信號與系統(tǒng) 鄭君里 第三版_課件

1、信號與系統(tǒng)第一章 緒論2022-3-141信號與系統(tǒng)課程簡介1 1、課程地位、課程地位 信號與系統(tǒng)課程是各高等院校電子信息工程及通信工程等信號與系統(tǒng)課程是各高等院校電子信息工程及通信工程等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程和主干課程。該課程也是通信與信息系統(tǒng)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程和主干課程。該課程也是通信與信息系統(tǒng)以及信號與信息處理等專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考課程。以及信號與信息處理等專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考課程。 2 2、主要研究的內(nèi)容及實驗安排、主要研究的內(nèi)容及實驗安排 該課程主要討論確定性信號和線性時不變系統(tǒng)的基本概念與基該課程主要討論確定性信號和線性時不變系統(tǒng)的基本概念與基本理論、信號的頻譜分析

2、，以及研究確定性信號經(jīng)線性時不變系統(tǒng)傳本理論、信號的頻譜分析，以及研究確定性信號經(jīng)線性時不變系統(tǒng)傳輸與處理的基本分析方法。從連續(xù)到離散、從時域到變換域、從輸入輸與處理的基本分析方法。從連續(xù)到離散、從時域到變換域、從輸入輸出分析到狀態(tài)變量分析，共八章。輸出分析到狀態(tài)變量分析，共八章。 2022-3-1421、信號與系統(tǒng)（第三版） 鄭君里 高等教育出版社參考書目2、Signals & Systems (Second edition) Alanv.Oppenheim 清華大學(xué)出版社2022-3-143第1章 信號與系統(tǒng)基本概念1.6 線性時不變系統(tǒng)分析方法概述1.1 引論1.2 信號分類和典

3、型信號1.3 信號的運算1.4 信號的分解1.5 系統(tǒng)模型及其分類2022-3-144 1.1 1.1 引論引論信號：一種物理量（電、光、聲）的變化。消息：待傳送的一種以收發(fā)雙方事先約定的方式組成的符號， 如語言、文字、圖像、數(shù)據(jù)等。信息：所接收到的消息中獲取的未知內(nèi)容，即傳輸?shù)男盘柺菐в行畔⒌?。電信號：與消息（語言、文字、圖像、數(shù)據(jù)）相對應(yīng)的變化的電流或 電壓，或電容上的電荷、電感中的磁通等。2022-3-145系統(tǒng)：系統(tǒng)：一組相互有聯(lián)系的事物并具有特定功能的整體。一組相互有聯(lián)系的事物并具有特定功能的整體。 系統(tǒng)可分為物理系統(tǒng)和非物理系統(tǒng)。如：電路系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、機械系統(tǒng)、光學(xué)

4、系統(tǒng)等屬于物理系統(tǒng)；而生物系統(tǒng)、政治體制系統(tǒng)、經(jīng)濟結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、交通系統(tǒng)、氣象系統(tǒng)等屬于非物理系統(tǒng) 。 每個系統(tǒng)都有各自的數(shù)學(xué)模型。兩個不同的系統(tǒng)可能有相同的數(shù)學(xué)模型，甚至物理系統(tǒng)與非物理系統(tǒng)也可能有相同的數(shù)學(xué)模型。將數(shù)學(xué)模型相同的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。 2022-3-146積分器：積分器：vi(t)vo(t)RC 電視系統(tǒng)：電視系統(tǒng)：變換器發(fā)射機消息接收機變換器黑 灰（圖像）（攝像機）信道（空間）（顯像管）消息黑白灰（圖像）白vo(t)vi(t)RC微分器：微分器：2022-3-1471.2 信號分類和典型信號對于各種信號，可以從不同角度進行分類。1 1、確定性信號與隨機性信號、確定性信號與隨機性信

5、號 對于確定的時刻，信號有確定的數(shù)值與之對應(yīng)，這樣的信號稱為 確定性信號。不可預(yù)知的信號稱為隨機信號。2 2、周期信號與非周期信號、周期信號與非周期信號 在規(guī)則信號中又可分為周期信號與非周期信號。所謂周期信號就是依一定時間間隔周而復(fù)始，而且是無始無終的信號。時間上不滿足周而復(fù)始特性的信號稱為非周期信號。1.2.1 1.2.1 信號的分類信號的分類2022-3-1483 3、連續(xù)時間信號與離散時間信號、連續(xù)時間信號與離散時間信號 如果在所討論的時間間隔內(nèi)，對于任意時間值（除若干不連續(xù)點外），都可給出確定的函數(shù)值，這樣的信號稱為連續(xù)時間信號。 在時間的離散點上信號才有值與之對應(yīng)，其它時間無定義，這

