1)Z(+i土)；(2)£L;(3)£彳;n4n2nTnnTn(4)ZL(1+L);(5)ndnnnzen!二(T)n(6)ZLJ1-n=1n:11sZ(+iF)發(fā)散nnn2oOoOcoZein;(8)

11、，(1+2i)n;(9)£e”.n曾n±n=1二1:1解(1)因?yàn)?#163;1發(fā)散，£二收斂，所以ninni2二in1111:(2)''=_(2-1-10i(1-nan246-111,1+_1+HI)的實(shí)部與357oa:n虛部?jī)杉?jí)數(shù)都收斂，但級(jí)數(shù)二in故級(jí)數(shù)Z一條件收斂.oo（3）由于'、n呸.ni2n二1=、3為收斂的n*n二1五發(fā)散,n4nP級(jí)數(shù),n故寸與收斂且絕對(duì)收斂n注n二1”，-,”，(4)因?yàn)閆1發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.n1n(5)因?yàn)?8i)nn!8n.Cn1Cn8n1.(n1)!8lim=lim=0<1,n.二叟n&#

12、39;：nn!所以二(8i)nj絕對(duì)收斂.n=0n!(6)一、二（-仆,.因?yàn)?#163;-條件收斂且nin-1,二收斂,n2十二11八所以£（1+i土）條件收斂.n1n2n(7) 因?yàn)閑'n=cosn+isinn當(dāng)nT*時(shí)發(fā)散，即limein=lim(cosn+isinn)。0,ni：ni.所以級(jí)數(shù)Zein發(fā)散.nA因?yàn)?1+2i)n=J5"t"nT=o),所以門哩(.1+2i)n。0,QC所以瓦(1十2)發(fā)散.n=1(9)因?yàn)閑in=cosn2+isinn2當(dāng)nT°o時(shí)發(fā)散odlimein=lim(cosn2+isinn2)#0，所以級(jí)數(shù)Ze

13、”發(fā)散.n.n-nd練習(xí)判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性(發(fā)散)；Zcosn(發(fā)散，通項(xiàng)極限不為零).ndlnnnm2說明：在考慮復(fù)級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，可以先用考察limZn是否為零，若n一,：.:nlimZn#0由必要條件即可得出級(jí)數(shù)發(fā)散；若limZn=0,則再利nn用定理4.3,將復(fù)級(jí)數(shù)化為實(shí)部、虛部?jī)蓚€(gè)實(shí)級(jí)數(shù)來判斷例4證明：當(dāng)Z<1時(shí)，oO級(jí)數(shù)ZZn=1+z+z2+HI+zn+川絕對(duì)收斂;n=0證明記Sn=1+z|+|+|zn.11-zlimzn_:=0,所以limSnn_i:1oO，即Zzn收斂,cO也即Zzn絕對(duì)收斂.并且類似的方法還可求得n=0".1Zz=1+z+z|+z十|j=.【

14、數(shù)列極限問題的證明注意運(yùn)用：limzn=0ulimzn=0】n衿nicl練習(xí).判斷下列復(fù)級(jí)數(shù)的斂散性：因?yàn)閕n二(35i)n;nmn!i2k=(-1)'i2k=(-1)k,k4.'i,'(T)kk=1n=12n=：2k-1,所以n=：2k12k-1cd而實(shí)部與虛部級(jí)數(shù)z(-1)kI2kco和'、.(-1廣k日1，一1一都是收2k-1二in斂的，所以二也收斂.qQ因?yàn)?nA(35i)nn!二:皿收斂，nn!所以；ndn!絕對(duì)收斂，從而也收斂因?yàn)?(1"=!叫詈)n=E"0，由級(jí)數(shù)收斂的必二15i.要條件知，£(二旦尸發(fā)散.nW2小結(jié)：

15、1.復(fù)序列的斂散性的判定類似于復(fù)變函數(shù)極限存在的判定方法,轉(zhuǎn)化為實(shí)函數(shù)序列判定.2.在判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，注意將復(fù)數(shù)問題通過定理轉(zhuǎn)化為高等數(shù)學(xué)中的實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題解決.轉(zhuǎn)化方法：將級(jí)數(shù)分為實(shí)部級(jí)數(shù)加上乘虛部級(jí)數(shù)；或?qū)⒁阎?jí)數(shù)通項(xiàng)求模轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，利用絕對(duì)收斂概念進(jìn)行判斷.易犯錯(cuò)誤：對(duì)實(shí)數(shù)作通項(xiàng)的級(jí)數(shù)的斂散性判定方法不熟悉，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.【上次內(nèi)容提問】練習(xí)：計(jì)算積分I=mdz,其中積分曲線為Cz3z-2(z1)z=r,r#1,2.解分情況討論1(1)當(dāng)0<r<1時(shí)，令f(z)=,則f(z)在：z=r內(nèi)解析.由解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式得、6z2-6z66z2-6z6|f(z)(z2

16、-z-2)3f(0)一(廠-2)33所以I3dz=Cz3z-2(z1)C2二i3.=f(0)=二i.2!4(2)當(dāng)1<r<2時(shí)，在：z=r內(nèi)被積函數(shù)有奇點(diǎn)z=0,z=1.由復(fù)合閉路定理與解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理以及柯西積分公式得1_"z3z_2(zT)dzz"(z1)】zdz11f(0)2二i|z=2!z-2z”二i12其中、為內(nèi)分別以z=0,z=-1為圓心，且互不包含，互不相交的兩個(gè)園.(3)當(dāng)r>2時(shí)，在：z=r內(nèi)被積函數(shù)有奇點(diǎn)z=0,z-1,z=2.由復(fù)合閉路定理與解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理以及柯西積分公式得I3：dzCz3z-2(z1)廠z-2(z1)c03dzdz+f1z1z3dzc2z2211f(0)2二i3|z】2-：i3原2!z-2z3z1z32二i二i二一二i=0.312其中、為內(nèi)分別以z=0,z=1,z=2為圓心，且互不包含，互不相交的三個(gè)園.例4設(shè)f(z)在Z<1上解析，且在z=1上有f(z)z<|z,試證:<8./11f，-12證明因?yàn)樵趜=1上有f(z)-z<z成立