高三數(shù)學平面向量復習講義

1、高三數(shù)學平面向量復習講義 上高二中:喻國標 一.高考要求:1. 理解向量的概念,掌握向量的幾何表示,了解共線向量的概念.2. 掌握向量的加法和減法.3. 掌握實數(shù)與向量的積,理解兩個向量共線的充要條件.4. 了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐標概念,掌握平面向量的坐標運算.5. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度,角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.6. 掌握平面兩點間的距離公式,以及線段的定比分點和中點坐標公式,并且能熟練運用,掌握平移公式.7. 掌握正弦,余弦定理,并能初步運用它們解斜三角形.二:高考熱點: 本章的重點是向量的概念:向量的兩種表

2、示:共線向量,零向量的概念:向量的運算及坐標表示:線段的定比分點,平移:正弦定理,余弦定理在解斜三角形中的應用等.其中,向量的共線,數(shù)量積,向量的平行與垂直,夾角公式與模,正弦定理和余弦定理的應用則是高考考查的熱點內(nèi)容.三:高考預測: 綜觀近幾年高考試題,預測在今后高考中平面向量的試題主要有兩類:一是考查平面向量的概念和運算,突出考查共線:垂直,向量的模,數(shù)量積以及應用向量的幾何關系判定點,線位置關系:二是突出平面向量的工具作用,主要是與函數(shù),三角函數(shù),解析幾何,立體幾何,解斜三角形的綜合題.四.向量問題解題入口有三:1.幾何法 2.坐標法 3.概念性質(zhì)法5.1 向量的概念與性質(zhì)(1課時)一.

3、 內(nèi)容精講.1. 向量的兩個要素:(1)大小-模; (2)方向2. 向量的表示方法:(1) 幾何表示法:用有向線段表示,但不能說有向線段就是向量.(2) 字母表示法:大寫字母;:小寫字母:(3) 坐標表示法: =(x,y) 的坐標=終點B的坐標減去起點A的坐標.3. 特殊向量(1) 零向量:長度為零的向量叫做零向量,記作: 規(guī)定其方向是任意的.(2) 單位向量:長度等于一個單位長度的向量叫做單位向量.記做為: (x,y)且或(cos sin) (0<<2)4. 相關關系向量:(1) 共線向量(平行向量):方向相同或相反的非零向量,記做.規(guī)定: 與任意一向量平行.(2) 相等向量:長

4、度相等且方向相同,記做= 注意: 零向量與零向量相等; 任意兩個相等的非零向量都可以用一條有向線段表示,并且與有向線段的起點無關.(3) 相反向量: 長度相等方向相反,二. 練習1.已知向量,則一定共線的三點是( )A. A B D B. A B C C. B, C, D D. A, C , D 2.已知向量3與直線3x+4y+5=0的方向向量共線的一個單位向量是( )A (3,4) B (4 , -3) C ( D (4.設向量則( )A (-2,-4) B (-1,-2) C ( 4 ,-1) D (-4 ,1)A. B C D 6.設P= =(-1, 1) +m ( 1, 2), mR

5、, Q= =(1 , -2) +n( 2, 3), nR 是兩個向量集合,則PQ=_7.下列命題中正確的個數(shù)是( )(1) 若(2) 若;(3) (4) 若(5) 若平面內(nèi)四點A,B,C,D,則必有.8.下列條件中,能確定三點A,B,P不共線的是()已知向量（） 若點，能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應滿足的條件：（） 若為直角三角形，且為直角，求實數(shù)m的值 向量的加法和減法運算（二課時）一：內(nèi)容精講：（一） 幾何表示的向量加法和減法向量的加法運算（） 法則三角形法則平行四邊形法則(2)運算法則交換律：結(jié)合律： 兩向量平行時，平行四邊形法則不適用，用三角形法則向量的減法運算（）運算原理：是加法的逆運算，

