立體幾何中與球有關(guān)的“內(nèi)切”與“外接”問(wèn)題的研究

1、立體幾何中與球有關(guān)的“內(nèi)切”與“外接”問(wèn)題的研究1.2 球與長(zhǎng)方體縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，重點(diǎn)放在與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問(wèn)題上.要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答.從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，這部分知識(shí)是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類(lèi)題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒(méi)有形成解題的模式和套路，以至于遇到類(lèi)似的題目便產(chǎn)生畏懼心理 .本文就高中階段出現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題加以類(lèi)型的總結(jié)和方法的探討1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題

2、1.1 球與正方體如圖1所不，正方體在cd設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為口，區(qū)四用,仃為棱的中點(diǎn)，。為球的球心,常見(jiàn)組合方式有三類(lèi)：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則OJ = r = -i二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形E尸整和1 12其外接層1,則|g| 二 K=理4工三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為1 12長(zhǎng)方形力C瑪G和其外接國(guó)，則= *二4。,通過(guò)這三種類(lèi)型可以2發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問(wèn)題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題例1 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD -

3、A1B1clD1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，E, F分別是棱AA1 , DD1的中點(diǎn)，則直線EF被王O截得的線段長(zhǎng)為（）A . 2B. 1 C. 1 十9 D.我解，由題意可知，球?yàn)檎襟w的外接球.平面外叫截面所得圓面的半徑字號(hào)呼C面抽。%:直線EF被球。截得的線段為球的截面圓的直徑肉艮長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為a,b,c,其體對(duì)角線為l .當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑R =-2,a2 b2 c2例2在長(zhǎng)、寬、高分別為2, 2, 4的長(zhǎng)方體內(nèi)有一個(gè)半徑為 1的球，

4、任意擺動(dòng)此長(zhǎng)方體，則球經(jīng)過(guò)的空間部分的體積為（A.等 B.4兀3八8兀C."73解：利用運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)點(diǎn)分析在小球移動(dòng)的過(guò)程中，進(jìn)過(guò)部分的幾何體.因半徑為1的d周t恰好為槌長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球，故小球經(jīng)過(guò)空間由上往下看為：半個(gè)小球、高為2的扇柱和半個(gè)小球，三部分的體積為:4 k i3 1113 f 1°-xr m-x2+jtx r x2=一升3231.3 球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多.下面以正三棱柱為例，介紹本類(lèi)題目的解法構(gòu)造直角三角形法.設(shè)正三棱柱MC-的高為也底面邊長(zhǎng)為小,如圖2所示，和2分別為上下底面的.中心.根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，球心必落在高口4的中

5、點(diǎn)J0D = -tA0=凡=走魚(yú)借助直角三龜形A0D的勾股定理，可 23求衣二:4斤=2d則正匹棱柱的側(cè)面積:.值,例3正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的各頂點(diǎn)都在半徑為 R的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最解：如圖3,截面圖為長(zhǎng)方形為和其外接圓.球心為月耳的中點(diǎn)0, 則衣二Q4.設(shè)正匹棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為白，底面邊長(zhǎng)為。，則AC = 8,AE = 徨qQE上,* 二龍門(mén)大也火 2222S = 4她=透- 2/揚(yáng)=道3" + 2） = 40必，故惻面積有最大值，為4盤(pán)，當(dāng)且僅當(dāng)口二J*時(shí)等號(hào)成立.2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接

6、和內(nèi)切兩種 形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題 2.1球與正四面體正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點(diǎn)可頓利解決球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系.如圖4,設(shè)正四面體S-5SC的棱長(zhǎng)為Q,內(nèi)切球半徑/ _、為外接球的半徑為五，取金£的中點(diǎn)為0, 9為在底面的射/ r影，連接CD,陽(yáng)為正四面體的高.在截面三角形赳，作 T 養(yǎng)三與邊M和。C相切周心在高甑上的胤即為內(nèi)切球的截面.因?yàn)檎ッ骟w本身的對(duì)稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心伺為。.此時(shí)，凰囹4C0=0S = &0£ =

7、f SE =&:則 有22.2 22 aV6V6R+r=Ja, R2r2=CE=一，解得：R = J a, r =工a.這個(gè)解法是通過(guò)利用兩心合一的思路，建 333412立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心。為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來(lái)極大的方便例4將半徑都為1的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為 （）. 3 2、.62、，62、，64 一3 2、63. + 3. + 3.3解】容器四面體，中的這四個(gè)小球，以四個(gè)小球?yàn)榍蛐臑轫旤c(diǎn)構(gòu)成了T棱長(zhǎng)為2的父球心正四面體”,這個(gè)四面體的高是“單位正四面體”高

