重力勢(shì)能和機(jī)械能守恒定律

1、“重力勢(shì)能和機(jī)械能守恒定律”的典型例題【例1】如圖所示，桌面距地面0.8m, 物體質(zhì)量為2kg，放在距桌面0.4m的 支架上.（1）以地面為零勢(shì)能位置，計(jì)算物體具有的勢(shì)能，并計(jì)算物體由支架下落到桌 面過程中，勢(shì)能減少多少？（2）以桌面為零勢(shì)能位置時(shí)，計(jì)算物體具有的勢(shì)能，并計(jì)算物體由支架下落到 桌面過程中勢(shì)能減少多少？【分析】根據(jù)物體相對(duì)零勢(shì)能位置的高度，直接應(yīng)用公式計(jì)算即得.【解】（1）以地面為零勢(shì)能位置，物體的高度 h1=1.2m，因而物體的重力勢(shì)能:Ep仁mgh1=2X 9. 8X 1. 2J=23. 52J物體落至桌面時(shí)重力勢(shì)能：Ep2=mgh2=2X 9. 8X 0. 8J=15. 6

2、8J物體重力勢(shì)能的減少量： Ep=Ep1-Ep2=23. 52J-15. 68J=7. 84J（2）以桌面為零勢(shì)能位置.物休距零勢(shì)能位置的高度M =0.4ia因而物體的重力勢(shì)能：物體落至桌面時(shí)，重力勢(shì)能的減少量【說明】通過上面的計(jì)算，可以看出，物體的重力勢(shì)能的大小是相對(duì)的，其數(shù)值 與零勢(shì)能位置的選擇有.而重力勢(shì)能的變化是絕對(duì)的，它與零勢(shì)能位置的選擇無 關(guān)，其變化值是與重力對(duì)物體做功的多少有關(guān). 當(dāng)物體從支架落到桌面時(shí)重力做 功：【例2】質(zhì)量為2kg的物體自高為100m處以5m/s的速度豎直落下，不計(jì)空氣 阻力，下落2s，物體動(dòng)能增加多少？重力勢(shì)能減少多少？以地面為重力勢(shì)能零 位置，此時(shí)物體的機(jī)

3、械能為多少？（ g取10m/s2）【分析】物體下落時(shí)，只受重力作用，其加速度 a=g,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式算出2s末 的速度和2s下落高度，即可由定義式算出動(dòng)能和勢(shì)能.【解】物體下落至2s末時(shí)的速度為：2s物體增加的動(dòng)能:2s下落的高度為：h = uOt + | 2 =5X2m + 2 X1°X4m = 30m重力勢(shì)能的減少量：此時(shí)物體離地面的高度為：h' =H h= (100-30) m=70m以地面為零勢(shì)能位置時(shí)，物體的機(jī)械能為：【說明】拋出后，由于物體只受重力作用，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，物體 的機(jī)械能守恒.剛拋出時(shí)，物體的機(jī)械能為：Eo 二mgH十gmv： =2X10X1

4、0QJ + l X 2X52J在下落過程中，重力勢(shì)能的減少量恰等于動(dòng)能的增加量，即 Ek= Ep【例3】質(zhì)量為1.0kg的物體，自空中落下，以8.0m/s2的加速度經(jīng)A點(diǎn)到達(dá)B 點(diǎn)，A、B相距0.75m.若物體在B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為8.0J,那么通過AB的過程中 物體動(dòng)能的增加量為多少？物體克服阻力做多少功？(取g=10m/s2)【分析】由于下落的加速度avg,在下落時(shí)一定受到阻力，根據(jù)牛頓第二定律， 可算出阻力，于是即可得克服阻力的功.已知物體在B點(diǎn)的動(dòng)能，可算出在B點(diǎn)的速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式算出 A點(diǎn)的速度后，即可算出動(dòng)能的增量.【解】設(shè)下落中物體受到的阻力為f,由mg f=ma得 f=mg-ma