6、樣的信號稱為離散時間信號。2022-3-1494 4 特殊形式特殊形式數(shù)字信號：時間不連續(xù)、幅度連續(xù)離散信號：時間不連續(xù)、幅度號也不連續(xù)采樣信 一、指數(shù)信號 指數(shù)信號的表達式為 ( )tftK et0(0)tKe)(tf(0)tKe(0)tKeK2022-3-14101.2.2 典型信號正弦信號和余弦信號二者僅在相位上相差 ，統(tǒng)稱為正弦信號，一般寫作2( )sin()ftKtKf(t)tT2cossinj tetjtcossinj tetjt)(21sintjtjeejt)(21costjtjeet2022-3-1411二、正弦信號三、復(fù)指數(shù)信號三、復(fù)指數(shù)信號 如果指數(shù)信號的指數(shù)因子為一復(fù)數(shù)，

7、則稱為復(fù)指數(shù)信號，其表示式為()( )cossinstjtttf tKeKeKetjKet四、四、Sa(t)函數(shù)（抽樣函數(shù)）函數(shù)（抽樣函數(shù)） 所謂抽樣函數(shù)是指sin t與 t 之比構(gòu)成的函數(shù)，以符號Sa(t)表示tttsin)(Sa)(Sa tt2212022-3-1412 tSa 的性質(zhì)： tSa （1） 是偶函數(shù)，在 t 正負(fù)兩方向振幅都逐漸衰減。Sa( ) t dt0Sa( )2t dt （2） )(Sa tt2212022-3-1413 在信號與系統(tǒng)分析中，經(jīng)常要遇到函數(shù)本身有不連續(xù)點或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點的情況，這類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異函數(shù)或奇異信號。一、單位斜變信號一、單位斜變信號)0

8、( ,)(tttR)( ,)(000ttttttR11t0R(t)1t0t0R(t-t0)t0+1 斜變信號指的是從某一時刻開始隨時間正比例增長的信號。其表示式為 1.2.3 奇異信號奇異信號2022-3-1414二、單位階躍信號二、單位階躍信號)(tu)0(,0t)0( , 1t1t0u(t)2022-3-1415如果開關(guān)S在t = t0 時閉合，則電容上的電壓為u(t - t0) 。波形如下圖所示：u（t- t0 ）t01t0解：解：由于S、E、C 都是理想元件，所以，回路無內(nèi)阻，當(dāng)S 閉合后，C上的電壓會產(chǎn)生跳變，從而形成階躍電壓。即：)(0100)(tutttvc例：圖中假設(shè)例：圖中假

9、設(shè)S S、E E、C C 都是理想元件（內(nèi)阻為都是理想元件（內(nèi)阻為0 0），），當(dāng)當(dāng) t t = 0 = 0 時時S S閉合，求電容閉合，求電容C C上的電壓。上的電壓。CSE=1V+-)(tvc2022-3-1416工程實例 u(t)的性質(zhì)的性質(zhì)：單邊特性，即：0)(00)()(ttfttutf 某些脈沖信號可以用階躍信號來表示。2022-3-1417例例1：Et2)(tG212( )( )( ) ()()22G tf tf tE u tu t所以，矩形脈沖G(t)可表示為因為1( )(),2f tEu t),2()(2tEutf2Et)(1tftE)(2tf22022-3-1418( )

10、( )(1)f tt u tu t或： 1)sgn(21)(ttu例例2：f(t)011t011t)(1tf011t)(2tf例例3：利用階躍信號來表示利用階躍信號來表示“符號函數(shù)符號函數(shù)”（signum）sgn(t)01-1t2022-3-14192 ( ) 1u t10sgn( )10ttt2三、單位沖激信號三、單位沖激信號( ) tt0)(tvc10 我們先從物理概念上理解如何產(chǎn)生沖激函數(shù))(t(1)()(tti0t( )( )Cdvti tCdt例：例：圖中假設(shè)S、E、C都是理 想元件（內(nèi)阻為0），當(dāng) t = 0時S閉合，求回路電流i（t）。C=1Fi(t)SE=1V22t01i(t)

