最新相似三角形添加輔助線的方法舉例(有答案)

1、相似三角形添加輔助線的方法舉例例 1: 已知：如圖， ABC 中，AB= AC, BD)± AC于 D.求證：BG=2CD- AC.例2.已知梯形 ABCD中，ADBC, BC 3AD , E是月AB上的一點(diǎn)，連結(jié) CE(1)如果 CE AB, AB CD, BE 3AE,求 B 的度數(shù)； BE(2)設(shè) BCE和四邊形AECD的面積分別為S1和S2,且2s 3S2，試求-BE的值A(chǔ)E1 AF - AD例3.如圖4-1,已知平行四邊 ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，3 ，連E、F交AC于G.求AG: AC的值.7 H圖4例4、如圖45, B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則 AF: AE=O

2、E 交 BC例5、如圖4-7,已知平行四邊形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD交于。點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn), 于 F,若 AB=a, BC=b, BE=g 求 BF 的長(zhǎng).AB BD例6、已知在 ABC中，AD是/ BAC的平分線.求證： AC CD .相似三角形添加輔助線的方法舉例答案例 1: 已知：如圖， ABC 中，AB= AC, BD）± AC于 D.求證：BG=2CD- AC.分析：欲證BC2=2CD>- AC,只需證-BC- 處.但因?yàn)榻Y(jié)論中有“ 2”，無(wú)法2CD BC直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結(jié)合圖形特點(diǎn)及結(jié)論形式，通過(guò)添加輔助線，對(duì)其中某一線段進(jìn)行倍

3、、 分變形，構(gòu)造出單一線段后，再證明三角形相似.由 “2”所放的位置不同，證法也不同.證法一（構(gòu)造2CD）:如圖，在 AC截取DE= DC,BD）± AC于 D,.BD是線段CE的垂直平分線，BC=BE / C=Z BEC,又 AB= AC,/ C=Z ABC.BC& ACB.BC ACBCAC -, CEBC2CDBCBG=2CD- AC.證法二（構(gòu)造2AC）:如圖，在 CA的延長(zhǎng)線上截取 AE= AC,連結(jié)BE, AB= AC,AB= AC=AE/ EBC=90 , 又 BDXAC./ EBC=Z BDC=Z EDB=90° ,/ E=Z DBC . EBS B

4、DCBC CE 口u BC2AC 即CD BC CDBCBG=2CD- AC.1一，一什 1 -證法三（構(gòu)造一BC ）:如圖，取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,則ECBC 22又 AB=AC, AE± BC, / ACE=Z C / AEC=Z BDC=90° . AC匕 BCD.1BC-CEAC口口2AC即/.CDBCCDBCBC2 = 2CD- AC. ,1 ，一什 1 證法四（構(gòu)造一BC ）:如圖，取BC中點(diǎn)E,連結(jié)DE,則CE=BC .22BD）± AC, BE=EC=EB/ EDC=Z C又 AB=AC,/ ABC=Z C, . ABC EDC.BC AC 口口

5、 BC AC-J即-CD EC CD 1 /一BC2BG=2CD- AC.說(shuō)明：此題充分展示了添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧.在解題中方法要靈活，思路要開闊.例2.已知梯形 ABCD中,(1)如果 CE AB, ABADBC, BC 3AD, E是月AB上的一點(diǎn)，連結(jié) CEBE(2)設(shè) BCE和四邊形AECD的面積分別為S1和S2,且2s 3S2，試求 的值A(chǔ)E(1)設(shè) AE k ,則 BE 3kAD / BC , BC 3AD ,解法1如圖，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)F又CE BF BC CF ,又CF BFBCF為等邊三角形故 B 60解法2 如圖作DF / AB分別交CE、CB于點(diǎn)G、F則

6、CE DF ,得平行四邊形ABFD 同解法1可證得 CDF為等邊三角形 故 B 1 60解法3 如圖作AF EC交CD于G ,交BC的延長(zhǎng)線于F作GIAB,分別交CE、BC于點(diǎn)H、I則CE GI ,得矩形AEHGCF AEAF/CE BC -BE 3,又BC 3AD CF AD,故G為CD、AF的中點(diǎn)以下同解法1可得 CGI是等邊三角形故 B 1 60解法4 如圖，AB延長(zhǎng)CE、DA交于點(diǎn)F ,作AG/CD ,分別交BC、CE于點(diǎn)G、H ,得平行四邊形AGCD可證得A為FD的中點(diǎn)，則AH得ABG為等邊三角形，故B解法6 如圖（補(bǔ)形法），2k,故 1 6060作AF CD ,交BC于F ,作FG

7、 /CE ,交AB于G ,得平行四邊形 AFCD ,且FG讀者可自行證得 ABF是等邊三角形，故B 60解法5 如圖讀者可自行證明 CDF是等邊三角形,得 B F 60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等）（2）設(shè) S BCE 3S,貝U S四邊形AECD 2S解法1 （補(bǔ)形法）如圖補(bǔ)成平行四邊形 ABCF ,連結(jié)AC ,則DF 2AD設(shè)SACD x， 則SACE 2S x ， S CDF 2x由 S ABC3s 2s x x 2x,SACE2s x3 -s4BEAES BCES ACE3s3s4解法2（補(bǔ)形法）如圖，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)F ,S FADS ABC1 S F

