高一平面向量講義

1、平面向量講義§2、1平面向量得實(shí)際背景及基本概念1. 向量：既有,義有得量叫向量.2. 向量得幾何表示：以4為起點(diǎn),B為終點(diǎn)得向量記作3. 向量得有關(guān)概念：零向量：長(zhǎng)度為得向量叫做零向量，記作單位向量：長(zhǎng)度為得向量叫做單位向量.相等向量:且得向量叫做相等向童.(4)平行向量(共線向量)：方向得向量叫做平行向量，也叫共線向量. 記法：向量日平行于8,記作 規(guī)定：零向量與平行.考點(diǎn)一向量得有關(guān)概念W11判斷下列命題就是否正確，弁說明理由. 若并b,則s定不與£>共線；若珞=及則4、8、C、。四點(diǎn)就是平行四邊形得四個(gè)頂點(diǎn);在平行四邊形ABCD中，一定有機(jī)斑;若向量a與任一向

2、量b平行，則«=0;若a=b,b=g艮1sc若b,bc,利s(?、變式訓(xùn)練1判斷下列命題就是否正確，并說明理由.(1) 若向量a與8同向，且a>b9則a>b.(2) 若向量|,|=|6|,則a與8得長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3) 對(duì)于任意a=b9且a與6得方向相同，則a=b;向量&與向量/>平行，則向量a與8方向相同或相反.考點(diǎn)二向量得表示方法【例2】一輛汽車從4點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)8點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50°走了200km到達(dá)C點(diǎn)、,最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)。點(diǎn).作出向量北、及?、部；(2)求|辦、考點(diǎn)三相等向量

3、與共線向量【例3如圖所示，0就是正六邊形ABCDEF得中心，且芯l=a,床=8,志=c、(1) 與&得模相等得向量有多少個(gè)？(2) 與彳得長(zhǎng)度相等，方向相反得向量有哪些？(3) 與4共線.得向量有哪些？(4) 請(qǐng)一一列出與a,b,c相等得向量.§2、2平面向量得線性運(yùn)算1. 向量得加法法則(1) 三角形法則如圖所示，已知非零向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)4,作7b=每,司0=b,則向量叫做3與b得與(或與向量)，記作,即&+力=為+成?=、上述求兩個(gè)向量與得作圖法則，叫做向量求與得三角形法則.對(duì)于零向量與任一向量a得與有a+0=+=、(2) 平行四邊形法則B如圖所示，已

4、知兩個(gè)不共線向量亂農(nóng)作血=&,而=b,則O.A.B三點(diǎn)不共線，以,為鄰邊作，則對(duì)角線上得向量=+b,這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求與得平行四邊形法則.2. 向量加法得運(yùn)算律交換律:a+8=、(2) 結(jié)合律：(a+/>)+c=、3、相反向量(1) 定義：如果兩個(gè)向量長(zhǎng)度,而方向,那么稱這兩個(gè)向量就是相反向量.(2) ，性質(zhì)：對(duì)于相反向量有：&+(&)=、 若aM互為相反向量，則a=,a+b=、 零向量得相反向量仍就是4、向量得減法(1)定義：a-b=a+(一白)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量得(2) 作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作3a=點(diǎn)8=b,則向量ab=、如圖所示.(

5、3) 幾何意義：如果把兩個(gè)向量得始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量得差就是以戒向量得終點(diǎn)為,被減向量得終點(diǎn)為得向量.例如:衣一湯=、5. 向量數(shù)來運(yùn)算實(shí)數(shù)人與向量&得積就是一個(gè),這種運(yùn)算叫做向量得，記作,其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1) IAa=、，當(dāng)時(shí)與3方向相同KaQr#O)得方向“j;當(dāng)時(shí)、與&方向相反特別地，當(dāng)4=0或a=Q時(shí),0a=或A0=、6. 向量數(shù)來得運(yùn)算律(1) 入(偵=、(2) (44-)a=、(3) A(a+b)=、特別地，有(一人)a=;A(a/>)=、7. 共線向量定理向量s怎手0)與白共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使.8. 向量得線性運(yùn)算向量得、運(yùn)算統(tǒng)稱