11、演示2022-3-14201. 的定義方法的定義方法)(t（1）用表達式定義( )0 (0)( )1ttt dt 這種定義方式是狄拉克提出來的，因此， 又稱為狄拉克（Dirac）函數(shù)。)(t 同理可以定義 ，即)(0tt 1)()(0)(000dttttttt0（1）t)(0tt 0t（1）)(tt02022-3-1421(2) 用極限定義用極限定義(t)t(1)t212442001( )lim ()()22tu tu t)(t我們可以用各種規(guī)則函數(shù)系列求極限的方法來定義 。例如例如:（a）用矩形脈沖取極限定義用矩形脈沖取極限定義演示2022-3-1422（b）用三角脈沖取極限定義用三角脈沖取

12、極限定義t(1)(t)001( )lim(1) ()()ttu tu tt1演示2022-3-14232222. 2. 沖激函數(shù)的性質(zhì)沖激函數(shù)的性質(zhì))4()()()(00tfdttftt)3()()()()(000tttftttf( ) ( )(0) ( )(1)f ttftdttfdttft)()0()()(綜合式（2）和式（4），可得出如下結(jié)論： 沖激函數(shù)可以把沖激所在位置處的函數(shù)值抽?。êY選）出來。沖激函數(shù)可以把沖激所在位置處的函數(shù)值抽?。êY選）出來。（1）取樣特性）取樣特性)2()0(f)(tf)0(f)(t) 1 ( ) 1 ()0(f)()0(tf2022-3-1424)(t（2）

13、 是偶函數(shù)，即 )()(tt（3）( )td 00()()tt du tt )()(ttudtd00()()du ttttdt（1）)(tt01t0u(t)u(t)與 的關(guān)系：)(t0010tt)(tu( )td )()(00ttudtt)(tu2022-3-1425例：例：00() (2 )tt u tt dt000010tt0 ( )()jtetttdt四、沖激偶函數(shù)四、沖激偶函數(shù) 沖激函數(shù)的微分（階躍函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)）將呈現(xiàn)沖激函數(shù)的微分（階躍函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)）將呈現(xiàn) 正、負(fù)極正、負(fù)極性的一對沖激，稱為沖激偶函數(shù)，以性的一對沖激，稱為沖激偶函數(shù)，以 表示。表示。)(t0001jtjtjttt

14、 teee 000(2 )()t tu ttut2022-3-1426)(tt0)(tt（1）0t1)(ts0dttds )(21210t002022-3-1427沖擊偶的形成)()()(00tfdttftt)()(tt （1）沖激偶是奇函數(shù)，即( ) ( )(0)t f t dtf （2）（3） 0)(dtt 沖激偶的性質(zhì)沖激偶的性質(zhì)2022-3-1428積分積分積分求導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo))(tt00)(tt(1)(ttu)(tu)(t)(t 、 、 和 之間的關(guān)系：)(ttu0t)(tu01t2022-3-14291.3 信號的運算信號的運算 兩個信號的和（或差）仍然是一個信號，它在任意時刻的值等于

15、兩信號在該時刻的值之和（或差），即12( )( )( )f tf tf t12( )( )( )f tf tf t或 兩個信號的積仍然是一個信號，它在任意時刻的值等于兩信號在該時刻的值之積，即)()()(21tftftf( )( )f tKf t1.3.1 信號的相加運算信號的相加運算1.3.2 信號的乘法和數(shù)乘運算信號的乘法和數(shù)乘運算 信號的數(shù)乘運算是指某信號乘以一實常數(shù)K，它是將原信號每一時刻的值都乘以K ，即2022-3-14301.3.3 信號的反褶、時移、尺度變換運算信號的反褶、時移、尺度變換運算 （1）反褶運算）反褶運算( )()f tft以以 t = 0為軸反褶為軸反褶f(t)t

16、-111f(-t)t-111 （2）時移運算）時移運算)()(0ttftft00時，時，f(t)在在 t 軸上整體右移軸上整體右移t00時，時，f(t)在在 t 軸上整體左移軸上整體左移2022-3-1431t0f(t)11t0f(t-t0)1t0t0 +10tf(t+t0)1-t0-t0 +1 （3）尺度變換運算）尺度變換運算)2()(tftf 壓縮壓縮 擴展擴展)2()(tftf-1 0 1tf(t)1f(2t)-1/2 0 1/2t1 -2 0 2t1)2(tf2022-3-1432解法一：先求表達式再畫波形。解法一：先求表達式再畫波形。231220( 22)102210221221tt