6、（） 運算法則是連接與終點并指向被減數(shù)的向量 圍成一周順次始終相接的向量（向量鏈）的和為±要探討等號成立的條件（二） 坐標表示的向量加法和減法已知：=(x1, y1) , =(x2, y2) 則（x1x2 y1 y2）；（x1x2 y1 y2）幾何意義：已知故，兩點間距離公式二練習 在直角坐標系中，已知點（，）和點（，），若點在的平分線上且，則 設向量=(，)，=(，)，則（·）（）等于（）（，）（，）（，）已知四邊形是菱形，點在對角線上（不包括端點，）則等于（），已知的三個頂點，及所在平面內(nèi)一點滿足則點及的關系為（）A. P在ABC內(nèi)部 B. P在ABC外部C. P在AB

7、邊所在的直線上 D P在ABC的AC邊的一個三等分點上已知是所在平面內(nèi)一點，若ABC內(nèi)部邊所在直線上邊所在直線上邊所在直線上已知向量集合= =(1, ) +m ( , ), mR , = =( , -2) +n( 2, ), nR 則（）（，）（，），（，）（，）知（）在中是邊的高，則等于（）非零向量若點關于所在直線的對稱點為，則向量為（）設(0<2)已知兩個向量,（） B. 3 C3 D. 211.已知，是不在同一條直線上的三個點，是平面內(nèi)的一定點，是平面內(nèi)的一動點，若則點的軌跡一定過ABC的（）外心內(nèi)心重心垂心實數(shù)與向量的積一 內(nèi)容精講： 實數(shù)與向量的積（） 定義：實數(shù)與向量的積是一

8、個向量，記做，其長度和方向規(guī)定如下：（） 運算律：結(jié)合律：第一分配律：第二分配律：（） 坐標運算記=(x,y) 則 向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)使得 此定理是用向量研究幾何問題的切入點已知=(x1, y1) , =(x2, y2)，則. 平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則對這一平面內(nèi)的任意一個向量有且只有一對實數(shù)使得不共線的向量叫做這個平面內(nèi)所有向量的一組基底 此定理是向量加法運算與共線定理有機結(jié)合此定理是向量運算的坐標表示基礎 向量的坐標表示直角坐標在直角坐標系內(nèi)，分別取軸和軸方向相同的兩個單位向量作為基底，則對平面上任一向量均有唯一的一對實

9、數(shù)，使得，那么（，）就叫做向量的（直角）坐標，記做（，） 與（，）相等的向量的坐標都相等，均為（，）二練習1. 斜三角形ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點為H,實數(shù)m=_2. 已知向量且A,B,C三點共線,則k=_3. 在三角形OAB中, _4. 點P在一平面上作勻速直線運動,速度向量為V=(4,-3)(既點P的運動方向與V相同),且每秒移動的距離為V個單位).設開始時點P的坐標為(-10,10),則5秒后P的坐標為( ) A. (-2,4) B. (-30,25) C. (10,-5) D. (5,-10)5. 在三角形ABC中,設,點D在線段BC上,且,表示為_6. 在三角形AB

10、C內(nèi)求一點P,使取得最小值,該點是三角形的( ) A.垂心 B.內(nèi)心 C.重心 D.外心 7. 在直角坐標平面中,已知點P1 (1, 2) , P2 (2, 22 ), P3 (3, 23 ) , .,Pn (n, 2n ) ,其中n是正整數(shù),對平面上任意一點,記A1 為A0關于點P1的對稱點, A2 為A1關于點P2的對稱點, A0 為An-1關于點Pn的對稱點.(1) 求向量的坐標(2) 當點A0曲線C上移動時,點A2 的軌跡是函數(shù)的圖象,其中是以3為周期的周期函數(shù),且當x (0,時, ,求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,上的解析式.(3) 對任意偶數(shù)n,用n表示向量的坐標.8. 已知向量=(

