長沙一中第五次考理數(shù)

1、炎德 英才大聯(lián)考 長沙市一中2011屆高三月考試卷（五）數(shù)學（理科）長沙市一中高三理科數(shù)學備課組組稿命題人：蔣楚輝審題人：胡雪文時量：120分鐘滿分：150分（考試范圍：集合、邏輯、算法、函數(shù)、導數(shù)、三角函數(shù)、平面向量與復數(shù)、數(shù)列、推理與應用、不等式、不等式證明、計數(shù)原理、二項式定理、概率）本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁。時量120分鐘。滿分150分。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合A = 2,0,1,集合B = x|XI<a且x Z,則滿足A B的實數(shù)a可以取的一 個值是（）A.4234 i-

2、t r2. 若(1 2x) = a°+ a1x+ a2x + a3x + a4x，貝U |a°|+ |a1|+ |a2|+ |a3|+ |a4|的值為()p-2乂A.3. 如圖，設D是圖中邊長分別為 2和4的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)位于函數(shù) y= x2圖象下方的區(qū)域（陰影部分）,向D內(nèi)隨機拋擲30個點，則落在E內(nèi)的 點的個數(shù)約為（）4. 已知命題p:" a = 1是x>0, x+ a> 2的充分必要條件”，命題 q：xx° R, x0+ X。一 2>0”，則下列命題正確的是（）A. 命題“ pA q”是真命題B. 命題“ pA （n q）”是

3、真命題C. 命題"（n p）A q”是真命題D. 命題“ （n p）A （n q）”是真命題5. 已知 cos。a=¥，則 sinza% （）A.B. 3C.3D.33 36. 已知函數(shù)f(x)=才& >2)則f(log 45)等于(B)J(x+2)(x<2),A.2 5B.4 . 5C.3.5D. 5x-y+2 > 07. 已知實數(shù)x, y滿足線性約束條件w x+y-4 > 0 ,目標函數(shù)z= y ax（a R）,若z取最大gx-y-5 w 0值時的唯一最優(yōu)解是（1,3），則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（0,1）B.（ 1,0）C.（1 ,+

4、s ）D.（卩一1）8. 形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1、2、3、4、5可構成的數(shù)字不重復的五位“波浪數(shù)”的概率為（）1 3112冒亦.面D不二、填空題：本大題共 7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應題號后 的橫線上9幕函數(shù)f(x) = xa( a為常數(shù))的圖象經(jīng)過(3, - 3)，貝U f(x)的解析式是.10. 函數(shù)f(x) = exlnx 1的零點個數(shù)是個.11. 按下圖所示的程序框圖運算：若輸出 k = 2，則輸入x的取值范圍是.開 jtfi彳輔入工 /T 仁0丫1 *肚+ I * *“十1 I_岀-/ ：結束

5、112. 數(shù)列an滿足：a1= 2, a*= 1 (n= 2,3,4，)，貝U a12=.an 113. 已知函數(shù)f(x)=|x 2|,若 a工0且a, b R,都有不等式|a+ b|+ |a b|a|f(x)成立, 則實數(shù)x的取值范圍是.14. 在厶ABC中有如下結論：“若點 M ABC的重心，則 MA + MB + MC = 0”，設a, b, c分別為 ABC的內(nèi)角 A, B, C的對邊，點M ABC的重心.如果a MA + b MB+ 丁 CMC = 0,則內(nèi)角A的大小為；若a = 3，則 ABC的面積為.15. 給定集合 A= a1, a2, a3,an(n N , n>3)，

6、定義 ai+ 引(1 w i<j w n, i, j N )中所有不同值的個數(shù)為集合A兩元素和的容量，用L(A)表示，若A = 2,4,6,8，則L(A)=;若數(shù)列an是等差數(shù)列，設集合 A= a1, a2, a3，am(其中m N*, m為常數(shù))，則L(A) 關于m的表達式為.三、解答題：本大題共 6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16. (本小題滿分12分)若盒中裝有同一型號的燈泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1) 某工人師傅有放回地連續(xù)從該盒中取燈泡3次，每次取一只燈泡，求 2次取到次品的概率；(2) 某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會議室的一只已壞