5、=1.0(10-8)N=2N物體克服阻力做功:所臥E=2J物體從A落到B的過程中，動(dòng)能的增加量為: Ep=EkB EkA=8.0J 2.0J=6.0J【說明】物體從A落到B的過程中，勢(shì)能減少： Ep=mgs=1 x 10X 0.75J=7.5J它大于物體動(dòng)能的增加，可見其機(jī)械能不守恒.這是由于存在阻力的緣故.勢(shì)能 的減少與動(dòng)能增加量之差恰等于物體克服阻力做的功，即 Ep Ek=Wf這也就是從A到B的過程中所減少的機(jī)械能.【例4】如圖所示，光滑圓管形軌道 AB部分平直，BC部分是處于豎直平面半 徑為R的半圓，圓管截面半徑rR,有一質(zhì)量m,半徑比r略小的光滑小球以 水平初速v0射入圓管，（1）若要

6、小球能從C端出來，初速v0多大？ （2）在 小球從C端出來的瞬間，對(duì)管壁壓力有哪幾種典型情況，初速v0各應(yīng)滿足什么條件？【分析】小球在管運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，要求小球能從C端射出，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度vc>0根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可算出初速 v0 小 球從C端射出時(shí)可能有三種典型情況：剛好對(duì)管壁無壓力；對(duì)下管壁有壓 力；對(duì)上管壁有壓力.同理由機(jī)械能守恒可確定需滿足的條件.【解】（1）小球從A端射入后，如果剛好能到達(dá)管頂，貝U vc=0，由機(jī)械能守恒因此，要求小球能從C端出來，必須使vc>0,所以入射速度應(yīng)滿足條件（2）小球從C端出來的瞬間，可以有三種典型情況： 剛好對(duì)

7、管壁無壓力，此時(shí)需滿足條件聯(lián)立得入射速度 對(duì)下管壁有壓力，此時(shí)相應(yīng)的入射速度為 對(duì)上管壁有壓力，相應(yīng)的入射速度為【例5】如圖所示，勁度系數(shù)k1的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為 ml、m2的物塊1、 2栓接，勁度系數(shù)為k2的輕質(zhì)彈簧上端與物塊2栓接，下端壓在桌面（不栓接）， 整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)施力將物塊1緩慢豎直上提，直到下面那個(gè)彈簧的下 端剛脫離桌面.在此過程中，物塊2的重力勢(shì)能增加了 ，物塊1的重力勢(shì)能增加了【分析】設(shè)原來兩彈簧壓縮量分別為x1和x2,由物體的力平衡知當(dāng)施力將物塊1緩慢上提至下面彈簧剛脫離桌面時(shí)，表示下面的彈簧已恢復(fù)原 長(zhǎng)，物塊2升高的高度h2=x2,所以在此過程中，物塊2的

8、重力勢(shì)能增加此時(shí)，上面的彈簧受到拉伸，設(shè)其伸長(zhǎng)量為 x'1,由物塊2的力平衡條件知，則物塊1在這過程中升高的高度為r,f 血諂,（呵+叫）皿靑11】=勺+牝+叫+ +=呵十叫）卜右b所以，物塊1的重力勢(shì)能增加14-【答】必310 mi （叫十叫）fc2禹幻丿-Ejj1 =尬1妙1 =血1mi +1112)【例6】關(guān)于機(jī)械能是否守恒的敘述，正確的是A 作勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體的機(jī)械能一定守恒B 作勻變速運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能可能守恒C. 外力對(duì)物體做功為零時(shí)，機(jī)械能一定守恒D. 只有重力對(duì)物體做功，物體機(jī)械能一定守恒【分析】機(jī)械能守恒的條件是除重力對(duì)物體做功外，沒有其它外力對(duì)物體做功， 或其它外力