8、（也）的2倍即為紐L “球心正四面體制的底面到“容器正四 33面體”的地面為小球半徑b而府球心正四面體"頂點(diǎn)到"容器正四面體”的頂點(diǎn)的距離為3 M謖半徑的3倍），于是“容器正四面體"的高為¥ +3 + 1,選擇C,電個(gè)“小球半徑的3倍吊是這樣想的工做一個(gè)小球的外切正四面體，這個(gè)小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問(wèn)題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球 法，即把三棱錐補(bǔ)形成正方體或者長(zhǎng)方體.常見(jiàn)兩種形式：一是三棱錐.的三條側(cè)棱互相垂直并且相等

9、，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，它的 外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.如圖5,三棱傕4-皿馬的外 接球的球心和正方體ABCD-AC的外接球的球心重合.設(shè)加產(chǎn)s， 則及二必】.二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等，則可以補(bǔ)形 2為一個(gè)長(zhǎng)方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球.解決的基本方法是補(bǔ)形2 I12心.正二-（為長(zhǎng)方體的體對(duì)角繞長(zhǎng)）. 44例5在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SG BC的中點(diǎn)，且AM _L MN，若側(cè)棱SA= 2J3則正三棱錐工BC外接球的表面積是.解I如圖6,正三棱錐對(duì)棱相互垂直，即應(yīng)又SB# 血M二肱MLR。,又間MM,平面&4C.衣=3, .

10、 £ = 4開(kāi)&=36開(kāi)于是用_1平面用CiSB上SA,SBLSC,以而出_LSC, 此時(shí)正三棱錐s-c的三條側(cè)犢互相垂直并且相等，故將 正三棱錐補(bǔ)形為正方體.球 的半徑2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見(jiàn)的有兩類(lèi)，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑R .這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積例6在三錐P ABC中，PA=PB=PC= J

11、3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60° ,則該三棱錐外接球的體積為（）4 二A.n B. C. 4 n D.-解：如圖7所示，過(guò)尸點(diǎn).作底面期C的垂線，垂足為設(shè)H為外接球的球心，連接刃發(fā),且0,因/F月0 = 60，取二#,故 月。=史 ，PO=-,又 AHQ 為直角 三角形 22圖AH 二 PH =. AH2 =B圖82.4球與特殊的棱像球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合 淞JH截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.例如，四個(gè)面都是直角三角形的三棱傕, 可利用直角三角形斜邊中點(diǎn),幾何特征，巧定球心位置.如圖4三棱錐 S - ABC,滿足$4 _L面/3c四_L 取S

12、C的中點(diǎn)為O,由直角三角形的性質(zhì)可得；OA = OS=OB = 0 c所以。點(diǎn)為三棱錐S-ABC的外SC接球的球心，則R=SC.2例7矩形ABCD中，AB =4, BC = 3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B - AC - D ,則四面體ABCD的外接球的體積是（）A. 125 二 B. 125 二 C. 125 二 D. 125 二12解！由題意分析可知，四面體A3C3的外接球的球心落在e的中點(diǎn)，此時(shí)滿足=AC 5T2j125刀 63球與球?qū)€(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問(wèn)題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類(lèi)問(wèn)題需 掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)系

13、，或者巧借截面圖等方法，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化 平面問(wèn)題求解.例7在半徑為R的球內(nèi)放入大d沖目等的4個(gè)小球，則小球半徑尸的最大值為()A(小7)RB 一C"D.豪解：要便各小球的半徑最大，需庾得4個(gè)小球的球心為一個(gè)正四面體的匹個(gè)頂點(diǎn)，如圖9所示，此時(shí)正四面體的外接球的球心為。，即為半徑為R的球的球心，則工0 =衣-幾又因。為金口的四分點(diǎn)，故 4工q = (&-r),在 RtLABOx 中 ，AB = 2r/Q = |j5r： (R-r) x|f = (2r)3 - g技尸，r = (76-2)7?.4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)

14、到明確球心的位置為目的，然后通過(guò)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一 半：r ="a4例8把一個(gè)皮球放入如圖 10所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四圖10棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為)A. IcVcniB. 10 mC. 10 V2 cmD. 30cm解;如圖11所示，由題意球心在AP上，球心為0，過(guò)。作BP的垂線ON垂足為N, OM=R, 0M=R,因?yàn)楦鱾€(gè)棱都為20，所以AH=1O, BP=20,BM= 10, AB= 10及，設(shè)= Q，在RtL HPM中，B戶=BM2 +尸腹之，所以尸舷二103.在此A PAM中，PM2 = AM2 +"所以24 = 10 M在處Aabp中,也加理."走="在立心溺 中，鼻：=空=2-,所以 BP 202OP OP三二嚴(yán)，所以O(shè)尸二 血心在史小0AM中,04"二月"十月”"所以，斜二。00-每），3解得，立二10或3。（舍）,所以，立=1