7、燈泡，每次從中取一燈泡，若是正品則用它更換已壞燈泡，若是次品則將其報廢(不再放回原盒中)，求成功更換會議室的已壞燈泡前取出的次品燈泡只數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.17. (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x) = 2sin®xcos( 3汁+ *( w >0的最小正周期為 4n(1) 求正實數(shù)w的值；(2) 在厶ABC中，內(nèi)角 A、B、C的對邊分別為 a、b、c,且滿足2bcosA = acosC+ ccosA, 求f(A)的值.18. (本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前三項與數(shù)列 bn的前三項對應相等，且a1 + 2a2 + 22a3+ 2n 1an = 8n 對任意的n N*都

8、成立，數(shù)列g+1 bn是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；是否存在k N，使得bk ak (0,1)?請說明理由19. (本小題滿分13分)某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是3元，根據(jù)市場調查，預計每件產(chǎn)品的出廠價為x元(7< xw 10)時，一年的產(chǎn)量為(11 x)2萬件；若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售， 則稱該企業(yè)正常生產(chǎn)；但為了保護環(huán)境，用于污染治理的費用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常 數(shù) a(1 w a w 3).(1) 求該企業(yè)正常生產(chǎn)一年的利潤L(x)與出廠價x的函數(shù)關系式；(2) 當每件產(chǎn)品的出廠價定為多少元時，企業(yè)一年的利潤最大，并求最大利潤20. (本小題滿

9、分13分)x, y (0, +1 1 +設函數(shù)y= f(x)的定義域為(0,+),且在(0, + 上單調遞增，若對任意1 1g都有：f(xy) = f(x) + f(y)成立，數(shù)列an滿足：a1= f(1) + 1, f(右)+ f(+ 27) = 0.2an +1 2an2an + 1 2an設 Sn= a1a2 + aja2 + a3a2 + + a：恂：+ a2+1.(1) 求數(shù)列 an的通項公式，并求 Sn關于n的表達式；(2) 設函數(shù) g(x)對任意 x、y 都有：g(x+ y)= g(x) + g(y) + 2xy，若 g(1) = 1,正項數(shù)列bn 滿足：bn= g(),Tn為數(shù)

10、列bn的前n項和，試比較4Sn與Tn的大小.21. (本小題滿分13分)定義 F(x, y) = (1 + x)y,其中 x, y (0, + g).(1) 令函數(shù)f(x)= F(1 , Iog2(x3+ ax2 + bx+ 1)，其圖象為曲線 C,若存在實數(shù)b使得曲線C 在X0( 4<X0< 1)處有斜率為8的切線，求實數(shù) a的取值范圍；(2) 令函數(shù) g(x) = F(1, log2(ln x 1)ex+ x)，是否存在實數(shù)x° 1 , e,使曲線 y= g(x)在點x= x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由.(3) 當 x, y N ，

11、且 x<y 時，求證：F(x, y)>F(y, x).數(shù)學(理科)教師用卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合A = 2,0,1,集合B = x|xi<a且x Z,則滿足A B的實數(shù)a可以取的一 個值是(A)2. 若(1 2x)4= a°+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4,則 |a°|+ |a1|+ |a2|+ |a3|+ |a4|的值為(C)3. 如圖，設D是圖中邊長分別為 2和4的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)位于函數(shù)y= x2圖象下方的區(qū)域(陰影部分),向D內(nèi)隨機拋擲30個點，

12、則落在E內(nèi)的點的個數(shù)約為(D)4. 已知命題p:“ a = 1是 x>0, x+ a> 2的充分必要條件”，命題 q：xx0 R, x0+ x0 2>0”，則下列命題正確的是(C)A. 命題“ pA q”是真命題B. 命題“ pA (n q)”是真命題C. 命題"(n p)A q”是真命題D. 命題“ (n p)A (n q)”是真命題5. 已知 cosd a=¥，則 $"(¥2 0)的值為(B)6361 12 2A.3B. 3C.3D. 36. 已知函數(shù) f(x) = 2a(x >2)則 f(log45)等于(B)Yj(x+2)

13、(x<2),A.2 5B.4 . 5C.3 , 5D. 5解：'-1<log 45<2 , /.f(log45) = f(log 45 + 2) = f(log480) = 2log480= 4書.廠 x-y+2 > 07. 已知實數(shù)x, y滿足線性約束條件yx+y-4 > 0 ,目標函數(shù)z= y ax(a R),若z取最大匚 2x-y-5 < 0值時的唯一最優(yōu)解是(1,3)，則實數(shù)a的取值范圍是(C)A.(0,1)B.( 1,0)C.(1 ,+s )D.(-m, 1)解：約束條件對應的平面區(qū)域如下圖，而直線x+ y 4= 0與x y+ 2 = 0交