9、對(duì)物體做功的代數(shù)和等于零.當(dāng)物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，除重力對(duì)物體做功外，可能還有其他外力做功.如降 落傘在空中勻速下降時(shí)，既有重力做功，又有阻力做功，機(jī)械能不守恒.物體作勻變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能只有重力對(duì)物體做功，如自由落體運(yùn)動(dòng)，此時(shí)物體的 機(jī)械能守恒.因物體所受的外力，指的是包括重力在的所有外力，當(dāng)外力對(duì)物體做功為零時(shí)， 可能是處于有介質(zhì)阻力的狀態(tài)，如勻速下降的降落傘，所以機(jī)械能不一定守恒.【答】B，D .【例7】某人以v0=4m/s的初速度，拋出一個(gè)質(zhì)量為 m的小球，測(cè)得小球落地 時(shí)的速度大小為8m/s,貝U小球剛拋出時(shí)離開地面的高度為多少？取 g=10m/ s2.空氣阻力不計(jì).【分析】小球從拋出

10、到落地過程中，不受阻力，只有重力做功，由小球的機(jī)械能 守恒即可算出離地高度.【解答】設(shè)小球拋出時(shí)的高度為h，落地速度為vt，取拋出和落地為始、末兩狀 態(tài)，以地面為零勢(shì)能位置，由機(jī)械能守恒定律得：1 2 2 mgh+-mv0t-o 【說明】有些同學(xué)直接根據(jù)勻加速運(yùn)動(dòng)的公式尿-品=2詔尋 出結(jié)果，盡管答案相同，但是不正確的這里的小球不一定作直線運(yùn)動(dòng)，必須根 據(jù)機(jī)械能守恒求解.【例8】如圖所示，以速度v0=12m/s沿光滑地面滑行的小球，上升到頂部水平 的跳板上后由跳板飛出，當(dāng)跳板高度h多大時(shí)，小球飛行的距離s最大？這個(gè)距 離是多少？ ( g=10m/s2)【分析】小球上滑到跳板頂端的過程中，只有重

11、力做功，機(jī)械能守恒從跳板頂 飛出，小球作平拋運(yùn)動(dòng).【解】設(shè)小球從跳板頂飛出的速度為v,由機(jī)械能守恒(取底部為勢(shì)能的參考平 面)得小球從頂端飛出后作平拋運(yùn)動(dòng)，其水平位移為為了找出使水平位移s最大的條件，對(duì)上式作變換得可見，當(dāng)滿足條件小球飛出后的水平距離最大，其值為【例9】圖中圓弧軌道AB是在豎直平面的1/4圓周，在B點(diǎn)，軌道的切線是水 平的一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)從靜止開始下滑，不計(jì)滑塊與軌道間的摩擦和空氣阻力， 則在質(zhì)點(diǎn)剛要到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的加速度大小和剛滑過 B點(diǎn)時(shí)的加速度大小分別為()A 0，g B g，g C. 2g，g D. 2g，2g【分析】質(zhì)點(diǎn)從A到B的下滑過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒.取過B點(diǎn)

12、的水平面為零勢(shì)能面，設(shè)軌道半徑為 R，則有質(zhì)點(diǎn)從A到B是作變速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它剛到達(dá) B點(diǎn)瞬間的加速度為紐B二罟-聯(lián)立（1），（ 2）兩式得質(zhì)點(diǎn)剛滑過B點(diǎn)，僅受重力作用，其加速度大小為【答】C.【說明】必須注意，物體的加速度跟所受外力是一個(gè)瞬時(shí)關(guān)系，一旦外力變化，加速度隨即變化.圖中質(zhì)點(diǎn)剛到達(dá) B點(diǎn)時(shí)，受到軌道向上的彈力和豎直向下的 重力作用，產(chǎn)生的加速度指向過 B點(diǎn)豎直向上的方向，即指向圓心.岡寸滑過 B 點(diǎn)，軌道支持力為零，僅受重力作用，產(chǎn)生的加速度豎直向下.物體的速度則由于慣性，力圖保持不變，圖中質(zhì)點(diǎn)在剛到達(dá)B點(diǎn)和剛滑出B點(diǎn)的速度大小均為陀=律云方向沿術(shù)平向右門【例10】如圖1所示，ABC