17、ftttt 及110( )101011ttf tttt 及)(tf11t例例1-7：信號如下圖所示，求信號如下圖所示，求f(-2t+2)，并畫出波形。并畫出波形。12022-3-143332312111213022ttttt 及)22( tf11t2132例例1-7：信號如下圖所示，求：信號如下圖所示，求f(-2t+2)，并畫出波形。并畫出波形。231220( 22)102210221221ttftttt 及)(tf11t12022-3-1434)1(2)22()2()()(tftftftftf時移尺度反褶解法二：先畫波形再寫表達式。解法二：先畫波形再寫表達式。例例1-7：信號如下圖所示，求：

18、信號如下圖所示，求f(-2t+2)，并畫出波形。并畫出波形。)(tf11t1)( tf 11t10)2(tf 1t2112)22( tf11t21322022-3-14351.3.4 信號的微分與積分運算信號的微分與積分運算 （1）微分運算）微分運算 例例1-8 求下圖所示信號求下圖所示信號f(t)的微分的微分 ，并畫出并畫出的波形。的波形。 )(tf)(tff(t)t110（-1）t110)(tf( ) ( )(1) ( )(1)ftu tu tttt 解：解：f(t) = t u(t) - u(t-1)(tf 信號 f(t) 的微分 仍然是一個信號，它表示信號隨時間變化的變化率。 ( )(

19、1)(1)u tu tt2022-3-1436(2) 積分運算積分運算0)(1tf 解解 : 1）當(dāng) t 1 時，10122)(dtftdftf)()()1( 例例1-10 求下圖所示信號求下圖所示信號f(t)的積分的積分 ，并畫出其波形。并畫出其波形。2022-3-1437所以所以( 1)( )2 ( )(1)2 (1)2( )2(1) (1)ftt u tu tu ttu ttu t0)(1tf 1）當(dāng) t 1 時，10122)(dtf2022-3-14381.4 信號的分解信號的分解（1）任意信號分解為偶分量與奇分量之和）任意信號分解為偶分量與奇分量之和 偶分量定義為偶分量定義為)()(

20、tftfee奇分量定義為奇分量定義為)()(tftfoo)()(21)(:)2()1 (tftftfe)()(21)(:)2()1 (tftftfo任意信號可分解為偶分量與奇分量之和，即任意信號可分解為偶分量與奇分量之和，即( )( )( )(1)eof tftft)2()()()(tftftfoe2022-3-1439)(tfot01/2-1/21-11)(tfet01/2-1)( tf t01-1例例2:t11)(tf)()(tftfo0)(tfe例例1:)(tft0112022-3-1440（2）任意信號分解為脈沖分量）任意信號分解為脈沖分量 任意信號分解為沖激信號的迭加任意信號分解為沖

21、激信號的迭加當(dāng) t = 0 時，第一個矩形脈沖為 )()()0(ttutufttttutuft)()()0(lim0ttft)()0(lim0 一個信號可近似分解為許多脈沖分量之和。這里又一個信號可近似分解為許多脈沖分量之和。這里又分為兩種情況，一是分解為矩形窄脈沖分量，窄脈沖組分為兩種情況，一是分解為矩形窄脈沖分量，窄脈沖組合的極限就是沖激信號的迭加；另一種情況是分解為階合的極限就是沖激信號的迭加；另一種情況是分解為階躍信號分量的迭加。躍信號分量的迭加。tk ) 1(tt2tkt)(tf0)0(f)(tkf2022-3-1441) 1()()(tktutktutkftt2t)(tf0tktk

22、 ) 1(tttktutktutkft) 1()()(lim0ttkttkft)()(lim0當(dāng)當(dāng) t = 時，第時，第 k+1個矩形脈沖為個矩形脈沖為tk將上述將上述0 n個矩形脈沖迭加，個矩形脈沖迭加，就得到就得到f(t)的表達式，即的表達式，即nktttkttkftf00)()(lim)(當(dāng) 時，0t tnkttkdt000lim,tdtftf0)()()()(tftk ) 1(tktt2t0)0(f)(tkf演示2022-3-1442(3)任意信號分解成正交函數(shù)分量任意信號分解成正交函數(shù)分量 如果用正交函數(shù)集表示一個信號，那么，組成信號的各分量如果用正交函數(shù)集表示一個信號，那么，組成信

