高三數(shù)學復習微專題之《平面向量基本定理系數(shù)“等和線”的應用》

1、衡陽市高中教師數(shù)學交流QQ群：731847633高三數(shù)學復習微專題之平面向雖基本定理系數(shù)“等和線”的應用衡東一中朱業(yè)明一、問題的提出平面向量與代數(shù)、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高.近年，高考、?？贾杏嘘P“等和線定理”(以下簡稱等和線)背景的試題層出不窮.學生在解決此類問題時，往往要通過建系或利用角度與數(shù)量積處理，結果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高.在平時教學中，我們能不能給出一個簡單、有效的方法解決此類問題呢？帶著這個問題，筆者設計本微型專題.二、等和線定理平面內(nèi)一組基地，及任一向量1舄，HdR),若點C在直線AB上或在平行丁AB的直線上，則=k(定值)，反之也成立,我們

2、把直線AB以及直線AB平行的直線稱為“等和線”.(1)當?shù)群途€恰為直線AB時，k=1;(2)當?shù)群途€在。點和直線AB之間時，k在(0,1);(3)當直線AB在。點和等和線之間時，k在(1,E)；(4)當?shù)群途€過O點時，k=0;(5)若兩等和線關丁。點對稱，則定值k互為相反數(shù);(6)定值k的變化與等和線到。點的距離成正比；.xy簡證，如圖1若.WO，那么孕 oAllyOB。一O+從而有-十工=1,即x+y=7.另一方面， 過C點作直線l/AB,在l上任作-點C,連接OCcAB=D,同理可得，以OA，為基底時，OC對應的系數(shù)和依然為.三、定理運用(一)基底起點相同例1:(2017年全國山卷理科第1

3、2題)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以C為圓心且與BD相切的圓上，若=十，則|舄+凡的最大值(A.3B.22C.、5D.2【分析】如圖2,由平面向量基底等和線定理可知，當?shù)群途€l衡陽市數(shù)學學會衡陽市高中教師數(shù)學交流QQ群：731847633AFABBEEF3AB與圓相切時，H最大，此時刀=3，故選 A.ABABAB練習 1:(2006 年湖南卷OM/AB， 點P在由射線的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)運動,且=|xOA|yOB(1)則x的取值范圍是【分析】x0;(2)由平面向量基底等和線定理可知，0 x+y1,結合x=-2，可得練習2:(衡水中學2018屆高三二次模擬)如圖4,邊長為2

4、的正六邊形ABCDEF中， 動圓Q的半徑為1,圓心在線段CD(含短點)上運動，P是圓Q上及其內(nèi)部的動點，設向量H=|mHJn|(m,|n|R),則|JJJ的取值范圍是()A.1,2】B.奴6】C.1.2,5D.1.3,51圖4圖5【分析】如圖|5,設%!%,由等和線結論，m|相=_=2=2.此為m+n1ABAB15 題)如圖 3 所示，OM、射線段OB及AB(不含邊界)(2)當x=-時，y的取值范圍是2(1),根據(jù)題意，很顯然衡陽市高中教師數(shù)學交流QQ群：731847633的最小值；同理，設HTmHnB，由等和線結論，mdn=旦=5.此為m+n2AB的最大值.綜上可知m+n在2,5】.衡陽市數(shù)

5、學學會衡陽市高中教師數(shù)學交流QQ群：731847633（二）基底起點不同例2:（2013年江蘇高考第10題）設D,E分別是AABC的邊AB,BC上的點,且有AD=&AB,BE=3BC,若=汕+此.（九1，此企R）,則九1+此的值為【分析】過點A作.=.，設AF,BC的延長線交于點H，易知AF=FH,即AF=FH,即DF為BC的1中位線，因此，2=2.練習 3:如圖乙在平行四邊形 ABCD 中，M,N 為 CD 的三等分點，S為 AM 與 BN 的交點，P 為邊 AB 上一動點，Q 為 ASMN 內(nèi)一點（含邊界），若.=x|M.=x|M+ +y，則x+y的取值范圍是【分析】如圖|8|所示

