學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)15直接證明

1、學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十五)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1. 命題“函數(shù)f(x)=x-xlnx在區(qū)間(0,1上是增函數(shù)”的證明過(guò)程“對(duì)函數(shù)f(x)=xxlnx求導(dǎo)得f'(x)=Inx,當(dāng)x(0,1)時(shí)，f'(x)=Inx>0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了的證明方法.【答案】綜合法2. 已知a,b是不相等的正數(shù)，x=悖，y=，則x,y的大小關(guān)系是xy.【解析】要比較x,y的大小.-x>0,y>0,只需比較x2,y2的大小，即"b二2與a+b的大小.a,b為不相等的正數(shù),/ab<a+b,a+b+2ab72<a+b,則x

2、2<y2,x<y.【答案】<3. 已知sin辭cosA1且2德芳貝Ucos2M.【解析】由sinHcosA£得1+2sin0cos0=&則2sin0cosA24,525252/_3jc.v德4,.sinO0,cos«0.sin0cosM12sin0cos=7.-sin55，.cos20=1-2sin20=1-2X25=25.254. 已知函數(shù)f(x)=exax在區(qū)間(0,i)上有極值，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解析】函數(shù)f(x)=ex-ax在區(qū)間(0,1)上有極值，就是導(dǎo)函數(shù)f'(x)=ex一a在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn).即方程ex-a=0在區(qū)

3、間(0,1)上有解.所以a=exqi,e).【答案】(1,e)a2x+125. 已知f(x)=a(22x+12是奇函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的值等丁.2a2【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽,函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)f(0)=0,即二一=0,.a=1.【答案】1解23a-a1.a即ai(ai+8d)=(ai+2d)2,ai+a3+a9a2+a4+ai06. 已知等差數(shù)歹Uan的公差d0,且ai,a3,a9成等比數(shù)歹0,4d(aid)=0,du0,ai=d,ai+a3+a9i3aii3Jk八八.a2+a4+aioi6aii613167.已知函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(m24)x+m是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)=x3+

4、2x2+mx+5在(一00,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m=【解析】因?yàn)閒(x)=(m2)x2+(m24)x+m是偶函數(shù)，所以m24=0,m=堤.由題意知g'(x)=3x2+4x+m<0包成立,24貝U=44X(3)xmV0,解彳寸mV3,1!m=2.【答案】一2如圖2-2-1,四棱柱ABCD-AiBiCiDi的側(cè)棱垂直丁底面，滿足時(shí),BD±AiC(寫上一個(gè)條件即可).圖2-2-i【解析】要證BDJAiC,只需證BDL平面AAiC.因?yàn)锳AiJBD,只要再添加條件ACJBD，即可證明BDL平面AAiC，從而有BD!AiC.【答案】AC±BD(或底面為菱形)二、解

5、答題8. 已知三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c,其面積為S,求證：a2+b2+c2>3S.【證明】要證a2+b2+c2>40S,只要證a2+b2+(a2+b22abcosC)>2/3absinC,即證a2+b2>2absin(C+30)，因?yàn)?absin(C+30°)<2ab,只需證a2+b2>2ab,顯然上式成立.所以a2+b2+c2>40S.9. 已知FBC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a,b,c成等差數(shù)列，且2cos2B-8cosB+5=0,求證：ABC為正三角形.【證明】.2cos2B-8cosB+5=0,.2.4cosB8

6、cosB+3=0,-i3,人，、-cosB=2或cosB=只舍去),.B=600.a,b,c成等差數(shù)歹0,.2b=a+c,cosB=a2+c2b2=2ac2ac2'a=c.乂.B=60°,.ABC為正二角形.能力提升1. 如果a山+by/6>ay/b+g/a,則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件是.【解析】a>/a+by/b>ayjb+b*?a眼a/b>b山b仍？a("一b)>b(,a.b)?(ab)(ab)>0?(山+仍)演一的2>0,故只需a冬b且a,b都不小丁零即可.【答案】a>0,b>0且ab22XV已知AABC的兩

7、頂點(diǎn)A、B是雙曲線916=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C在雙曲線的右支上，則sinCsinAsinB【解析】A、B是雙曲線W一土=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn),C在雙曲線的右支916上,.AB|=2寸9+16=10,|CA|CB|=6,sinC|AB|5由正弦JE理，得=一Q.sinA-sinB|BC|-AC|35【答案】-言2. 使不等式<3+2仍>1+丘成立的正整數(shù)p的最大值是【解析】由V3+2寸2>1+VP,得Vpv<3+221,即pv（0+2收-1）2,所以pv12+4*4也一2寸3,由丁12+W6-4也一2寸312.7，因此使不等式成立的正整數(shù)p的最大值是12.【答案】12,一一.、.a+bb+c4.已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1,求證：logx廠+logx廠+a+clogx-<logxa+logxb+logxc.、a+bb+ca+c【證明】要證明logx-+logx-+logx-<logxa+logxb+logxc,只需要證明logx<logx(abc),<222Ja+bb+ca+c而已知0<x<1，故只需證明-22>abc.a,b,c是不全相等的正數(shù)，a+bb+cF»Vab>0,2->