電大《微積分初步》復(fù)習(xí)題及答案

1、微積分初步復(fù)習(xí)試題、填空題(每小題4分，本題共20分)1L 函數(shù) f (x) =+ J4-x 的定義域是 _(-2,-1)= (-1,4ln(x 2)一2 .若1而也如=2,則k = 2.J0 kx3 .曲線y =ex在點(diǎn)(0, 1)處的切線方程是 y = x + 1.,d e 24. 1n(x 1)dx = dx 15.微分方程y = y, y(0) = 1的特解為 y = ex：、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，本題共20分)L設(shè)函數(shù)y=xsinx,則該函數(shù)是( A).A.偶函數(shù) B.奇函數(shù) C,非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)2.當(dāng) k = ( C )時，函數(shù) f(x)=<x2 2,k,x =

2、 0x 0,在x = 0處連續(xù).x = 0A. 0 B. 1C. 2D. 33.下列結(jié)論中(C )正確.A. f(x)在x = x0處連續(xù)，則一定在x0處可微.B.函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上.C. f(x)在x =x0處不連續(xù)，則一定在x0處不可導(dǎo).D.函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在不可導(dǎo)點(diǎn)上4.下列等式中正確的是(D)A . sin xdx = d(cosx)C. axdx = d(ax)1、B. ln xdx = d() xD.dx = d(2 . x) x5.微分方程(y')3+4*丫*=丫5$*的階數(shù)為(B)A. 2;B. 3;C. 4;三、計(jì)算題(本題共44分，每小題11分)2L

3、計(jì)算極限lim x2 -6x 8 .x)2x2 -3x 2D. 5(x -4)(x -2)(x-2)(x-1).x -4 limi x -12 .設(shè) y = ln x +cos3 x ,求 dy.1c 2 ,、y = - 3cos x( sin x) x, 12 、dy = (- -3s i nxc o sx)dx x3 .計(jì)算不定積分(2x -1)10dx(2x -1)10dx= 1 (2x -1)10d(2x -1) = (2x-1)11 c222e24 .計(jì)算止積分In xdx-1ee2e xo oolnxdx=xlnx-f -dx = 2e e +1 = e +11" x四、

4、應(yīng)用題(本題16分)欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料 最??？解：設(shè)底邊的邊長為x ,高為h ,用材料為y ,由已知x2h =108,h =等8 xy = x2 4xh = x2 4x 釁 x=x2駕 x.432.令y' = 2x-3-=0 ,解得x = 6是唯一駐點(diǎn),x口2 432且 y”二23x>0, x 6說明x = 6是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)x = 6,hi=336、填空題(每小題4分，本題共20分)L 函數(shù) f (x+2) = x2+4x2 ,貝tj f(x)=x2 -6 1 .2 .當(dāng)xt 0 時，f(x) = xsin為無分小事.x

5、3 .若 y = x (x -1)(x - 2)(x - 3),則 y'(1) = -2 134 .式5x3 -3x 1)dx =25 .微分方程y =y,y(0) =1的特解為 y =ex二、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，本題共20分)1 L函數(shù)f(x) =的定義域是(C).ln( x -1)A. (1*) B. (0,1)51尸)C. (1,2) = (2,)D. (0,2)= (2,十9)2.曲線y =e2x+1在x = 2處切線的斜率是(D ).A. 2 B. e2 C. e4 D. 2e43.下列結(jié)論正確的有(B ).A.若f '(X0)= 0,則xo必是f (x)的極值點(diǎn)

6、B. X0是f (x)的極值點(diǎn)，且f'(X0)存在，則必有f'(x0)= 0C. x0是f (x)的極值點(diǎn),則x0必是f (x)的駐點(diǎn)D.使f'(x)不存在的點(diǎn)xo, 一定是f (x)的極值點(diǎn)4.下列無窮積分收斂的是(A ).A.心,2xo e dxB.二 1dx1 x5.微分方程(y )3 - y(4)cosx = y2 ln x的階數(shù)為(Dx2 3-x2 - cos x + c34,計(jì)算定積分-sin xdx 0 2- x . sin xdx = 0 21一 一 xcosx 21 二 cosxdx =2 0一十 - sin x222_，一、，一 x -x -6 (x

7、 -3)(x 2) x -3 lim 2 二 lim 二 lim x x2 一4 x T(x -2)(x 2) x >x-2A. 1; B. 2; C. 3; D. 4三、計(jì)算題(本題共44分，每小題11分)2 - Y - 6L計(jì)算極限lim x 2 x 6 .X a x2 -42 .設(shè) y = sin 5x +cos3 x ,求 dy . -2y =5cos5x 3cos x(-sinx)2=5c o5x -3s i nxc o sx2dy = (5c o5x -3si nxc o sx)dx、上竹寸工口八3 - x3xsin x ,3 .計(jì)算不止積分 dxp3-Jx +xsinx d

8、dx= 3ln xx四、應(yīng)用題(本題16分)用鋼板焊接一個容積為4m3的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10 元，焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？ 解：設(shè)水箱的底邊長為x ,高為h ,表面積為S ,且有h =-4;x所以 S(x) = x2 4xh = x2 1616S (x) =2x x令 S，(x) = 0,得 x = 2, 因?yàn)楸締栴}存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以，當(dāng) x = 2,h=1時水箱的表面積最小.此時的費(fèi)用為S(2)x10 +40 = 160 (元)一、填空題(每小題4分，本題共20分)L 函數(shù) f (x+1) = x2 +2x,貝(