23、號的各分量就是相互正交的。就是相互正交的。 例如，各次諧波的正弦與余弦信號構(gòu)成的三角函數(shù)集就是正例如，各次諧波的正弦與余弦信號構(gòu)成的三角函數(shù)集就是正交函數(shù)集。任何周期信號交函數(shù)集。任何周期信號f(t)只要滿足狄里赫利條件，就可以由只要滿足狄里赫利條件，就可以由這些三角函數(shù)的線性組合來表示，稱為這些三角函數(shù)的線性組合來表示，稱為f(t)的三角形式的傅里葉的三角形式的傅里葉級數(shù)。同理，級數(shù)。同理， f(t)還可以展開成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。還可以展開成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。2022-3-1443 系統(tǒng)的定義 由若干個相互關(guān)聯(lián)又相互作用的事物組合而成，具有某種或某些特定功能的整體。如通信系統(tǒng)、雷達系

24、統(tǒng)等。系統(tǒng)的概念不僅適用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域，而且還適用于社會科學(xué)。如政治結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟組織等。 眾多領(lǐng)域各不相同的系統(tǒng)都有一個共同點，即所有的系統(tǒng)總是對施加于它的信號(即系統(tǒng)的輸入信號，也可稱激勵)作出響應(yīng)，產(chǎn)生出另外的信號(即系統(tǒng)的輸出信號，也可稱響應(yīng))。系統(tǒng)的功能就體現(xiàn)在什么樣的輸入信號產(chǎn)生怎樣的輸出信號 1.6 系統(tǒng)模型及其分類系統(tǒng)模型及其分類1.6.1 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型CRi(t)L+-vL(t)Ri(t)Lr+-vL(t)( )( )( )LLdi tdi tvtLLdtdt)()()(tridttdiLtvL 對于同一物理系統(tǒng)，在不同條件之下，可得到不同形式的數(shù)學(xué)模型。對

25、于同一物理系統(tǒng)，在不同條件之下，可得到不同形式的數(shù)學(xué)模型。2022-3-1445對于不同的物理系統(tǒng)，可能有相同形式的數(shù)學(xué)模型。對于不同的物理系統(tǒng)，可能有相同形式的數(shù)學(xué)模型。( )dv tFmamdt( )( )Ldi tvtLdtmLF)(tvL)(tv)(timv(t)F2022-3-1446+-x(t)CLRi(t)該系統(tǒng)可建立如下兩種數(shù)學(xué)該系統(tǒng)可建立如下兩種數(shù)學(xué)模型：模型：RtitvtxdttdiLtidttdvCcc)()()()()()(（2）-狀態(tài)方程（兩個一狀態(tài)方程（兩個一 階微分方程組）階微分方程組）dttdxCtidttdiRCdttidLC)()()()(22（1）-輸入輸

26、出方程（一個二階微分方程）輸入輸出方程（一個二階微分方程） 對于同一物理系統(tǒng)，而且在相同的工作條件之下，數(shù)對于同一物理系統(tǒng)，而且在相同的工作條件之下，數(shù)學(xué)模型也不惟一。學(xué)模型也不惟一。2022-3-14471.6.2系統(tǒng)的分類系統(tǒng)的分類:1).連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程2).即時系統(tǒng)(無無記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng))與動態(tài)系統(tǒng)(記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng))即時系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是代數(shù)方程,如電阻電路.動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是微分方程或差分方程,如RC,RL電路.3).集總參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)集總參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常微分方程分布參數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是偏微分方程4

27、).線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)具有迭加性與均勻性(也稱齊次性)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng).不滿足疊加性或均勻性的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng).5).時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)(非時變系統(tǒng))時變系統(tǒng):系統(tǒng)的參數(shù)隨時間變化.時不變系統(tǒng):系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而變化.6).可逆系統(tǒng)與不可逆系統(tǒng)可逆系統(tǒng):不同的激勵產(chǎn)生不同的響應(yīng).不可逆系統(tǒng):不同的激勵產(chǎn)生相同的響應(yīng).對于每個可逆系統(tǒng)都存一個“逆系統(tǒng)”,當(dāng)原系統(tǒng)與此逆系統(tǒng)級聯(lián)組合后,輸出信號與輸入信號相同.例:可逆系統(tǒng): r (t)=3e(t) 其逆系統(tǒng)為: r(t)=e(t)/3.不可逆系統(tǒng):)()(2tetr(當(dāng)激勵e(t)=1和e(t)=-1時,響應(yīng)r(t)均為1.即不同激勵產(chǎn)生