6、為向量得線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、A,以及任意實(shí)數(shù)人、1、恒有A(以點(diǎn)土2力)=、考點(diǎn)一運(yùn)用向量加法法則作與向量W11如圖所示，已知向量£、8,求作向量a+b.變式訓(xùn)練1如圖所示，已知向量a、b、g試作與向量a+8+c、考點(diǎn)二運(yùn)用向量加減法法則化簡(jiǎn)向量W2化簡(jiǎn)：命能；赤+方+&；初+赤+3?+左+3、(珞一南一(K?一瑚.(5)(我一成)一面一初;(力+命+辦-成_匹0-枷.變式訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形ABCD中，0就是如與刃得交點(diǎn).北+加;(2) 充+方+如;(3) 北+機(jī)辦;K?+我+淡=、變式訓(xùn)練3如圖所示，。就是平行四邊形48Q?得對(duì)角線AC.陽得交點(diǎn)，設(shè)B=a.3A

7、=b,方C=g求證：8+。一&=湯、考點(diǎn)三向量得共線【例3】設(shè)包,ft?就是兩個(gè)不共線得向量，若向量/»=«；+Aft(AR)與向量n=ei2ey共線，則()A. k=0B.A=1C.k=2D*=!變式訓(xùn)練4已知4位?得三個(gè)頂點(diǎn)4,8,C及平面內(nèi)一點(diǎn)只且扇+鬲+咨衣則()A. P在48C內(nèi)部B. P在/IB。外部C. P在48邊上或其延長(zhǎng)線上D. P在4C邊上考點(diǎn)四：三點(diǎn)共線【例4】?jī)蓚€(gè)非零向量a、8不共線.若4甘=a+h8?=2g+8奴=3(ab)，求證:人B、。三點(diǎn)共線；求實(shí)數(shù)一使ka+b與2*b共線.變式訓(xùn)練5已知向量乩/>,且十8=a+2b,a(=fa

8、+6b,&=la_2b,則一定共線得三點(diǎn)就是()AM、C、DB. AB、CC. AB、DD.A.C、D變式訓(xùn)練6已知平面內(nèi)0,A,B,C四點(diǎn)，其中A,B,C三點(diǎn)共線，且Qa+通,«x+y=§2、3平面向量得基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量基本定理(1) 定理：如果新6?就是同一平面內(nèi)得兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)得向量a實(shí)數(shù)/b,4務(wù)使召=、(2) 基底:把得向量金叫做表示這一平面內(nèi)向量得一組基底.2. 兩向量得夾角與垂直夾角：已知兩個(gè)a與農(nóng)作A=2=b,則=6(0°W8W180°),叫做向量a與8得夾角. 范圍：向量a與6得夾角得范圍就是 當(dāng)8=

9、0°時(shí)技與6、 當(dāng)8=180°時(shí)，a與白、垂直：如果,與8得夾角就是,則稱。與8垂直，記作3. 平面向量得坐標(biāo)表示(1) 向量得正交分解:把一個(gè)向量分解為兩個(gè)得向量，叫作把向量正交分解.(2) 向量得坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與*軸、*軸方向相同得兩個(gè)A/作為基底，對(duì)于平面內(nèi)得一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使得日=,則叫作向量a得坐標(biāo),叫作向量得坐標(biāo)表示.向量坐標(biāo)得求法：在平面直角坐標(biāo)系中，若Ax,y),則冰=若43,必)，83,*2),則成=、4. 平面向量得坐標(biāo)運(yùn)算若名=(*,WM=3,弟，則a+b=,即兩個(gè)向量與得坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)得與.若=(*,WM

10、=3,弟，則ab=,即兩個(gè)向量差得坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)得差.若a=(x,y),4ER,則/la=,即實(shí)數(shù)與向量得積得坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量得相應(yīng)坐標(biāo).5. 兩向量共線得坐標(biāo)表示設(shè)a3,*1),b(X2,yi)當(dāng)ab時(shí)，有.當(dāng)6且xwKO時(shí)，有即兩向量得相應(yīng)坐標(biāo)成比例.6. 若有P=入成，則P與自、月三點(diǎn)共線.當(dāng)4G時(shí)，P位于線段月月得內(nèi)部，特別地A=1時(shí)，P為線段月月得中點(diǎn)；當(dāng)4e時(shí)，P位于線段A月得延長(zhǎng)線上；當(dāng)AG時(shí)，P位于線段R只得反向延長(zhǎng)線上.考點(diǎn)一對(duì)基底概念得理解【例1如果，金就羨平面。內(nèi)兩個(gè)不共線.得向量，那么下列說法中不正確得就是() ER)可以表示平面a內(nèi)得所有向量；

