定積分在實際問題中的應用

1、第二節(jié)定積分在實際問題中的應用ApplicationofDefiniteIntegral教學目的：熟練掌握求解平面圖形的面積方法，并能靈活、恰當地選擇積分變量；會求平行截面面積已知的立體的體積，并能求解旋轉體的體積；能夠解決物理應用中變力作功、液體壓力方面的問題.容：定積分幾何應用；定積分在物理中的應用.教學重點：求解平面圖形的面積；求旋轉體的體積.教學難點：運用定積分求平面圖形的面積和旋轉體的體積教學方法：精講:定積分的幾何應用；多練：用定積分求平面圖形的面積和立體的體積教學容：、定積分的幾何應用1. 平面圖形的面積設函數yfi(x),yf2(x)均在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(x)f2(x),

2、xa,b,現計算由yf1(x),yf2(x),xa,xb所圍成的平面圖形的面積.分析求解如下：(1) 如圖6-3所示，該圖形對應變量x的變化區(qū)間為a,b,且所求平面圖形的面積S對區(qū)間a,b具有可加性.在區(qū)間a,b任取一小區(qū)間x,xdx,其所對應的小曲邊梯形的面積，可用以dx為底,fi(x)f2(x)為高的小矩形的面積(圖6-3)中陰影部分的面積)近似代替.即面積微元為dSf1(x)f2(x)dx(3)所求圖形的面積bSaf2(x)f2(x)dx圖6-3【例1】求曲線yex,直線x0,x1及y0所圍成的平面圖形的面積.解對應變量x的變化區(qū)間為0,1,在0,1任取一小區(qū)間x,xdx，其所對應小窄條

3、的面積用以dx為底，以f(x)g(x)ex0ex為高的矩形的面積近似代替，即面積微:dSexdx于是所求面積S°exdxex0e1【例2】求曲線yx2及y2x2所圍成的平面圖形的面積.vx求出交點坐標為y2x2(1,1)和(1,1),積分變量x的變化區(qū)間為1,1,面積微元dSf(x)g(x)dxdS(22(122xx)dx2x)dx于是所求面積112(11(102.x)dxx2)dxx(y),x(y),(若平面圖形是由連續(xù)曲線面積應如何表達呢？分析求解如下：(1) 對應變量y的變化區(qū)間為c,d,且所求面積在y的變化區(qū)間c,d任取一小區(qū)間y,y(y)為長，以dy為寬的矩形面積近似代替(

4、y)(y),yc,yd所圍成的，其用以(y)S對區(qū)間c,d具有可加性.dy,其所對應的小曲邊梯形的面積可，即面積微元為于是所求面積【例3】此時(y)于是所求面積【例4】dS(y)(y)dydc(y)(y)dyc2.求曲線xy，直線y2xy解礙交點坐標為(2,、2一.一(y)y，則面積微兀dS(y2所圍成的平面圖形的面積1,1)和(4,2)，則對應變量y的變化區(qū)間為1,2,2,(y)2(y)dy2)dy求由y2SdS1122y21(yy2)dy2y3y92x2及yx所圍成的平面圖形的面積解為了確定積分變量的變化圍，首先求交點的坐標由yx得交點(0,0),(1,1).yx方法一選-為積分變量，則對

5、應-的變化區(qū)間為0,1,此時f(x)x,g(x)2xdSf(x)g(x)dx(x)dx于是1S0(x2x)dx于是2一x面積微兀13-x3方法二選y為積分變量，對應y的變化區(qū)間為0,1,此時(y)dS(y)(y)dy(5y,(y)y)dyy則面積微元y)dyS；(3223y22 12注:由此例可知，積分變量的選取不是唯一的問題的難易程度也會不同.16，但在有些問題中，積分變量選擇的不同，求解2x【例5】求橢圓-ya4倍，即2y%1的面積.b解橢圓關于x軸，y軸均對稱，故所求面積為第一象限部分的面積的S4S14oydx利用橢圓的參數方程acostbsint應用定積分的換元法,dxasintdt,

6、且當x0時,t-,xa時,t0,于是20S4_bsint(2acost)dt4ab4ab;1cos2t,2dt04ab1sin2t42, 空間立體的體積(1)平行截面面積為已知的立體的體積設某空間立體垂直于一定軸的各個截面面積已知，則這個立體的體積可用微元法求解.不失一般性，不妨取定軸為X軸，垂直于x軸的各個截面面積為關于x的連續(xù)函數S(x),x的變化區(qū)間為a,b.該立體體積V對區(qū)間a,b具有可加性.取x為積分變量，在a,b任取一小區(qū)間x,xdx,其所對應的小薄片的體積用底面積為S(x)，高為dx的柱體的體積近似代替，即體積微元為dVS(x)dx于是所求立體的體積bVS(x)a【例6】一平面經

7、過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角，計算這個平面截圓柱體所得契形體的體積.222解取該平面與底面圓的交線為x軸建立直角坐標系，則底面圓的萬程為xyR，半圓的方程即為yR2x2.在x軸的變化區(qū)間R，R任取一點x，過x作垂直于x軸的截面，截得一直角三角形，其底長為y，高度為ytan，故其面積1S(x)-yytan212一ytan2122-(Rx)tan于是體積RVRS(x)dxR122R-tan(Rx)dxR22tan(Rx)dxR213R-tan(Rx-x)3R-R3tan3(2)旋轉體的體積類型1：求由連續(xù)曲線yf(x)，直線xa，xb及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成立體的體

