矩陣相似的性質(zhì)

1、1矩陣的相似1.1定義1.2性質(zhì)1.3定理(證明)1.4相似矩陣與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形2相似的條件3相似矩陣的應(yīng)用(相似矩陣與特征矩陣相似矩陣與矩陣的對(duì)角化相似矩陣在微分方程中的應(yīng)用【1】)矩陣的相似及其應(yīng)用1.1矩陣的相似定義1.1:設(shè)A,B為數(shù)域P上兩個(gè)n級(jí)矩陣，如果可以找到數(shù)域P上的n級(jí)可逆矩陣X，使得B=XAX，就說(shuō)A相似丁B記作AsB1.2相似的性質(zhì)(1) 反身性AsA:;這是因?yàn)锳=EAE.(2) 對(duì)稱性：如果AsB，那么BsA；如果AsB,那么有X，使B=XAX,令丫=X',就有A=XBX直=YBY，所以BsA。(3) 傳遞性：如果AsB,BsC，那么AsC。已知有X,Y使B=X

2、AX,C=Y，BY。令Z=XY,就有C=YXAXY=Z，AZ，因此，AsC。1.3相似矩陣的性質(zhì)若A,BWC",AsB,見(jiàn)J:(1)r(A)=r(B);引理：A是一個(gè)s><n矩陣，如果P是一個(gè)ss可逆矩陣，Q是nn可逆矩陣，那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)證明：設(shè)A,B相似，即存在數(shù)域P上的可逆矩陣C，使得B=CAC，由引理2可知，秩(B)=秩(B=CAC)=秩(AC)=秩(A)(2)設(shè)A相似于B,f(x)是任意多項(xiàng)式，貝Uf(A)相似于f(B),即PAP=B=Pf(A)P=f(B)證明：設(shè)f(x)=anxn,anxn4lllaxa。于是，f(A)=anAnanAnH

3、la1Aa0Ef(B)=anBnanBnll|aBa°E由于A相似于B，貝UAk相似與Bk,(k為任意正整數(shù))，即存在可逆矩陣X,使得Bk=XAkX,因此XfAX=XanAnanJAn-a1Aa0EX=anXAnXanXAnX川aXAXa0E=anBnanBn川a1Ba°E=f(B)所以f(A)相似于f(B)。(3) 相似矩陣有相同的行列式，即|A=|B,trA=trB;證明：設(shè)A與B相似，即存在數(shù)域P上的可逆矩陣C,使得B=CAC,兩邊取行列式得：B|=CAC=CAC=ACC=A,從而相似矩陣有相同的行列式。乂由性質(zhì)(2)知，A與B有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值播

4、，旗,川，十，而A的跡trA=兀+赤2+|+九n,B的跡trB=兀+1%+川+兀n,從而trA=trB，即相似矩陣有相同的跡(4) A與B有相同的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；(5) 相似矩陣同時(shí)可逆或同時(shí)不可逆。證明：設(shè)A與B相似，由性質(zhì)2可知A=|B，若A可逆，即A#0，從而B(niǎo)#0，故B可逆；若A不可逆，即A=0,從而B(niǎo)=0,故B不可逆。_l'A0),fB0、(6) 若A與B相似，B與D相似，則與相似。<0C)0D；證明：A與B相似，即存在可逆矩陣P,使得B=PAP,C與D相似，即存在可逆矩陣Q,使得D=QCQ,由于=<0D八。"<0口"P0"

5、一工r顯然是可逆矩陣。由此可見(jiàn)，則<0QJ0A0/P0'Q“0C人0Q；0fA0VP0'Q)<0C人0Q；(A0)UB0ztI與相似。<0C)10D；定理1.1:線性變換在不同基下所對(duì)應(yīng)的矩陣是相似的；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作同一個(gè)線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣。證明：先證前一部分。設(shè)線性空間V中線性變換A在兩組基：跖電，Illg(1)叫,”2,.|H,"n(2)下的矩陣分別為A和B,從基到基的過(guò)渡矩陣為X,貝U:(A.A62,川,A'n)=(跖&2,.|,&n)A,(Ai,A2,lH,An)=(l,2JII

6、,n)B(1,2,川，n)=(；1,2,JH,n)X于是(AIi,A2,lll,An)=A(叫足，|,氣)=A(8"2,.|H)X=(AA；2,HI,A；n)X=(；i,；2,川,.n)AX=(1,2,.川,n)XAX由此可得B=XAX現(xiàn)在證后一部分。設(shè)n級(jí)矩陣A和B相似，那么它們可以看作是n維線性空間V中一個(gè)線性變換在基布，&2,.|H,8n下的矩陣。因?yàn)锽=XAX,令：(叫，勺，|，,叫)=(辱，盼川,耳/,顯然，七。2,|仰n也是一組基,A在這組基下的矩陣就是Bo氣1九2i2*,14JZ1n例一：證明相似，其中i1,i2,HI,in1,2,|H,n的一個(gè)排列。n,%,1