13、和AD是兩上高度相等的光滑斜面，ABC由傾角不 同的兩部分組成，且AB+BC=AD，兩個(gè)相同的小球a、b從A點(diǎn)分別沿兩側(cè)斜 面由靜止滑下，不計(jì)轉(zhuǎn)折處的能量損失，則滑到底部的先后次序是A. a球先到B. b球先到C.兩球同時(shí)到達(dá)D .無法判斷【分析】小球沿兩斜面下滑過程中，都只有小球的重力做功，機(jī)械能守恒，因此, a、b兩球滑到底端的速度大小一定相等，即 vC=vD .在AD斜面上取AB ' =AB （圖2）,由于AB部分比AB '部分陡些，小球滑到因此，兩球在AB與AB '段、BC與B ' D段上的平均速度的大小必然是由于對(duì)應(yīng)的斜面長(zhǎng)度AB=AB BC=B

14、9; D .所以通過它們的時(shí)間長(zhǎng)短必然是tAB v tABtBC v tB ' D .也就是說,沿 ABC 斜面的小球先滑到底部.【答】A.【說明】 本題還可以畫出 v-t 圖作出更簡(jiǎn)捷的判斷.如圖 3 所示,為沿 ABC 和AD下滑小球a b的v-t圖.由于AB+BC=AD ,則圖線下方與t軸間的面積應(yīng)相 等,也就是圖中劃有斜線的兩部分面積相等, 顯然,兩球運(yùn)動(dòng)時(shí)間必然是 tavtb.圖3【例 11】如圖 1,一個(gè)質(zhì)量為 m 的小球拴在全長(zhǎng) L 的細(xì)線上做成一個(gè)單擺,把 小球從平衡位置0拉至A，使細(xì)線與豎直方向成9角，然后輕輕釋放.若在懸 點(diǎn)0'的正下方有一顆釘子P,試討論，

15、釘子在何處時(shí)，（1）可使小球繞釘來回?cái)[動(dòng)；（2）可使小球繞釘做圓周運(yùn)動(dòng).【分析】 小球擺動(dòng)過程中， 只有小球的重力做功. 當(dāng)不考慮細(xì)線碰釘時(shí)的能量損 失時(shí)，無論小球繞釘來回?cái)[動(dòng)，或繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)，小球的機(jī)械能都守恒.【解】 （1）小球繞釘來回?cái)[動(dòng)時(shí)，只能擺到跟開始位置 A 等高的地方，因此， 釘子P的位置圍只能在過A點(diǎn)的水平線與豎直線 00'的交點(diǎn)上方（圖2）,即 釘子離懸點(diǎn)0'的距離h應(yīng)滿足條件OW h< Leos 9.（2）設(shè)釘子在位置P'時(shí)剛好使小球能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)， 圓半徑R=P' 0,設(shè)小 球在最高點(diǎn)C的速度為vc,并規(guī)定最低處0為重力勢(shì)能的零位

16、置（圖3）,由 A、C兩位置時(shí)的機(jī)械能守恒 EA=EC ,即AmgL (1 - cos © ) = -mvc +mg * 2R.又因?yàn)閯偤媚茉竭^C點(diǎn)做圓運(yùn)動(dòng)，此時(shí)繩中的力為零，由重力提供向心力，即9聯(lián)立、3）兩式得R=-|L （l-coSe）.所以釘子P'離懸點(diǎn)0'的距離如果釘子位置從P'處繼續(xù)下移，則小球?qū)⒁愿蟮乃俣仍竭^圓周的最高點(diǎn)，此 時(shí)可由繩子的力補(bǔ)充在最高點(diǎn)時(shí)所需的向心力，仍能繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)所以， 能繞釘做圓運(yùn)動(dòng)時(shí)釘子離懸點(diǎn)的距離 h應(yīng)滿足條件【說明】由本題的解答可知，位置p是小球能繞釘來回?cái)[動(dòng)的最紙位置；位置p' 是小球能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)的

