對數(shù)相關(guān)公式

1、對數(shù)相關(guān)知識(shí)概述：對數(shù)是高中代數(shù)中一塊重要內(nèi)容，主要考察對數(shù)函數(shù)以及與對數(shù)相關(guān)的運(yùn)算等(包括各種公式),在此總結(jié)如下：定義：對數(shù)源出丁指數(shù)a'=Nux=logaN,a0且a#1,N>0常用對數(shù)：lgN=log10N;自然對數(shù)：lnN=logeN,e=2.718281828459川一.代數(shù)基本關(guān)系式.(基礎(chǔ))把指數(shù)式代入對數(shù)式消去N,得到(F1)logaax=x,a>0且a#1,x亡R說明：x_史*四Hta'_空*竺4tlogaax=x特別地，對應(yīng)x=0和x=1的情況，有(F1.1)loga1=0,a0且a#1*(F1.2)logaa=1,a>0且a"

2、1把對數(shù)式代入指數(shù)式消去x,得到(F2)真數(shù)還原：a"gaN=N,a0且a#1,Na0說明：N住舉竺絲空tlogn史擋釁竺IEta"N應(yīng)用舉例：1 例1:求值(E1)log32256;(E2)27log32;(E3)27log92。1解：(E1)log32=log25256-_85-582=log252=5(E2)27log32=(33筍23-=33iog32=3log32=23=8(E3)為了底數(shù)變?yōu)橄嗤?，先分?7與9的關(guān)系,3327=33=(32亍=9,所以27廚92/3x)og9292LJ33=9log922=2；=2、2sr注：需要使用的指數(shù)包等式：ar=ars=

3、asr=as,a芝0。做這一類題的關(guān)鍵然后應(yīng)用公式。；(Q5)3在丁關(guān)注底數(shù)是否相同，底數(shù)不同的想辦法化成同底數(shù)，(Q3)log±243;(Q4)2log2527自己動(dòng)手：(Q1)log749;(Q2)log18;22log35-3o(F3)MlogaN=NlogaM,a>0且a#1,證明：因?yàn)閍10''.'0'/=(a"gaM片N=M廚次同理a'OgaN'OgaM_(a'°gaNJ09a_N'0gaM上面兩式的左邊底數(shù)相同，指數(shù)的相等由乘法交換律保證著，所以MlOgaN二對09'1&q

4、uot;。應(yīng)用舉例：例1:(E2)27l0g32;(E3)27l0g92解：用(F3)重新做:2_33l0g92Ol0g927=2(E2)27l0g32=2l0g327=23=8;(E3)27l0g92=2l0g927=z"9*?】=2=2扼。注：F3)可以方便計(jì)算這一類題，在做選擇填空上可以快一點(diǎn)點(diǎn)。自己動(dòng)手：(Q6)I;(Q7)8l0g3227。25二.積的對數(shù)、商的對數(shù)、籍的對數(shù)。(重點(diǎn))*(F4)logaMN=logaM+logaN,a>0且a#1,M,N0證法一：令M=am,N=an，那么m=l0gaM,n=l0gaN,所以logaMN=logaaman=logaam

5、n=mn=logaMlogaN。證法二：logaMN=loga(alogaMalogaN)=loga(alogaM*gaN)=logaM+logaN證法一首先引入了輔助的m,n，最后求得結(jié)果后換回M,N。證法二是不引入輔助量而是利用了(F2)和(F1)。兩種方法基本步驟一樣，沒有本質(zhì)區(qū)別。(F4.1)擴(kuò)展到多個(gè)數(shù)的積的情況：a0且a=1,Ni,險(xiǎn),111,Nk>0log,NNIIlNkEogaMlog.叫IIITog.N(F5)logaM=logaM-logaN,a0且a#1,M,N0N(F6)logaMn=nlogaM,a0且a#1,M0,仲R證法一：令M=am，那么m=logaM,所

6、以logaMn=loga”amS=logaamn=mn=nlogaM。證法二：logaMn=logalogaMnnlogaMa)，=loga(a)=nlogaM。應(yīng)用舉例：例2:求值：(E8)瞻也；(E9)叫72一3阿2;(E1。)g一2峪；+町7心8;(E11)lg2lg50lg25;解：(E8)lg2+lg5=lg(25)=lg10=1;(E9)log372-3log32=log372log32=log3722%=log39=2；/LS、,c,7,，“，LI子“/.-(E10)log5142log5+log57log518=log514乂一(x7x18|=log51=03L注：把所有減法做