7、g)=停1,&2,11位n)1)f'2,則X(,".,，.1九"因方兒2和KqA(；1,；2)1；nAi1氣2口,”,是線性變換A在不同基下的矩陣，故它們相似。I刀n/定理2.1:設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個(gè)n級(jí)矩陣，A與B相似的充要條件是它們的特征矩陣兀EA和AEB等價(jià)。bca七ab>例一：設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù)，A=cab,B=abc，證明A與B相似。<abc<bc"證明:久-b-c-a''-a-bX-c久-c_a-b'%EA=-c九a-bT-c九a-bT-b-c九a<a-b*cj&-b-caJ&

8、lt;a九一bcJ以_c-a-bt-a"b-c=|#E-B、-b-c兀-a,故ZEA和AEB等價(jià)，從而AsB3,矩陣相似的應(yīng)用3.1相似矩陣與特征矩陣定義3.1.1:把矩陣A（或線性變換A）的每個(gè)次數(shù)大丁零的不變因子分解成互相同的一次因式方籍的乘積，所有這些一次因式方籍（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱為矩陣A（或線性變換A）的初等因子。定理3.1.1:數(shù)域F上的方陣A與B相似的充要條件是舄E-A和AE-B有相同的列式因子。定理3.1.2:兩個(gè)同級(jí)復(fù)數(shù)矩陣相似充要條件是它們有相同的初等因子。例1:證明：任何方陣A與其轉(zhuǎn)置方陣A相似。證明：因?yàn)榫臙-A與7-E-A'互為轉(zhuǎn)置矩陣，

9、它們對(duì)應(yīng)k階子式互為轉(zhuǎn)置行列式，故相等。從而兩者有完全相同的各階行列式因子，丁是兩者有完全相同的不變因子。故九E-A與九E-A'等價(jià)，從而A與A相似。例2:證明：相似方陣有相同的最小的多項(xiàng)式。證法一：設(shè)A與B相似，即可存在可逆矩陣Q,使B=QAQ，乂設(shè)A與B的最小多項(xiàng)式分別為g（舄詞2（舄），丁是：g（B）=g2（Q-AQ）=Q-g（A）Q=0,但是,B的最小多項(xiàng)式整除任何以B為根的多項(xiàng)式，故g（舄）=g2（丸）證法二：設(shè)A與B相似，則赤EA和九EB等價(jià)，從而有完全相同的不變因子,但最后一個(gè)不變因子就是最小多項(xiàng)式，故A與B有相同的最小的多項(xiàng)式。4相似矩陣與矩陣的對(duì)角化矩陣的對(duì)角化問(wèn)題的

10、解法及其應(yīng)用都有其明顯特色，因而線性代數(shù)中通常被單獨(dú)處理，盡管矩陣相似是完全獨(dú)立的另一概念，但是卻與對(duì)角化問(wèn)題有重要的關(guān)聯(lián)。定義3.1.2:數(shù)域F上方陣A,如果與一個(gè)F上的對(duì)角方陣相似，則稱A在F上可對(duì)角化。定理3.2.3:復(fù)數(shù)矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A的初等因子全是一次的。定理3.2.4:復(fù)數(shù)矩陣A與對(duì)角陣相似的充分必要條件是A的不變因子都沒(méi)有重根。定理3.2.5:復(fù)數(shù)域上方陣A與一個(gè)對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根。定理3.2.6:設(shè)A是n階方陣，則以下條件是等價(jià)的：（1）A相似丁對(duì)角矩陣；（2）屆丁A的不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)；（3）A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特

11、征向量；（4）A的每一特征值的代數(shù)重?cái)?shù)都等丁它的幾何重?cái)?shù)。例4:設(shè)復(fù)矩陣A的最小多項(xiàng)式fm）=/k-1,證明：A與對(duì)角陣相似。證明：（f（赤）,f-1,202kJL）=1,即A的最小多項(xiàng)式無(wú)重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似丁對(duì)角陣。例5:設(shè)A為n階方陣，f（丸）=|LE-A是A的特征多項(xiàng)式，并令：fG5）=W，證明：A與一個(gè)對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是f'，fg（A）=0。證明：設(shè)f（舄）=”EA|=（"7“n1（九乳2片知）n,其中氣,&,.%互不相等，且n+山+|n=n，貝U:g（兀）=（人島X舄一舄2）|（兀舄r）。如果A與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，則|九E

12、A的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是九妃人九2,川,-'，它們的乘積就是冷E-A最后一個(gè)不變因子dn（兀），亦即dn（%）=（iX'”一“2yH（&Lr）=g（，。）。但dn（九）就是赤EA的最小多項(xiàng)式，所以g（A）=dn（A）=0。反之，若g（A）=0，則A的最小多項(xiàng)式dn（%）整除g（3，因而dn（%）沒(méi)有重根，故A與對(duì)角矩陣相似。，-3-1'例7:設(shè)A=210，試證明：E11>（1）A在復(fù)數(shù)域上可對(duì)角化；（2）A在有理數(shù)域上不可對(duì)角化。證明：f（舄）="EA=/3人2+12舄一8,f'（九）=3禹26赤+12,用輾轉(zhuǎn)相除法可證得（f（舄）,f'（%）=1,故在復(fù)數(shù)域上A相似丁對(duì)角矩陣。（2）若A在有理數(shù)域上可對(duì)角化，那么A的特征值必須都是有理數(shù)，從而fm）有有理根，而f（%）的首項(xiàng)系數(shù)為1,從而f（zj的有理根必為整數(shù)根。由丁f（舄