6、，作=H,，過|l|作直線|MN|的平行線，由等和線定理（三）基底一方可變例3:在正方形ABCD中，如圖9,E為AB中點，P以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意一點，設=|x|Jy|，則|x|+1的最小值圖9衡陽市數(shù)學學會衡陽市高中教師數(shù)學交流QQ群：73i847633【分析】由題意，作，設=?，直線|AC|與直線|PK|相交與點|D|,則有J+JJ,從而Jy當點Pmax=2，此時，（x+y）min=2,練習4:在平面直角坐標系xoy中，已知點P在曲線r：y=1-jxN0）上，曲線與x軸相交丁點B，與y軸相交丁點C,點D（2,1）和E（1,0）滿足=?十（小R）則|人+日的最小值為.作CHA，

7、令 DI=|XOD|,有=|x） AHxP,由等和線定理，x九十xH=1,所以九十P=x，如圖11,再由等和線定理，得（九+P）min=】2.（四）基底合理調(diào)節(jié)例題4:（2013年高考安徽理科卷）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A,B滿足|OA=|.卜OAOB=2PE的區(qū)域面積是（）A.22B.23C.42【分析】由 IA=11pBAOIJzIA=11pBAOIJzl l可知， OAOA， B B了3.如圖12所示， 當槌0,HNo時,若九+卜=1,則點P位于線段AB上； 當冷0,卜壬0時，若H=1,則點P位于線段AB上；當九主0,卜20時，若一兀+卜=1,則點P位于線段AB上；當九0

8、,k0時，若一H=1,則點P位于線段AB上；又因為*十七1,由等和線定理可知，點P位于矩形ABAB內(nèi)（含邊界）.其面積S=4SAOB=刑3.,由等和線定理，丸B重合時，如圖10,則點集R所表示D.4、3衡陽市數(shù)學學會衡陽市高中教師數(shù)學交流QQ群：731847633練習5:如圖13所示，A,B,C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交丁圓O外的點D,若=mOA+nOB，貝Um+n的取值范圍是，如圖|i4|所示，則|AB|/|AI|BI|,過|O 作直線|I/|AB|,則直線 l,AiBi為以 OA， 為基底的平面向量基本定理系數(shù)等和線，且定值分別為0,-1,由題意CO的延長線與線段BA

9、的延長線交丁圓O外的點D,所以點C在直線l與直線AiBi之間，所以m+n在（-1,0）.31練習6:如圖i5,在扇形OAB中，NAOB=一3,C為弧AB上的一個動點，若=|xOAIyO斗則IX|3|y的取值范圍是，令OB=(、II.3重新調(diào)整基底，|OB|.顯然，當IC在IA點時，經(jīng)過|kJi|的等和線，|d在IB點時經(jīng)過k=3的等和線，這兩個分別是最近跟最遠的等和線，所以系數(shù)和x3yl-i,31.（五）“基底+”高度融合例5:已知三角形AABC中，BC=6,=W+=W+設|f|(x|yHAD|AD|，xy2xyAC=2AB,點D滿足f(x,y)芝f(x,y)包成立，00【分析】衡陽市數(shù)學學會

10、衡陽市高中教師數(shù)學交流QQ群：73i847633則ftx0,y0）的最大值為【分析】衡陽市數(shù)學學會衡陽市高中教師數(shù)學交流QQ群：731847633本題為“基底+阿氏圓”交匯命題.思路1:如圖16所示，以BC為x軸，中垂線為y軸建立直角坐標系，易知點B的軌跡方程是(x5f+y2=16.取AC中點F,延長AB至UE,且AB=BE.于是，f(x,y)芝f(x0,y0)AK|,且有0K*2BG,|因為EF恒過 MCE 重心 H,所以|AK|=2|BG|M2|BH|=4,即f(x,y臨=4.思路2:如圖17所示，同上分析，D亡EF.當AD1EF時，f(x,y)=取得最小值，此時f(x0,y0月AD.易知MBC三AAEF，則|AD|=AH耳r=4.四、解題總結1、確定等值線為1的直線；2、平移(旋轉或伸縮)該線，結合動點的可行域，分析何處取得最大值和