7、成加法，把所有除法做成乘法。(E11)lg2lg50lg25=lg2lg252lg25=lg2lg22lg5lg25=lg22+2lg2lg5+lg25=(lg2+lg5)2=1例3:(E12)已知loga18=m,loga24=n,a>0且a=1,求loga1.5。分析：質(zhì)因數(shù)分解：18=2尺32,24=2、3，而1.5=23，它們都由以2或3為底的籍所“組成”。注意這里要解一元二次方程組。解：因?yàn)閘oga18=loga2+2loga3=m(1)2 同理loga24=3loga2+loga3=n(2)從上面兩式解出loga2和loga3(m和n是已知量，把loga2和loga3看作未知

8、量)13 (2)乂2-(1)：5loga2=2nmnloga2=n-一m551(1)x3-(2):5loga3=3mnnloga3=mn55所以loga1.5=loga3Toga2=m-3n55自己動(dòng)手：1.2_._(Q82log510+log50.25;(Q9lgTg25;(Q10lg2+lg5lg20;4(Q11)lg25+2lg2lg22;(Q12已知lg2=a,lg3=b,lg7=c,求下列各式的值：5(Q12.1)lg105;(Q12.2)lg75;(Q12.3)lg2.8;(Q12.4)lg5。6三：對數(shù)式連鎖。(這個(gè)包等式比較難，有興趣的同學(xué)可以看一下)一c.、，3VY(F7)l

9、og"log"=log/,a,脆(0,1偵1,e),Y>0。(類比：-x=-)rCLPCL證明：記n=loggY，應(yīng)用(F6)與(F2),有l(wèi)ogaElogpV=nloga=109小阡Toga”邛')=log/0(F7.1)擴(kuò)展應(yīng)用：ct0,ot，,ctn*(0,1)U(1,危),孔。log.0:1log、：2川log：n£：nlog：n=log：。：na9an1anan類比：_LW川L二二：0:1:n/:n：0應(yīng)用舉例：例4：(E13)logablogbclogca;(E14)log23loga40解：由(F7.1)：(E13)logablogbC

10、logca=logaa=1,a,b,c(0,1U(1,危)。(E14)log23log34=log24=2自己動(dòng)手：（Q13log54log43log32log25;（Q14log45log56log67log780四：換底公式。（既是重點(diǎn)乂是難點(diǎn)）前面的包等式的變換（F1F6）都沒有觸及底數(shù)，對數(shù)的運(yùn)算大多要求底數(shù)相同，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)，對底數(shù)進(jìn)行變換令其變?yōu)橄嗤浅１匾?，所以換底公式是為了在運(yùn)算中統(tǒng)一底數(shù)，降低運(yùn)算難度而出現(xiàn)的。*(F8)logabuJ,a,c”0,1yj(1,E),b0。(類比：b=蛭)logcaaa/c證法一:證法二:注意到,的形式,由(F7)得logcaxlogab=lo

11、gcb,艮(Jlogab=logcb。logcaB一淫1Plogalog(=log|(c尸=令a=c°,b=c',那么a=logca"=logcb，所以logcb0logca換底公式從左到右的應(yīng)用過程中，底數(shù)由a變?yōu)閏,右邊成為對數(shù)的商其中c可以在（0,1義（1,危）范圍內(nèi)根據(jù)實(shí)際情況任意選取。只需對c取些特殊值，便可得到換底公式一些常用形態(tài)。(F8.1)取c=10,logab=B;lga(F8.2)取c=e,logab=lnb;Ina(F8.3)取c=b,logab=，即logabJogba=1,底數(shù)與真數(shù)互換之后的對數(shù)式與原對數(shù)式互為倒數(shù)；*（F8.4）logM

12、s=SlogaM,a>0且a#1,Ma0,r#0,sRar證明：用換底公式（F8），把底數(shù)換成a，得到logrMs=logaM，再應(yīng)用（F6）logaa與（F1），有SlogaM，結(jié)合起來便得到（F8.4）。logaar包等式（F8.4）是包等式（F6）的增強(qiáng)版本。（F8.5）對數(shù)式中，底數(shù)和真數(shù)同時(shí)進(jìn)行同指數(shù)乘方（該指數(shù)非零），對數(shù)式的值不變。logaM=loganMn,a0且a#1,M0,n#0這樣底數(shù)a可以換成與之關(guān)系比較密切的an,例如log23可以“擴(kuò)充”成為log49,也可以“收縮”成為log,2右，也可以“倒轉(zhuǎn)”成為log1視乎需要使用。（F8.6）多個(gè)對數(shù)式連乘積中，將所