11、 對(duì)于平面a內(nèi)任一向量a,使看=4+&得實(shí)數(shù)對(duì)(A,口)有無窮多個(gè)； 若向量爪©+y與"2®共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人，使得八+g=A(426+/J202)； 若存在實(shí)數(shù)A,“使得4鄉(xiāng)+"切=0,則A=0、A.B.C.D.變式訓(xùn)練1設(shè)©、。就是不共線得兩個(gè)向量，給出下列四組向量：&與+&2&與ft2ei; &2&與4ft2ei；o+金與e&、其中能作為平面內(nèi)所有向量得一組基底得序號(hào)就是(寫出所有滿足條件得序號(hào))考點(diǎn)二用基底表示向量【例2如圖，梯形ABCDW,ABCD,且AB=2CD,分別就

12、是Z?C與初得中點(diǎn)，若能=瓦加6試用亂白表示於、北、灰變式訓(xùn)練2如圖，已知48。中，。為網(wǎng)得中點(diǎn),E,F為8C得三等分點(diǎn)，若AB=a.AC=b.用a,8表示成正衣、考點(diǎn)三平面向量基本定理得應(yīng)用【例31如圖所示，在48C中，點(diǎn)淅就是8C得中點(diǎn)，點(diǎn)0在邊初上，且AN=2NC,所與例相交于點(diǎn)P,求證:4P：PM=4:1、變式訓(xùn)練3如圖所示，已知初8中，點(diǎn)C就是以A為中點(diǎn)得點(diǎn)B得對(duì)稱點(diǎn)，泓=2成DC與"I交于點(diǎn)£；設(shè)湯=匆B=b、(1)用3與白表示向量芯?、3c,若及=&求實(shí)數(shù)4得值.考點(diǎn)四平面向量得坐標(biāo)運(yùn)算【例4已知平面上三點(diǎn)4(2,4),8(0,6),C(8,10),求

13、珞一方;能+2威;左一;變式訓(xùn)練4已知a=(1,2),b=(2,1),求：(1)2a+3/；(2)&38；!&一：白、考點(diǎn)五平面向量得坐標(biāo)表示【例51已知a=(-2,3),b=(3,1),c=(10,-4)，試用風(fēng)力表示久變式訓(xùn)練5設(shè)，、/分別就是與x軸、*軸方向相同得兩個(gè)單位向量，角=i-QDj,b=2i+mj(mCR)，已知ab,求向量a、8得坐標(biāo).考點(diǎn)六平面向量坐標(biāo)得應(yīng)用W6已知。ABCD頂點(diǎn)4(一1,一2),8(3,1),C(5,6)，求頂點(diǎn)。得坐標(biāo).變式訓(xùn)練6已知平行四邊形得三個(gè)頂點(diǎn)得坐標(biāo)分別為(3,7),(4,6),(1,-2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)得坐標(biāo).考點(diǎn)七平面向量共

14、線得坐標(biāo)運(yùn)算【例刀已知名=(1,2),6=(3,2),當(dāng)A為何值時(shí),k&+b與a-3b平行？平行時(shí)它們就是同向還就是反向？變式訓(xùn)練7已知4(2,1),8(0,4),C(1,3),。(5,一3).判斷鬲與如是否共線?如果共線，它們得方向相同還就是相反？考點(diǎn)八平面向量得坐標(biāo)運(yùn)算【例8已知點(diǎn)>4(3,-4)與點(diǎn)8(1,2),點(diǎn)P在直線48上，且|辦=2|鬲|,求點(diǎn)P得坐標(biāo).變式訓(xùn)練8已知點(diǎn)4(1,一2),若向量48與a=(2,3)同向，|為|=2如，求點(diǎn)8得坐標(biāo).考點(diǎn)九利用共線向量求直線得交點(diǎn)【例9如圖，已知點(diǎn)4(4,0),8(4,4),C(2,6),求初與08得交點(diǎn)P得坐標(biāo).變式訓(xùn)練