14、于點A(1,3),此時取最大值，故 a>1.8. 形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1、2、3、4、5可構成的數(shù)字不重復的五位“波浪數(shù)”的概率為（D）13112a.6b.20c.面D.石解：當十位與千位是4或5時，共有波浪數(shù)為 a2a3= 12個.當千位是5,十位是3時，萬位只能是4，此時共有2個波浪數(shù).當千位是3，十位是5時，末位只能是 4.此時共有2個12+ 2 + 2 2波浪數(shù).故所求概率P =A5=石選擇題答題卡題號12345678答案ACDCBBCD二、填空題：本大題共 7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應題

15、號后 的橫線上.19幕函數(shù)f(x) = xa( a為常數(shù))的圖象經(jīng)過(3,3)，則f(x)的解析式是f(x)=込10. 函數(shù)f(x) = exlnx 1的零點個數(shù)是 1個11. 按下圖所示的程序框圖運算：若輸出 k = 2，則輸入x的取值范圍是(28,571開姐T輸久耳/上0丫1，*心打I/輸出一譏7T結束解：當輸出k= 2時，應滿足.2x+1 <115，解得28<xw 57.2(2x+1)+1>115112. 數(shù)列an滿足：a1= 2, a*= 1 (n= 2,3,4，)，貝U a12= 1.an 1解:1 1由已知 a1 = 2, a2= 1 =,a12a3 = 1 1a

16、2= 1,1a4=1ar2,可知an是周期為3的周期數(shù)列，貝Ua12 = a3x4 = a3= 1.13. 已知函數(shù)f(x)= |x 2|,若 a工0且a, b R,都有不等式|a+ b|+ |a b|a|f(x)成立, 則實數(shù)x的取值范圍是0,4.解:|a+ b|+ |a b|> |a| f(x)及 aO得 f(x)<|a + b|+ |a b |a恒成立,|a+ b|+ |a b| |a + b + a b|> =2,|a|a|則f(x)< 2，從而|x 2|< 2，解得0< x< 4.14.在厶ABC中有如下結論：“若點M ABC 的重心，則 M

17、A + MB + MC = 0”，設a, b, c分別為 ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊,點M ABC的重心.如果a MA + b MB解:由 a MA + b MB + 于c MC = a MA + b MB +c( MA MB ) = (a- f+3c MC = 0,則內(nèi)角A的大小為才；若a= 3,則厶ABC的面積為.c) MA + (b 亍)MB = 0.又MA與MB不共線，則a一 3 c= b,由余弦定理可求得cosA =，故 a=nS- |bcsinA = |x3 X3 3 冷-牛15. 給定集合 A= a1, a2, a3,，an (n N , n3)，定義 ai+ %(1 &l

18、t; i<j < n, i, j N ) 中所有不同值的個數(shù)為集合 A兩元素和的容量，用 L(A)表示，若A= 2,4,6,8，則L(A)= 5; 若數(shù)列an是等差數(shù)列，設集合 A= a1, a2, a3，am(其中m N*, m為常數(shù))，則L(A) 關于m的表達式為2m 3.解：總 + 4 = 6,2 + 6 = 8,2 + 8= 10,4 + 6= 10,4 + 8 = 12,6 + 8 = 14,/-L(A)= 5.不妨設數(shù)列an是遞增等差數(shù)列可知 a1<a2<a3<-<am,則a1 + a2<a1 + a3<<a1+ am<a

19、2+ am<<am-1+ am,故ai + aj(1 < i<j< m)中至少有 2m 3個不同的數(shù).又據(jù)等差數(shù)列的性質：當i + j< m時，ai + aj = ai+ ai+ji;當 i + j >m 時，a + aj = ai+ j m + am,因此每個和 ai + aj(1 < i<j< m)等于 ai+ ak(2< k< m)中一個,或者等于 ai + am（2w l w m 1）中的一個.故 L（A）= 2m 3.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16. （本小題滿

20、分12分）若盒中裝有同一型號的燈泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.（1）某工人師傅有放回地連續(xù)從該盒中取燈泡3次，每次取一只燈泡，求2次取到次品的概率；（2）某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會議室的一只已壞燈泡，每次從中取一燈泡，若是正品則用它更換已壞燈泡，若是次品則將其報廢（不再放回原盒中），求成功更換會議室的已壞燈泡前取出的次品燈泡只數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.c1 1解：（1）每次取到一只次品的概率P1=Ct=4,則有放回連續(xù)取 3次，其中2次取得次品的概率 p= c3（£）2（1 4） = 64.（5分）（2）依題知X的可能取值為0、1、2、3.（6分）93且 p（x =0）