13、有真數(shù)以任意順序重排，將所有底數(shù)以任意順序重排，得到新的對數(shù)式連乘積的值與原式相等。這個(gè)公式寫出來比較麻煩，下面用例子說明：如log34log56log78log910真數(shù)是：4,6,8,10，底數(shù)是：3,5,7,9，我們把真數(shù)隨意重排：6,10,8,4,底數(shù)重排后：7,5,3,9，新的對數(shù)式log76log510log38log94lg4lg6lg8lg10log34log56log78log910=lg3lg5lg7lg9lg6lg10lg8lg4log76log50log38log94=lg7lg5lg3lg9觀察上面兩式右邊，分子和分母分別都只是順序不同而已，乘法交換律保證了兩對數(shù)式連

14、乘積的相等。log34log56log78log910=log?6log510log38log94應(yīng)用舉例：1一1一1例5:（E15）log225log38log59；（E16）（log43+log83Xlog32+log92）。.1.111lg25lg8lglog2log3Tog5=2582589lg2lg3lg5解：（E15）對數(shù)式的連乘，與對數(shù)式連鎖有點(diǎn)相似，但稍微復(fù)雜，應(yīng)用換底公式1lg18g9-2lg5-3lg2-2lg3x.乂=12lg2lg3lg5另外，應(yīng)用（F8.6），保持真數(shù)順序不變，底數(shù)2,3,5重排為：5,2,3,有,1,1,1,1,1,1log2log3logs=log

15、5log2log3=-2-3-2-1225892589(E16)括號(hào)之內(nèi)底數(shù)不同，不能直接相加，全部換成常用對數(shù)log43log83log32log2=Ylg2十lg2)(1l1(2lg23lg2人誨*瓦3/Llg3lg3-ilg311lg25I23lg2.2lg34例6:(E17)已知log23=a,log37=b，試用a,b表示log4256;(E18)已知log32=a,log52=b，試用a,b表示log3090。解：（E17）解法一：全部換成常用對數(shù),八lg3一，a=log23=hlg3=alg2,b=log3lg27="7=lg7=blg3=lg7=ablg2lg3(這樣

16、lg3,lg7都可以用a,b,lg2表出,代入后便可以達(dá)到消元的B的）log4256”-3lg2ablg23ablg42一lg2lg3lg7一lg2alg2ablg2一1aab解法二：事實(shí)上，如果把底數(shù)統(tǒng)一換成2或3的話，log23=a,log37=b兩個(gè)式子中有一個(gè)不用變換底數(shù)，會(huì)比較方便，這里以3為例11a=log23=log32=log32a1一一一一一一一3blog4256=jg6=3log32國7slog32log33log3711.balog3423ab1aab（E18）題目條件給出的是log32=a,log52=b，一般來說，把底數(shù)換成2,3或5都可以使問題簡化，這里以2為例（事

17、實(shí)上，把底數(shù)換成3或5運(yùn)算量更少）。1111a=log32=nlog23=-，b=log52=nlog25=-logao90log290log230log222log23log25log22log23log25a2bababab(或log3°90=1log3°3=11log22log23log2511ab=1babab注：這里解題關(guān)鍵是注意觀察，熟悉質(zhì)因數(shù)分解和對數(shù)運(yùn)算包等式，以及選取適當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底。111例7:(E19)已知正數(shù)x,y,z滿足：3x=4y=6z，求證：上=；zx2y(E20)已知logaX=2,logbX=3,logcX=6,求logabcx的值。(E

18、19)證明：弓I入設(shè)而不求的未知數(shù)，令3x=4y=6z=t,那么x=log3t,y=log4t,z=log6t(觀察上面三式，真數(shù)相同而底數(shù)不同，所以把底數(shù)統(tǒng)一換成t將會(huì)方便運(yùn)算)利用(F8.3),可得111logt3=,logt4=y,logt6=;111.1所以-=logt6-logt3=logt2logt4=zx22y1c=6r4=1"T-T2361 (E20)把底數(shù)統(tǒng)一換成x,由(F8.3)得.1.logxa=,logxb=,log3logabcx=logxabclogxalogxblogxc11注：把出現(xiàn)頻率較高的量作為底數(shù)是十分有效的。自己動(dòng)手：(Q15log89log32;(Q1日(log2125+log425+log85；(log52+log254+log1258);(Q1刁例6(E170中通過把底數(shù)換成2求解；(Q18設(shè)log189=a,log518=b，試用a,b表示log3645;11.(Q19設(shè)3x=5y=75,求'的值2xy附錄1.乘方表k0123456789102k124816326412825651210242112141