28、相同響應(yīng).故為不可逆系統(tǒng)).7). 單輸入-單輸出系統(tǒng)與多輸入-多輸出系統(tǒng)系統(tǒng)單輸入-單輸出系統(tǒng):只接受一個激勵信號，產(chǎn)生一個響應(yīng)信號. 多輸入-多輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)激勵信號與響應(yīng)信號多于一個. 1.7 線性時不變系統(tǒng)（線性時不變系統(tǒng)（LTI） 線性系統(tǒng)的定義：符合迭加性與均勻性的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的定義：符合迭加性與均勻性的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。系統(tǒng))()(21txtx)()(21tyty)(1tx系統(tǒng))(1ty系統(tǒng))(2tx)(2ty (1) 線性特性線性特性 1. 迭加性迭加性 若：若：1122( )( ),( )( )x ty tx ty t則：則：1212( )( )( )( )

29、x tx ty ty t2022-3-1451)(tx系統(tǒng))(ty系統(tǒng))(tkx)(tky系統(tǒng))()(2211tyktyk)()(2211txktxk)(1tx系統(tǒng))(1ty系統(tǒng))(2tx)(2ty將迭加性與均勻性結(jié)合起來，有將迭加性與均勻性結(jié)合起來，有2. 均勻性均勻性(齊次性齊次性) )()(tytx則：則：)()(tkytkx若：若：若：若：)()(),()(2211tytxtytx則：則：)()()()(22112211tyktyktxktxk2022-3-1452滿足迭加性。故此系統(tǒng)為線性系統(tǒng) 例: 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)： (1) r(t)=te(t)； (2) r(t)=e(

30、t)+2 解 (1) ae(t) tae(t)=ate(t)=a r(t)，滿足齊次性； (2) ae(t) ae(t)+2 ae(t)+2=a r(t) 不滿足齊次性，故不是線性系統(tǒng) e1(t)+e2(t) t e1(t)+e2(t)=t e1(t)+t e 2(t)=r1(t)+r2(t)， ETtx(t)系統(tǒng)Ety(t)ET+t0tx(t-t0)t0系統(tǒng)Ety(t-t0)t0（2）時不變特性）時不變特性)()(tytx則：則：)()(00ttyttx若：若：2022-3-1454(1) r(t)=te(t)； (2) r(t)=sine(t);例: 判斷下列系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)：解 (1

31、)當(dāng)e(t)=e1(t)時,r1(t)=te1(t)e(t)=e2(t)=e1(t-t0)時, r2(t)=te2(t)=te1(t-t0)而 r1(t-t0)=(t-t0)e1(t-t0)由于 r2(t) r1(t-t0),所以系統(tǒng)是時變的。(2)當(dāng)e(t)=e1(t)時,r1(t)=sine1(t)e(t)=e2(t)=e1(t-t0)時,r2(t)=sine2(t)=sine1(t-t0)而 r1(t-t0)=sine1(t-t0)由于 r2(t) = r1(t-t0),所以系統(tǒng)是時不變的。系統(tǒng)x(t)y(t)系統(tǒng)dttdx )(dttdy )(系統(tǒng)tdx0)(tdy0)( （3）微分與

32、積分特性）微分與積分特性設(shè)系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零)()(tytx則：則：,)()(dttdydttdx若：若：ttdydx00)()(2022-3-1456（4）因果性）因果性 因果系統(tǒng)是指系統(tǒng)在t=t0時刻的響應(yīng)只與t=t0和t0+ 時都為零，因而方程式右端的自由時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。 與與n, m相對大小有關(guān)相對大小有關(guān) 與特征根有關(guān)與特征根有關(guān)( )( )( )( )( )( )nmh ttnmh ttnmh tt不包含不包含 及其各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)包含包含包含包含 及其

33、各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)3. h(t) 解的形式解的形式 例：例：已知微分方程為已知微分方程為)(2)()(3)(4)(22txdttdxtydttdydttyd 求沖激響應(yīng)求沖激響應(yīng)h(t)。 解：解：22( )( )43 ( )( )2 ( )d h tdh th tttdtdt)()()(321tueAeAthtt將將 代入微分方程，并比較方程兩邊系數(shù)可求出：代入微分方程，并比較方程兩邊系數(shù)可求出：)()()( ththth、03421, 321特征方程：特征方程：齊次解：齊次解：令令)()()()(22tuctbtadtthd則則)()()(tubtadttdh)()(tuath5, 2,

