實(shí)數(shù)與向量的積一

1、課題：實(shí)數(shù)與向雖的積(一)教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義；2. 掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律；理解兩個(gè)向量共線的充要條件，能夠運(yùn)用共線條件判定兩向量是否平行教學(xué)重點(diǎn)：掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律、理解向量共線的充要條件教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量共線的充要條件的理解授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程：、復(fù)習(xí)引入:1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二個(gè)要素：大小、方向.2. 向量的表示方法：用有向線段表示；用字母a、b等表示；零向量、單位向量概念：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.平行向量定義：方向

2、相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.向量a、b、c平行，記作a/b/c.3. 相等向量定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.4. 共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.5. 向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。6. 向量加法的交換律：+=+7. 向量加法的結(jié)合律：(+)+=+(+)8. 向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：ab=a+(b)差向量的意義：=a,OB=b,貝UBA=aa的終點(diǎn)的向量。)+()即ab可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量二、講解新課：示例：已知非零向量，作出+和()+(OC

3、=OAABBC=+=3PN=PQQMMN=()+()+()=1. (1)3與方向相同且|3|=3|;(2)3與方向相反且|3|=3|實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量的積是一個(gè)向量，記作：入（DI入l=l入III（2）入0時(shí)入與方向相同；入0時(shí)入與方向相反；入=0時(shí)入=運(yùn)算定律結(jié)合律：入（片（入第一分配律：（入+（1手入+虐第二分配律：入（+）=入+入結(jié)合律證明：如果入=0,|F0,=至少有一個(gè)成立，則式成立如果入o,uo,有：|入（）|=|入IIHT入II切II1（入訓(xùn)=1入U(xiǎn)IIT入II沖II入（。1=1（入m-D如果入、p同號(hào)，貝U式兩端向量的方向都與同向；如果入、p異號(hào)，則式兩端向量的方向都

4、與反向。從而入（）=（入I）第一分配律證明：如果入=0,呻0,=至少有一個(gè)成立，則式顯然成立如果入0,0,當(dāng)入、（1同號(hào)時(shí)，貝U入和H同向，.1（入+訓(xùn)=|入4-411=（1入|+|4）11I入+悶入1+14=1入III+I訕1=（1入|+|聊.入、同號(hào)兩邊向量方向都與同向即|（入+。|戶|入+M當(dāng)入、（1異號(hào)，當(dāng)入H時(shí)兩邊向量的方向都與入同向；當(dāng)X時(shí)兩邊向量的方向都與同向，且1（入+（!|）=|入+叫.,式成立第二分配律證明：如果=,=中至少有一個(gè)成立，或X=0,入=1則式顯然成立當(dāng)，且入0,入1時(shí)（1）當(dāng)入0且入1時(shí)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=AB=OA1=入AB1=X則OB=+OBi=入

5、+入由作法知，AB/A1B1有OAB=OAiBi|AB|=入|A1B1|OA1|A1B1|=入.oabsOAiBi|OA|AB|A?|竺|=入AOB=AiOBi2. 因此，O,B,Bi在同一直線上，|O昌|=|入OB|OBi與入OB方向也相同入（+）=入+入當(dāng)入0時(shí)可類似證明：入（+）=入+入.式成立向量共線的充要條件若有向量（）、，實(shí)數(shù)入，使=入，則與為共線向量。若與共線（）且|：|=j則當(dāng)與同向時(shí)=區(qū)當(dāng)與反向時(shí)=卬從而得向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使=入。三、講解范例：例i若3m+2n=a,m3n=b，其中a,b是已知向量，求m,n.分析：此題可把已

6、知條件看作向量m、n的方程，通過(guò)方程組的求解獲得m、n.解：記3m+2n=am3n=bi 3X得3m9n=3b3-一礙iin=a3b.-n=abii32將代入有：m=b+3n=abiiii評(píng)述：在此題求解過(guò)程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例2凸四邊形ABC啪邊ADBC的中點(diǎn)分別為E、F,求證EF=】（AB+DC）.2解法一：構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決過(guò)點(diǎn)C在平面內(nèi)作CG=AB,貝U四邊形ABG虛平行四邊形，故F為AG中點(diǎn).£是左ADG勺中位線，.EF=1DG