8、AD S FAD8S梯形 ABCD5 s55_21S FADS ， S FEC s 2s s ,又 S ebc 3s888EFS fbc7BES bec815m, AF 5m設(shè) BE 8m,則 EF 7m , BFAE 2m ,-BE- 4AE解法3 （補(bǔ)形法）如圖連結(jié)AC ,作DF / AC交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F連結(jié)FC則 FADs ABC,故 AB 3AF （1）S ACD S ACF，SR邊形 AECDS FECBE SBEC SBCE 3EF S FEC S四邊形 AECD 2故 2BE 3EF 3（ AE AF） 3AE 3AF （2）由（1）、（2）兩式得BE 4AE即巨旦 4AE解法

9、4 （割補(bǔ)法）如圖5s連結(jié)A與CD的中點(diǎn)F并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G ,如圖，過(guò)E、A分別作高h(yuǎn)1、h2,則CG AD且S四邊形 AECD S四邊形 AECG，S ABGS梯形 ABCD3 S 2 BC h1 又空 35 , W BG4h14 BE-h25 AB說(shuō)明 本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相 似三角形.1AF AD例3.如圖4-1 ,已知平行四邊 ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，3 ，連E、F交AC于G.求AG: AC的值.H圖笳1解法1 :延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于 H,四邊形ABCD是平行四邊形,AD/BC= ,/H=/AFE, / DAB

10、=/ HBE又 AE=EBAAEF BEH,即 AF=BH,1 1 _1 _AF -AD AF -BC AF -CH3,3,即 4.AD/CH, /AGF=/ CGH, / AFG=/ BHE, . AAFG CGH. . AG: GC=AF: CH, AG: GC=1: 4, AG: AC=1: 5.解法2: 如圖4-2,延長(zhǎng)EF與CD的延長(zhǎng)線交于 M,由平行四邊形 ABCD可知，ABDC ,即煙 mc,圖42AF: FD=AE MD, AG: GC=AE MC.1 AF - AD3,AF: FD=1: 2,AE: MD=1 : 2.1 1 -AE AB DC2 2.AE： MC=1 : 4

11、,即 AG: GC=1: 4,AG: AC=1: 5例4、如圖4-5, B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則 AF: AE=解析：取 CF的中點(diǎn)G,連接BG. B為AC的中點(diǎn)，BG: AF=1: 2,且 BG/ AF,又 E為 BD 的中點(diǎn)，F(xiàn)為DG的中點(diǎn).EF: BG=1: 2.故 EF: AF=1: 4,AF: AE=4: 3.例5、如圖4-7,已知平行四邊形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD交于。點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交BC 于 F,若 AB=a, BC=b, BE=g 求 BF 的長(zhǎng).解法1 : 過(guò)O點(diǎn)作OM / CB交AB于M ,。是 AC 中點(diǎn)，OM/CB,1MB -aM是AB

12、的中點(diǎn)，即 2 ,11OM- BC-bOM是4ABC的中位線，22且 OM / BC, / EFB=Z EOM, / EBF=/ EMO.BF BE BEDMOE,OM EM ,BFBFbca 2c.解法2:如圖4-8,延長(zhǎng)EO與AD交于點(diǎn)G,則可得 AO8 COF,AG=FC=b-BFBF/ AG,BF BE BF cAG AE .即 b BF a c ,BF c b a 2cBFbca 2cBF BE解法3:延長(zhǎng)EO與CD的延長(zhǎng)線相交于 N,則 BEF與 CNF的對(duì)應(yīng)邊成比例，即 CFCNBF解得bca 2cAB BD例6、已知在 ABC中，AD是/ BAC的平分線.求證： AC CD .

13、分析1比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問(wèn)題， 常應(yīng)注意平行線的作用，在沒(méi)有平行線時(shí),可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生.此題中AD為4ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過(guò)定點(diǎn)作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段， 再比較所證的比例式與這個(gè)比例式的關(guān)系，去探求問(wèn)題的解決.證法1:如圖49,過(guò)C點(diǎn)作CE/ AD,交BA的延長(zhǎng)線于 E.在4BCE中，DA/ CE,BD BADC AE又CE/ AD,/1 = /3,-/ 1 = 72,于是/ 3=/4,/ 2=7 4,且 AD平分/ BAC,BDAC=AE代入式得DCABAC .分析2由于BD、CD是點(diǎn)D分BC而得，故可過(guò)分點(diǎn) D作平行線.證法2:如圖410,過(guò)D作DE/ AC交AB于E,貝U/ 2=/ 3.- /1 = /2,/1 = /3.于是EA=EDBEBD ABBEBE ABBD又.EADC , . ACEDEA, . ACCD.分析3 欲證式子左邊為 AB: AC,而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置.證法3: 如圖4-11,過(guò)B作BE/ AC,交AD的延長(zhǎng)線于 E,則/ 2=Z E./1 = /2,/1 =