15、9平面上有4(一2,1),8(1,4),。(4,-3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線48上,且加：成,連接如點(diǎn)£在上,且參彼求f點(diǎn)坐標(biāo).§2、4平面向量得數(shù)量積1. 平面向量數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a與丘我們把數(shù)量叫做a與8得數(shù)量積(或內(nèi)積),記作&b,即3b=Ia|/>|cos3,其中8就是s與/>得夾角.(2) 規(guī)定：零向量與任一向量得數(shù)量積為(3) 投影：設(shè)兩個(gè)非零向量乩8得夾角為。，則向量，在8方向得投影就是,向量白在a方向上得投影就是2. 數(shù)量積得幾何意義以得幾何意義就是數(shù)量積g步等于s得長(zhǎng)度|&|與白在a得方向上得投影得乘積.3. 向量數(shù)量積得

16、運(yùn)算律ab=(交換律)；(Aa)-b=(結(jié)合律);(a+Z>).c=(分配律).4. 平面向量數(shù)量積得坐標(biāo)表示彳;a3,*1),b(*2,y2),頃ab=、即兩個(gè)向量得數(shù)量積等于5. 兩個(gè)向量垂直得坐標(biāo)表示設(shè)兩個(gè)非零向量a=(xi,yi),A=3,yO,則aJL/K=>、6. 平面向量得模(1)向量模公式:設(shè)a=(*,n),則Ia|=、兩點(diǎn)間距離公式:若43,yi),B3,y2),則|珞|=、7. 向量得夾角公式設(shè)兩非零向量a=3,yOM=3,*2),a與8得夾角為8,則cos8=考點(diǎn)一求兩向量得數(shù)量積W11已知言|=4,|引=5,當(dāng)(1)a8;(2)a_L2>；(3)s與8

17、得夾角為30。時(shí)，分別求s與8得數(shù)量積.變式訓(xùn)練1已知正三角形48C得邊長(zhǎng)為1,求：珞擊;志泌;曲寵考點(diǎn)二求向量得模長(zhǎng)【例2】已知|名|=|引=5,向量名與8得夾角為:，求la+引，|占一引、變式訓(xùn)練2已知|=|引=1,|3§20|=3,求|3g|、考點(diǎn)三向量得夾角或垂直問題【例3】設(shè)"與少就是兩個(gè)單位向量，其夾角就是60。，求向量a=2/H-n與/>=2。一3/»得夾角.變式訓(xùn)練3已知|日|=5,|8|=4,且召與8得夾角為60°,則當(dāng)A為何值時(shí)，向量ka-b與a+28垂直？考點(diǎn)四向量得坐標(biāo)運(yùn)算W4已知與8同向M=(1,2),s"=10

18、、求a得坐標(biāo)；若c=(2,1),求a(bc)及(afc、變式訓(xùn)練4若a=(2,3),A=(-1,-2),c=(2,1),則(a8),c=;a(6,G)=考點(diǎn)五向量得夾角問題W5已知&=(1,2)"=(1,"，分別確定實(shí)得取值范圍，使得：(Da與8得夾角為直角；(2) a與6得夾角為鈍角；(3) a與力得夾角為銳角.變式訓(xùn)練5已知a=(1,1)"=(4,1),若，與6得夾角a為鈍角，求4得取值范圍.考點(diǎn)六向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算得應(yīng)用W6已知在48。中，4(2,1)、8(3,2)、。(一3,1),4。為8C邊上得高,求|K?|與點(diǎn)Z?得坐標(biāo).變式訓(xùn)練6以原點(diǎn)與4(

19、5,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角048,Z5=90°,求點(diǎn)8與珞得坐標(biāo).§2、5平面向量應(yīng)用舉例1. 向量方法在幾何中得應(yīng)用(1) 證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)得等價(jià)條件,仍(我0)=0、(2) 證明垂直問題，如證明四邊形就是矩形、正方形等，常用向量垂直得等價(jià)條件:a±b=、(3) 求夾角問題，往往利用向量得夾角公式cose=(4) 求線段得長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量得線性運(yùn)算、向量模得公式:|a|=2. 力向量力向量與前面學(xué)過得自由向量有區(qū)別.(1) 相同點(diǎn)：力與向量都既要考慮又要考慮(2) 不同點(diǎn)：向量與無關(guān)，力與有關(guān)，大小與方向相同得兩個(gè)力，如果不同，那么它們就是不相等得.3. 向量方法在物理中得應(yīng)用(1) 力、速度、加速度、位移都就是(2) 力、