11、1,2), =(-2,1),k,t為正實數(shù),向量 (1) (2)是否存在k ,t,使, 若存在,求出k的范圍,若不存在,說明理由. 5.4. 向量的數(shù)量積一. 內(nèi)容精講.1. 平面向量的數(shù)量積(1) 向量夾角的概念-只對非零向量而言.兩個非零向量的方向所在的射線形成的角,叫做的夾角 ()(2) 向量的數(shù)量積. 定義:兩個非零向量,他們的夾角為,則叫做向量的數(shù)量積(或內(nèi)積) 記做: 投影:叫做向量在方向上的投影 坐標運算:設=(x1, y1) , =(x2, y2),則2.運算律:設 結(jié)合律: 交換律: 分配律: 符合多項式運算法則,但三個向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.特別地: 和 3.數(shù)量積的性質(zhì)

12、及應用 二.練習1.已知非零向量滿足,則與的關系是() A.相等 B.共線 C.垂直D.不確定2.如果向量滿足,則與的夾角是()A.30°B.60°C.90°D.120°3.若是不共線的兩向量,且,則A,B,C三點共線的充要條件是A. B. C. D.()4. .已知ABC中,當時,ABC為() A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形D.不確定5. 設向量的模等于4, 與的夾角為,則在方向上的投影為() A.2B.-2 C.2D.-26. 已知=(k,2),=(-3,5),且與夾角為鈍角,則k的取值范圍是() A.(,+) B. ,+ C.(-,

13、)D. (-, )7. 已知A(2,3),B(4,2),P是x軸上的動點,當P點坐標為 時,最小,此時APB= .8.已知動點P與定點M(1,1)為起點的向量與向量=(4,-6)垂直,則動點P的軌跡是 .9.已知A(a,0),B(0,a),a>0,點P在線段AB上,且(0t1),則的最大值是 .10. 已知向量的值是 （ ）ABC D111. 若向量則一定滿足 （ ）A.的夾角等于 B. C. D.12. 若|a-b|=,|a|=4,|b|=5，則向量a·b= （ ）A.10B.-10C.10D.1013. ABC的三邊長分別為AB=7，BC=5，CA=6，則的值為 （ ）（A

14、）19（B）19（C）18（D）1414. 在ABC中，有命題=；=；若()×()=0，則ABC是等腰三角形；若×>0，則ABC為銳角三角形上述命題正確的是（ ）A B C D15已知平面上直線l的方向向量=(，)，點O(0，0)和A(1，2)在l上的射影分別是O¢和A¢，則=l，其中l(wèi)= （ ）ABC2D216已知向量=(cosq，sinq),向量=(，1）則|2|的最大值，最小值分別是A 4，0 B4，4 C16，0 D4，0 （ ）17已知、為兩個非零向量，有以下命題：=，·=，|、=|且.其中可以作為=的必要但不充分條件的命題是（

15、 ）ABCD18. 若向量的夾角為，,則向量的模為 ;19設，與的夾角，與的夾角為2，且，則的值為 。20. 設，是兩個垂直的單位向量，且,.（）若，求的值； （）若，求的值。21. 已知點A、B、C的坐標分別為A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），()。（）若，求角的值；（）若=1，求的值。22. 已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，若f (x) ·2的最小值是，求的值參考答案5.1 向量的概念及性質(zhì)1. A 2. K= 3. D 4. D 5. C 6. (-13, -23 ) 7. (1) (2) 8. C2. 解:假設A,B,C三點共線,則 5.2 向量的加法和減法運算1. 2.B 3. A. 4. D. 5. B 6. C. 7. C. 8 B 9. A. 10. B. 11.C. 5.3. 實數(shù)與向量的積.1. M=1 2. K= 3. 4. C 5. 6. C. 8. 5.4 向量的數(shù)量積 1. D 2. B 3. D 4. C. 5. B 6. A . 7. P (3. 0 ) ,450 8.2x-3y+1=0 9. 10. D. 11. B 12. A 13. B. 14.C 15. D 16. D 17. A 18. 6 19. - 20. 解:（） =m