21、=4，399P（X = 1） =X-=,12 1144'3299P（X = 2）=石巾勺=220，32191八P（X = 3）=石勺巾筍=莎（8分）則X的分布列如下表：X01233991P1444220220(10 分)39913EX =0 X4+1X4+2 五+ 3X210=石.(12 分)17. (本小題滿分12分)n 1已知函數(shù)f(x) = 2sin® xcos( 3汁g)+ 2( ° >0的最小正周期為 4n(1) 求正實數(shù)3的值；(2) 在厶ABC中，內(nèi)角 A、B、C的對邊分別為 a、b、c,且滿足2bcosA = acosC+ ccosA, 求f(

22、A)的值.nn 1解:(1) t f(x) = 2sin 3 x(30S3 xos sin 3 xs) + (2 分) 2 1= 3sin 3xcos3x sin ®x+ =n2 3x1(1 cos2 3 x卅? = sin(2 3C.(5 分)2 n 1又f(x)的最小正周期 T = 23= 4 n貝U 3= 4.(6分)(2)由 2bcosA = acosC+ ccosA 及正弦定理可得 2sin BcosA = sinAcosC+ sinCcosA = sin(A + C).又 A + B + C= n 貝U 2sinBcosA = sinB.(8 分)1n而 sinBM0 貝

23、U cosA = 3.又 A (0, n,故 A = 3.(10 分)丄，八. ，xn十n 1 nn y3八由(1)f(x) = Sin(2+ 6)，從而 f(A) = sin(3%+ 6)= sin =云(12 分)18. (本小題滿分12分)已知數(shù)列a(的前三項與數(shù)列 bn的前三項對應相等，且a1 + 2a2 + 22a3+ 2n 1an = 8n 對任意的n N*都成立，數(shù)列bn+1 bn是等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列an與bn的通項公式；(2) 是否存在k N*，使得bk ak (0,1)?請說明理由.解：(1)已知 a1 + 2a2+ 2備3+ 21 an = 8n(n 3N ).2n

24、2*n2 時，a1 + 2a2 + 2 a3+ + 2 an1 = 8(n 1)(nN ).一得2n- 1an = 8，解得an= 24-n,在中令n = 1,可得a1 = 8= 24-1,所以 an= 24 n(nJ*).(4 分)由題意 b1= 8, b2= 4, b3= 2,所以 b2 b1 = 4, b3 b2= 2,數(shù)列bn +1 bn的公差為2 ( 4)= 2,'bn+ 1 bn= 4+ (n 1) >2= 2n 6,bn= b1 + (b2 b"+ (b3 b2)+ + (bn bn1)2 *=8 + (- 4) + (-2) + + (2n 8)= n

25、- 7n+ 14(n N ).(8 分)(2)bk ak = k2- 7k+ 14-24-k,當 k> 4 時，f(k)= (k-1)2+ 7- 24-k單調遞增，且 f(4) = 1,所以 k> 4 時，f(k)= k2- 7k+ 14-24-k> 1.又 f(1) = f(2)= f(3)= 0，所以，不存在 kej*，使得 bk- ak(0,1).(12 分)19. (本小題滿分13分)某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是3元，根據(jù)市場調查，預計每件產(chǎn)品的出廠價為x元(7< xw 10)時，一年的產(chǎn)量為(11 -x)2萬件；若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售， 則

26、稱該企業(yè)正常生產(chǎn)；但為了保護環(huán)境，用于污染治理的費用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常 數(shù) a(1 w a w 3).(1) 求該企業(yè)正常生產(chǎn)一年的利潤L(x)與出廠價x的函數(shù)關系式；(2) 當每件產(chǎn)品的出廠價定為多少元時，企業(yè)一年的利潤最大，并求最大利潤解：(1)依題意，L(x)= (x-3)(11 -x)2- a(11 -x)2= (x- 3- a)(11 -x)2, xq7,10.(4 分)(2)因為 L '刈=(11-x)2- 2(x- 3- a)(11 - x)= (11 - x)(11 - x-2x+ 6+ 2a)=(11 - x)(17 + 2a - 3x).“、17+2a由 L