9、J f(x)=x2 -1.1)4 . lim xsin- = 1f ：x5 .曲線y =jx在點(diǎn)(1, 1)處的切線方程是y =-x + -.226 .若 Jf (x)dx =sin2x+c,貝U f'(x) =4si n 2 x .7 .微分方程(y ")3十4xy(5) = y7cosx的階數(shù)為 5.二、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，本題共20分)L設(shè)函數(shù)y=x2sinx,則該函數(shù)是(D).A.非奇非偶函數(shù)B.既奇又偶函數(shù)C.偶函數(shù) D.奇函數(shù)2 .當(dāng)xt 0時，下列變量中為無窮小量的是( C ).A 1sin xxA. B. C. ln(1+x)D. 2xxx3 .下列函數(shù)在

10、指定區(qū)間(-00,2)上單調(diào)減少的是(B ).A. cosx B . 5-x C . x2D .22 x - 6ln x 一.4 .設(shè) Jf(x)dx =+c ,則 f (x) = ( C ).x l l I - ln x - 1 ln x - , 2A. ln ln x B. C.2D. ln xx(A=y ln xx5,下列微分方程中,Ax , y sin x -yeC. y " + xy ' = ey是線性微分方程.B. y y + xy2 =exD . yx2 + lny = y'三、計(jì)算題(本題共44分,每小題11分)21.計(jì)算極限則x2 -3x 2(x -

11、1)(x -2)x - 1煤式二 hm 二 limx 2(x 2)(x 3) x 祥 x 32.設(shè) y = cos、. x 2x ,求 dy .- 1y - -sin , x 2 In 22 . xx s i n x dy=(2xln2 -)dx2. x3 .計(jì)算不定積分(2x -1)10dx_101_10_1_11(2x -1)10dx= 5 (2x1) d(2x 1) =9(2x1) c4 .計(jì)算定積分2 xsin xdx0un -52 xsin xdx = -xcosx2 + f2 cosxdx = sin x =1均0 Joo四、應(yīng)用題(本題16分)欲做一個底為正方形，容積為108立方

12、米的長方體開口容器，怎樣做法用 料最?。拷猓涸O(shè)長方體底邊的邊長為x,高為h,用材料為y,由已知x2h = 108,h=108 xy = x2 4xh = x2 4x 等=x2 誓 xx令yZx-432：。，解得x = 6是唯一駐點(diǎn), x因?yàn)閱栴}存在最小值，且駐點(diǎn)唯一，所以 x = 6是函數(shù)的極小值點(diǎn)，即當(dāng) h=108=3時用料最省.36、填空題(每小題4分，本題共20分)L 函數(shù) f (x+2) = x2 +4x+7 ,貝lj f(x) =x2+3x2+2 x=05 .若函數(shù)f(x)=x 2, x 0,在x=0處連續(xù)，則k=_2.、k, x=06 .函數(shù)y =2(x+1)2的單調(diào)增加區(qū)間是 -

13、1.+叼/0 2x7 . e dx =5.微分方程(y)3 +4xy(4) = y5sinx的階數(shù)為 4.、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，本題共20分)L設(shè)函數(shù)y=xsinx,則該函數(shù)是（B ）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C,非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)2 .當(dāng)XT +時時，下列變量為無窮小量的是（ AA sinx1xA. B. ln(1+x) C. xsin D. xx1 x3 .若函數(shù)f （x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則（D ）是錯誤的.A.函數(shù)f （x）在點(diǎn)x0處有定義C.函數(shù)f （x）在點(diǎn)x0處可微B.函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù)D. lim f(x) = A，但 A¥ f(x0)4 .若 f

14、 (x) = x+A(x >0),則 Jf'(x)dx= ( C )3n 2322A. x x2 cB. x x c2c廠1 22 IC. x x cD. x -x2 c235 .下列微分方程中為可分離變量方程的是（B ）A. dy = ln(x y) ;B. dy = ey"；dxdxC. dy = e sinxdy = (2 ln 2 - )dx2. x3.計(jì)算不定積分xedx解：xedx= -xe - ie*dx = -xe" -e" c3 e4.計(jì)算定積分1dx1 x< 1 ln x.e31e31.L. e3解：ddx =d（1 + l

15、nx） =2,1 +ln x =21 xV1 +ln x1 V1 +ln x1四、應(yīng)用題（本題16分）某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為V的有蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為+ey；D. dy=ln(x +dxdx三、計(jì)算題(本題共44分，每小題11分)L 計(jì)算極限 lim 2x .x)2x2 -3x 2原式二 lim (x 2)(x _2)=lim 2 =4 x 2 (x -2)(x -1) x 總 x -12.設(shè) y = 2x + cosv'x ,求 dyy' = 2xln 2sin，-1=.2. x多少時可使用料最省?解：設(shè)容器的底半徑為r,高為h,則其表面積為S,由已知V=nr2h,于是h =工，則其表面積為了c22 2VS=2 Ttr2 +2兀由=2曲2 + r2 VS = 4 冗- 一2r令s，= 0,解得唯一駐點(diǎn)r = 3工，由實(shí)際問題可知，當(dāng)r =3-V-時可使用料最 2九 2冗省，止匕時h=f4V,即當(dāng)容器的底半徑與高分別為3：母與