8、積,軸的平面，截面是半徑為f(x)的圓，其面積為過任意一點xa，b作垂直于S(x)f2(x)，于是所求旋轉體的體積baS(x)dxb2af2(x)dx2一【例7】求由yx及x1，y0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成立體的體2一x，則體積5x11'/2.2.14,V(x)dxxdx00解積分變量X軸的變化區(qū)間為0,1,此處f(x)505【例8】連接坐標原點O及點P(h,r)的直線，直線xh及x軸圍成一個直角三角形求將它繞x軸旋轉一周而成的圓錐體的體積.解積分變量X的變化區(qū)間為0,h,此處y、.r一，f(x)為直線OP的方程y-x，于是體h2dxhx2dx02r2d及y軸所圍成的曲邊梯形

9、繞y軸旋轉rc,y類型2:求由連續(xù)曲線x(y),直線y一周而成的立體的體積(cd).過任意一點yc,d,作垂直于y軸的平面，截面是半徑為(y)的圓，其面積為S(y)2(y),于是所求旋轉體的體積ddVS(y)dy(y)dycc【例9】求由yx3,y8及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體的體積.解積分變量y的變化區(qū)間為0,8,此處x(y)*7.于是體積8V0(3y)dy8七°y3dy896053:5y2x【例10】求橢圓a土1分別繞x軸、y軸旋轉而成橢球體的體積.b解若橢圓繞x軸旋轉，積分變量yf(x),a2ax的變化區(qū)間為a,a,此處x2，于是體積aabl2Taa2x(b!

10、2ab2a,2a(ax2)dx2aax-3xa2Vx體積若橢圓繞y軸旋轉，積分變量y的變化區(qū)間為b,b，此處xVyb2b2b(by2)dyb2b2y13-y3a2b二、定積分在物理中的應用1.變力所做的功如果一個物體在恒力F的作用下，沿力F的方向移動距離s,則力F對物體所做的功是WFS.如果一個物體在變力F(x)的作用下作直線運動，不妨設其沿Ox軸運動，那么當物體由Ox軸上的點a移動到點b時，變力F(x)對物體所做的功是多少？我們仍采用微元法，所做的功W對區(qū)間a,b具有可加性.設變力F(x)是連續(xù)變化的，分割區(qū)間a，b，任取一小區(qū)間x，xdx，由F(x)的連續(xù)性，物體在dx這一小段路徑上移動時

11、，F(x)的變化很小，可近似看作不變的，則變力F(x)在小段路徑上所做的功可近似看作恒力做功問題，于是得到功的微元為dWF(x)dx將微元從a到b積分,得到整個區(qū)間上力所做的功bWaF(x)dx【例11】將彈簧一段固定，令一段連一個小球，放在光滑面上，點。為小球的平衡位置.若將小球從點O拉到點M(OMs)，求克服彈性力所做的功.解由物理學知道，彈性力的大小和彈簧伸長或壓縮的長度成正比，方向指向平衡位置。，即Fkx其中k是比例常數.若把小球從點O(x0)拉到點M(xs)，克服彈性力F，所用力f的大小與F相等，但方向相反，即fkx，它隨小球位置x的變化而變化.在x的變化區(qū)間0，s上任取一小段x，x

12、dx，則力f所做的功的微元dWkxdx于是功S.k2Wkxdxs02【例12】某空氣壓縮機，其活塞的面積為S，在等溫壓縮的過程中，活塞由X處壓縮到x2處，求壓縮機在這段壓縮過程中所消耗的功.解由物理學知道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強p與體積V的乘積為常數k，即pVk由已知，體積V是活塞面積S與任一點位置x的乘積，即VSx，因此于是氣體作用于活塞上的力活塞作用力f于是所求功kkpVSxkkFpSSSxxk，則力xf所做的功的微元dW-dxxX1-dxxxk|n二x25米，底圓半徑為3米，桶盛滿了水.試問要把桶的水全部klnx【例13】一圓柱形的貯水桶高為吸出需做多少功.解取深度x為積分變量，

13、則所求功W對區(qū)間任取一小區(qū)間x,xdx,則所對應的小薄層的質量將這一薄層水吸出桶外時，需提升的距離近似為dWx9dx0,5具有可加性.應用微元法，在0,5上32dx9dx.x,因此需做功的近似值，即功的微元為9xdx于是所求功xdx22598003.46106J33，225將9.8103N/m3,得W22.液體壓力現有面積為S的平板，水平置于密度為，深度為h的液體中，則平板一側所受的壓力FpShS(p為水深為h處的壓強值)若將平板垂直放于該液體中，對應不同的液體深度，壓強值也不同，那么平板所受壓力應如何求解呢？設平板邊緣曲線方程為yf(x)，(axb)，則所求壓力F對區(qū)間具有可加性，現用微元法

14、來求解.在a，b上任取一小區(qū)間x，xdx，其對應的小橫條上各點液面深度均近似看成x，且液體對它的壓力近似看成長為f(x)、寬為dx的小矩形所受的壓力，即壓力微元為dFxf(x)dx于是所求壓力bFxf(x)dxa【例14】有一底面半徑為1米，高為2米的圓柱形貯水桶，里面盛滿水.求水對桶壁的壓力解積分變量x的變化區(qū)間為0,2，在其上任取一小區(qū)間x，xdx，高為dx的小圓柱面所受壓力的近似值，即壓力微元為dFx21dx2xdx于是所求壓力為22xdx203_49.8103.92410N將9.8103N/m3代入F【例15】有一半徑R3米的圓形溢水洞，試求水位為3米時作用在閘板上的壓力.解如果水位為3米，積分變量x的變化區(qū)間為0,R,在其上任取一小區(qū)間x,xdx,所對應的小窄條上所受壓力近似值，即壓力微元dWx2ydxx2R2x2dx2xR2x2dx于是所求壓力R20xR2F!12022_2R323-R332