17、最高位置如釘子在 pp'之間，則懸線碰釘后，先 繞釘做圓運(yùn)動(dòng)，然后將在某一位置上轉(zhuǎn)化為斜拋運(yùn)動(dòng).【例12】一壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面，環(huán)的半徑為R （比細(xì)管的半徑大得多）在圓管中有兩個(gè)直徑比細(xì)管徑略小的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）.A球的質(zhì)量為ml, B球的質(zhì)量為m2它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速 度都為vO設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用 于圓管的合力為零，那么 ml, m2, R與vO應(yīng)滿足的關(guān)系式是 .【分析】A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，由外壁對(duì)它產(chǎn)生的彈力NA和A球重力mlg的合力作為向心力，即得 =111! -htrng.1）A球?qū)ν獗诋a(chǎn)生的壓力

18、NA '大小等于NA，方向沿半徑背離圓心（圖1）. 要求對(duì)圓管的合力為零，B球在最高點(diǎn)時(shí)也必須對(duì)外壁（不可能是壁）產(chǎn)生一個(gè) 等量的壓力NB '.因此，B球在最高點(diǎn)有向外壁擠壓的作用，由外壁對(duì)它產(chǎn)生 的彈力NB和球重m2g的合力作為向心力（圖2）.設(shè)B球在最高點(diǎn)的速度為 vB,據(jù)向心力公式和機(jī)械能守恒有揖 VT- °理廣八侍 KTp二田2 p_血2務(wù)根據(jù)題意NA ' =NB '，即要求一 mJ(nil) g- 0.2vnRg = 0.【例13】如圖所示，半徑為r,質(zhì)量不計(jì)的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一 個(gè)垂直盤面的光滑水平固定軸 0，在盤的最右邊緣固

19、定有一個(gè)質(zhì)量為 m的小球 A，在0點(diǎn)的正下方離0點(diǎn)r/2處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B 放開盤讓其 自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問：（1）當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球的重力勢(shì)能之和減少了多少？（2）A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多少？（3）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑0A向左偏離豎直方向的最大角度是多少？【分析】?jī)尚∏騽?shì)能之和的減少，可選取任意參考平面（零勢(shì)能位置）進(jìn)行計(jì)算.由 于圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，只有兩個(gè)小球重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒即可列式算出A球的線速度和半徑0A最大偏角.【解】（1）以通過0的水平面為零勢(shì)能位置，開始時(shí)和 A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)兩球 重力勢(shì)能之和分別為兩球重力勢(shì)能之和減少巨F 7 =EFl-EpC =-11叱4一昭)

20、r二昨.(2) 由于圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，只有兩球重力做功、機(jī)械能守恒，因此，兩球重力 勢(shì)能之和的減少一定等于兩球動(dòng)能的增加設(shè) A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，A、B兩球的 速度分別為vA、vB，貝U因A、B兩球固定在同一個(gè)圓盤上，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的角速度(設(shè)為 3)相同.由得 vA=2vB .代入公式，得(3) 設(shè)半徑0A向左偏離豎直線的最大角度為 9如圖，該位置的機(jī)械能和開始 時(shí)機(jī)械能分別為由機(jī)械能守恒定律E仁E3,即即 2cos9 =1+sin 9.兩邊平方得4 (1 si n2 9) =1+si n2 9 +2si n9，5si n2 9 +2s in 9 3=0，即血e二土乎互負(fù)根舍去【例14】一個(gè)質(zhì)量為m的

21、木塊，從半徑為R、質(zhì)量為M的1/4光滑圓槽頂端由 靜止滑下，在槽被固定和可沿著光滑平面自由滑動(dòng)兩情況下， 如圖，木塊從槽口 滑出時(shí)的速度大小之比為【分析】槽固定時(shí)，木塊下滑過程中只能有重力做功，木塊的機(jī)械能守恒，木塊 在最高處的勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為滑出槽口時(shí)的動(dòng)能由得木塊滑出槽口的速度槽可動(dòng)時(shí)， 當(dāng)木塊開始下滑到脫離槽口的過程中， 對(duì)木塊和槽所組成的系統(tǒng)， 水 平方向不受外力，水平方向的動(dòng)量守恒設(shè)木塊滑出槽口時(shí)的速度為v2，槽的速度為u,則mv2+Mu=0又木塊下滑時(shí)只有重力做功， 機(jī)械能守恒， 木塊在最高處的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為木塊滑出 槽口時(shí)的動(dòng)能和圓槽的動(dòng)能，即聯(lián)立兩式得木塊滑出槽口的速度因此，兩情況下