27、 'x(= 0，得 x=7,10或 x =3.(6 分)1917+ 2a 23因為 1 w aw 3，所以"3"w3 w -3-.當-3"w 17：氣 7,即1 w aw 2時，L'x)在7,10上恒為負，則L(x)在7,10上為減函數(shù),3 3所以L(x)max= L(7)= 16(4 - a).(9 分)17+ 2a 2317 + 2a 43當 7<3 w虧，即 2<aw3 時，L(x)max= L( 3 )=刃(8 a)3.(12 分)即當1w aw 2時，則每件產(chǎn)品出廠價為 7元時，年利潤最大，為16(4- a)萬元.當 2<

28、;aw 317+ 2a43時，則每件產(chǎn)品出廠價為元時，年利潤最大，為 方(8- a)3萬元.(13分)20. (本小題滿分13分)設函數(shù)y= f(x)的定義域為(0,+g),且在(0,+g上單調遞增，若對任意x, y (0, +g都有：f(xy) = f(x) + f(y)成立，數(shù)列an滿足:1 1 1 1ai= f(1) +1，f(207；石)+ f(2 + 鬲)=0.設 Sn= a2a2 + a3a2 + + a：&+ a2+1.(1)求數(shù)列 an的通項公式，并求 Sn關于n的表達式；設函數(shù)g(x)對任意X、y都有：g(x+ y)= g(x) + g(y) + 2xy，若g(1)

29、= 1,正項數(shù)列bn滿足：b= g&), Tn為數(shù)列bn的前n項和，試比較4Sn與Tn的大小.解：(1)當 x, yqo, + g時，有 f(xy) = f(x) + f(y),令 x= y= 1 得 f(1)= 2f(1)，得 f(1) = 0,所以 a1 = f(1) + 1 = 1.(1 分)因為f(2an +112an)=0，所以f(14a2+111 1 11又因為y = f(x)在(0,+g上是單調增函數(shù)，所以1 - 2= 1,即 一 -2= 4, (3分)4an +1 4anan+1an所以數(shù)列右是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以1益4n - 3,所以an ='

30、4n- 3.2 2 1 1 1_1anan +1 = *一,(4n 3)(4n+ 1)4 4n 3 4n + 1111110= 41 5+ 5 6+14n 314n+ 11=4114n+ 1.(5 分)2由于任意 x, y 取 都有 g(x+ y) = g(x) + g(y) + 2xy，則 g(2x)= 2g(x) + 2x ,11 211212111g(1)=2gq+ 2 (?) = 2【2g(4)+ 2(4)+寸2 gq+尹221121131111=2 2g(23) + 2 (衛(wèi)+ 尹 2= 2 g(列 + 尹歹 + ?= + 寺 += 1,1 1 2 17(歹)=辺，即卩bn=尹.廠丄

31、八14n+ 1又 bn>0,.bn = 2* , (9 分)1 丄11 Tn= 2 + 22 + + 2“= 1 2“，又 4Sn = 1 當 n= 1,2,3,4 時，4n+ 1>2n,.4Sn>Tn； (10 分)當n5時,2n=c+cn+ cn+n 1 n + Cn + Cn>1 + 2n+ 2n(n 1)2/ 2=1+ n + n.22而 n + n+ 1 (4n+ 1) = n 3n=n(n 3)>0，故 4Sn<Tn.(13 分)(用數(shù)學歸納法證明參照計分)21. (本小題滿分13分)定義 F(x, y) = (1 + x)y,其中 x, y (

32、0, +).(1) 令函數(shù)f(x)= F(1 , log2(x3+ ax2 + bx+ 1)，其圖象為曲線 C,若存在實數(shù)b使得曲線C 在xo( 4<xo< 1)處有斜率為8的切線，求實數(shù) a的取值范圍；(2) 令函數(shù) g(x) = F(1, log2(ln x 1)ex+ x)，是否存在實數(shù) x° 1 , e,使曲線 y= g(x)在點x= x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由(3) 當 x, y N ，且 x<y 時，求證：F(x, y)>F(y, x).解：(1)f(x) = F(1, log2(x3 + ax2 + bx+ 1) = x3 + ax2 + bx+ 1,設曲線 C 在 x0( 4<xo< 1)處有斜率為8的切線，又由題設知 Iog2(x3+ ax2 + bx+ 1)>0 , f' x