7、,.EF=1DG.2 2而DG=DC+CG=DC+AB,EF=1(AB+DC).2解法二：創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間關(guān)系如圖，連EBEC,則有=+AB,EC=ED+DC,又E是AD之中點(diǎn)，.有+ED=0.即有+EC=AB+DC;以與EC為鄰邊作平行四邊形EBGC則由F是BC之中點(diǎn)，可得F也是EG之中點(diǎn).EF=EG=(+EC)=(AB+DC)222四、課堂練習(xí)：1. 錯(cuò)例分析判斷向量a=2e與b=2e是否共線?對(duì)此題，有同學(xué)解答如下：解：a=2e,b=2e,-b=a,，.a與b共線.分析：乍看上述解答，真是簡(jiǎn)單明快.然而，仔細(xì)研究題目已知，卻發(fā)現(xiàn)其解答存有問(wèn)題，這是因?yàn)?，原題已知中對(duì)向量e并無(wú)任

8、何限制，那么就應(yīng)允許e=0,而當(dāng)e=0時(shí)，顯然a=0,b=0,此時(shí)，a不符合定理中的條件，且使b=入a成立的入值也不惟一(如入=1,入=1,入=2等均可使b=入a成立)，故不能應(yīng)用定理來(lái)判斷它們是否共線.可見(jiàn)，對(duì)e=0的情況應(yīng)另法判斷才妥.綜上分析，此題應(yīng)解答如下：解：(1)當(dāng)e=0時(shí)，貝Ua=2e=0由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以，此時(shí)a與b共線.(2)當(dāng)e乒0時(shí)，貝Ua=2e乒0,b=2e乒0b=a(這時(shí)滿足定理中的a乒0,及有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入(入=一1),使得b=入a成立)-a與b共線.綜合、(2)可知，a與b共線.2. 用向量法解決幾何問(wèn)題向量是數(shù)學(xué)中重要

9、概念之一，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的得力工具，它簡(jiǎn)潔明快,許多幾何里的命題，如果用向量知識(shí)來(lái)解決就顯得格外簡(jiǎn)練1如圖，MN是ABC的中位線，求證：M吐一BC2且MN/BCAN=1AC,MN=AN2AB=1(AC-AB)=1BC.22證明：MN分別是ABAC邊上的中點(diǎn)，所以AM=1AB,2AM=1AC-122BC且MN/BC1因此，NM=-2五、小結(jié)：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的充要條件，并能在解題中加以運(yùn)用六、課后作業(yè)：.當(dāng)入EZ時(shí)，驗(yàn)證：入(+)=入+入證：當(dāng)入=0時(shí)，左邊=0?(+)=右邊=0?+0?=分配律成立當(dāng)入為正整數(shù)時(shí)，令入=

10、n,則有：n(+)=(+)+(+)+(+)=+-+=n+n即入為正整數(shù)時(shí)，分配律成立當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，令入=-n(n為正整數(shù))，有n(+)=nT+)=n()+()=n(-)+n(-)=-n+(-n)=-n-n分配律仍成立BbD綜上所述，當(dāng)入為整數(shù)時(shí)，入(+)=入+入恒成立。1 2.如圖，在ABC中，AB=,BC=,AD為邊BC的中線,GABC的重心，求向量AG解法一：.AB=,BC=則BD=-BC=12aD=aB+bD=+1而AG=2aD23-AG=2+13解法二：過(guò)G作BC的平行線，交AB、AC于E、FAE=2AB=2EF=2Bc=-EG=1EF=1323.AEFAABC,33-AG=AE+EG

11、=-+133.在QABCD中，設(shè)對(duì)角線AC=,BD=試用，表示AB,BC解法一：AO=OC=1BO=2BD=12-一11.AB=AO+OB=AO-BO=一2BC=BO+OC=OC+BO=1+2解二：設(shè)AB=,BC=y則AB+Bc=Ac，即+y=；A-AB=BD，即-y=-=1（-）,y=；（+）即AB=_（-）BC=（+）22lrII.*to-*3 .設(shè)e,e2是兩個(gè)不共線向量，已知AB=2e+ke2,=ei+3e2,I目CD=2ee2,若三點(diǎn)A,B,D共線，求k的值。-FP-»*射解：BD=CD=（2ei-e2）-（e+3僉）=e-4僉a,b,d共線AB,BD共線.存在入使AB=入Bd一一一一"2=九即2e+ke2=入