22、滑出槽口的速度之比【答】D 【 例 15】如圖， 長(zhǎng)為 L 的光滑平臺(tái)固定在地面上， 平臺(tái)中央有兩小物體 A 和 B， 彼此接觸靠在一起，A的上表面有一半徑為R ( RL)、頂端距臺(tái)面高h(yuǎn)的圓槽, 槽頂有一小物體C, A、B、C三者質(zhì)量均為m,現(xiàn)使物體C由靜止沿圓槽下滑， 且運(yùn)動(dòng)過程中它始終與圓槽接觸，求1. A和B剛分離時(shí)，B的速度；2. A和B分離后，C能達(dá)到距平臺(tái)的最大高度.【分析】 物體 C 下滑時(shí)， C 對(duì) A 作用力的水平分力向右，推動(dòng) A、 B 一起向右 加速運(yùn)動(dòng)當(dāng)C滑至圓槽底部時(shí)，C對(duì)A作用力的水平分力為零，A、B兩者向右的加速過程結(jié)束，速度達(dá)到最大以后，C將沿圓槽上滑，C對(duì)A

23、作用力的水 平分力向左，A將開始做減速運(yùn)動(dòng)，而B則沿平臺(tái)勻速向右因此，C滑至圓槽 底部的時(shí)刻就是A、B即將分離的時(shí)刻.把A、B、C三個(gè)物體組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，C下滑過程中，系統(tǒng)在水平方 向不受外力，動(dòng)量守恒同時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)無重力和彈力以外的力作功，機(jī)械能守 恒聯(lián)合應(yīng)用這兩條守恒定律，即可得解.【解】規(guī)定以水平向右為正方向，由 C剛開始滑下和C滑至圓槽底部?jī)蓵r(shí)刻的 動(dòng)量守恒，O=mvA+mvB mvC.（1）又由于整個(gè)系統(tǒng)無重力和彈力以外的力作功，機(jī)械能守恒，當(dāng)取槽底為零勢(shì)能位 置時(shí)，1 2 1 2 2vA=vB .(1)、（3）兩式，得vC=2vB，代入（2）式，即得2. C沿圓槽上滑，至某

24、一最高點(diǎn)時(shí)，A、C兩者無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)共同速度為v,其方向?yàn)樗较蜃?，仍?A+B+C為研究對(duì)象，由C剛開始滑下至C、A兩者相對(duì)靜止兩時(shí)刻動(dòng)量守恒（此時(shí) B以速度vB沿平臺(tái)勻速右滑），則O=mvB 2mv.（4）又由整個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，當(dāng)取平臺(tái)為零勢(shì)能位置時(shí)，則（式中E為C滑至最高點(diǎn)吋距臺(tái)面高度）,由（4）式得2卜mgh =mgH.把它與上面解得的= 一起代入式,得【說明】確定A、B兩物體何時(shí)分離，是解答前半題的關(guān)鍵，此外在應(yīng)用動(dòng)量守 恒定律時(shí)，可始終以A+B+C為研究對(duì)象，其初動(dòng)量恒為零，列式較為簡(jiǎn)單.【例16】在光滑的水平面上有運(yùn)動(dòng)的物體 A，其質(zhì)量為mA，動(dòng)能為Eka,另有靜 止的物

25、體B，其質(zhì)量為mB.在物體B的一個(gè)側(cè)面固定一個(gè)勁度系數(shù)為 k的輕質(zhì) 彈簧如圖所示若物體 A沖向彈簧并推動(dòng)物體B，且相互作用過程中沒有能 損耗，問（1）mA、mB之間的關(guān)系滿足什么條件，物體A傳給B的動(dòng)能最大？最大值是 多少？（2）如果相互作用后，物體 A、B的速率相等，那么mA : mB=?（3）如果相互作用后，物體 A、B的動(dòng)能相等，那么mA : mB= ?（4）相互作用過程中，彈簧的最大壓縮量為多少？【分析】取物體A和B （包括彈簧）組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，物體 A、B相互作 用的過程中，所受到的合外力為零，因此，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，且題目給定相互作 用過程中沒有能量損耗，這就意味著系統(tǒng)的機(jī)械能

26、守恒.在運(yùn)用動(dòng)量守恒和機(jī)械 能守恒建立方程時(shí)，要注意選擇合適的兩個(gè)時(shí)刻.（1）（3）問涉及相互作用結(jié)束時(shí)物體的動(dòng)能、速率，要選擇相互作用始、末兩狀態(tài)建立方程.而（4）問中要求解彈簧的最大壓縮量，當(dāng)然此時(shí)刻并非是彈簧作用的結(jié)束， 但可以選此時(shí) 刻和初始時(shí)刻，來建立方程求解相關(guān)問題.【解】設(shè)物體A、B相互作用前，A的速度是vO,作用后A、B的速度分別為 vA '和 vB'.據(jù)動(dòng)量守恒定律有據(jù)機(jī)械能守恒定律有扌m諸扛 ' 2r 刁C2）聯(lián)立（1）、（ 2）兩式解得m山-叫2m直燈%皿直十口皿左十皿事（1）物體A傳給B的動(dòng)能，即相互作用后B的動(dòng)能為由此可知，當(dāng)mA=mB時(shí)，E

27、' KB取最大值，且最大值為 EKA，（小物怵扎E作用后的遠(yuǎn)率相等，即|吋|=|吋若vA ' =vB '時(shí)，有 解得，mA=mB，物體的質(zhì)量不可能有負(fù)值，此解無意義.若vA ' =vB '時(shí)，有解得 mB=3mA，即 mA : mB=1 : 3.（3）物體扎B的動(dòng)能相等，貝llfm屮J 3f 3*代入vA '和vB '后整理得解得叫二（$±2血）叫，_貝lj mA tnE = 3 +tn J 血總二了一 2成兩解都合題意.（4）當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，物體A、B間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即A和B的速度相等,若其速度為v .據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守

28、恒有（mj +m2D-（叫+叫）+V,C3?聯(lián)立（3）、（ 4）兩式解得【說明】（1）數(shù)學(xué)是解決物理問題的工具，通常物理問題中求最大值的一類習(xí)題，實(shí)質(zhì) 上就是數(shù)學(xué)上求函數(shù)極值的問題.為此，第（1）問中，首先要寫出動(dòng)能 E KB 的函數(shù)表達(dá)式，繼而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定其極值.（2）用數(shù)學(xué)方法求出的解具有更普遍的意義，這些解是否符合題意，且明確的 物理意義，還必須加以分析，本題（2）問中，有一個(gè)解出現(xiàn)了“負(fù)質(zhì)量”，這 在物理中是不存在的，必須舍去.但在（3）問中，通過解方程也得到兩個(gè)解， 而這兩個(gè)解則都合題意，則應(yīng)保留.（3）在解第（4）問時(shí)，建立動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒的方程時(shí)，選擇了相互作用 的初始時(shí)刻和相互作用過程中間的一個(gè)時(shí)刻， 而不是相互作用末時(shí)刻.這正是運(yùn) 用了動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒是對(duì)全過程而言的性質(zhì).例17小球A、B分別固定在長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的輕線、輕桿的下端，桿的上端分別固 定于0點(diǎn)，且均能繞0點(diǎn)無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。要求小球能繞過最高點(diǎn)，求小球在最 低點(diǎn)的最小速度 v1、 v2 各為多大？分析線或桿對(duì)小球的彈力， 在小球繞 0點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中， 始終與瞬時(shí)速 度相垂直，所以彈力不做功，只有重力作功，小球的機(jī)械能守恒，要注意到線與 桿對(duì)球約束的差異，線可受拉力不能受壓力，所以 A 球達(dá)最高點(diǎn)線的拉力的最 小值為零，線不可能給球以支持力，球速不