34、 1cba所以所以2)0(, 1)0(bhah)()(21)(3tueethtt2.6.2 2.6.2 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)系統(tǒng)方程的右端包含階躍函數(shù)系統(tǒng)方程的右端包含階躍函數(shù) ，所以除了齊次解外，還有，所以除了齊次解外，還有特解項特解項。我們也可以根據(jù)線性時不變系統(tǒng)特性，利用我們也可以根據(jù)線性時不變系統(tǒng)特性，利用沖激響應(yīng)與階躍響沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系求階躍響應(yīng)。求階躍響應(yīng)。 系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)，簡稱簡稱階躍響應(yīng)。階躍響應(yīng)。1定義定義 2階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系0tt線性時不變系

35、統(tǒng)滿足線性時不變系統(tǒng)滿足微、積分微、積分特性特性 ( )( )dtu ttt( )( )dtg th ttddg th tt( )( ) =階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的積分，注意積分限階躍響應(yīng)是沖激響應(yīng)的積分，注意積分限 對因果系統(tǒng)：對因果系統(tǒng)： 由上述卷積積分的公式可總結(jié)出卷積積分計算步驟。首先將x(t)和h(t)的自變量t改成 ，即： )()(),()(hthxtx 再進行如下運算（即卷積積分的四步曲）：）：反褶、時移、相乘、反褶、時移、相乘、積分。積分。 反褶：反褶：)()(hh 時移：時移：)()(thhttttth右移左移, 0, 0)(2.7 系統(tǒng)的卷積積分分析系統(tǒng)的卷積積分分析 相乘：相

36、乘：)()(thx 積分：積分：dthxthtx)()()()( 計算卷積積分的關(guān)鍵是定積分限。計算卷積積分的關(guān)鍵是定積分限。dthxthtx)()()()( 例例2-11：已知 , 求 。 12( )( ),( )( )tf tu tf te u t12( )( )( )s tf tf t 解：解： 1( )f102( )f102()f t10t1( )f2()f101）當(dāng) t 0 時， ()0( )1tts ted )1 (te( ) (1) ( )ts te u t s(t) = 0 t10( )s t2()f t10t1( )f12( )( ) ()s tff td 演示 例例212：

37、已知 ，求 12( )( )(),( )( )tf tu tu t Tf te u t12( )( )( )s tf tf t 解：解： 1( )f10T2( )f102()f102()f t10t1( )fT1）當(dāng) t 0 時， s(t) = 0 2）當(dāng) 0 t T 時， ()0( )1tts ted )1 (te2()f t10t1( )fT3）當(dāng) t T 時， ()0( )1Tts ted tTtee)()( ) (1) ( )() ()tt Tts teu tu t Tee u t T )(1 )()1 ()(TtuetueTttt1( )s tT0Te12()f t10t1( )fT

38、2.8 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 2.8.1 卷積積分的代數(shù)性質(zhì)卷積積分的代數(shù)性質(zhì) （1）交換律）交換律)()()()(1221tftftftf （2）分配律）分配律1231213() ()()()()()()f tf tf tf tf tf tf t 分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成并分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。h2(t)h1(t)x(t)()()()(21ththtxty)()(1thtx )()(2thtx （3）結(jié)合律）結(jié)合律)()()()()()(321321tftftftf

39、tftf 結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成串結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。 2.5.2 卷積積分的微分與積分卷積積分的微分與積分)()()()()()(212121tfdttdfdttdftftftfdtd)()()()()()(212121tfdfdftfdfftttdfdttdftftft)()()()(2121)()()()() 1(2) 1 (121tftftftfh2(t)h1(t)x(t)()()()()()()(2121ththtxththtxty)()(1thtx 2.8

40、.3 f(t)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積)()()(tfttf)()()(00ttftttf)()()(tfttftdftutf)()()(推廣：推廣： 2.5.4 卷積積分的時移性質(zhì)卷積積分的時移性質(zhì)12( )( )( ),f tf tf t若則1122122112()()()()()f t tf t tf t tf t tf t tt 解：解：f2(t) = (t)+(t-3)，則 s(t) = f1(t)*(t)+(t-3) = f1(t)*(t)+ f1(t) *(t-3) = f1(t)+ f1(t-3) 補充：已知補充：已知 f1(t)、 f2(t)如圖所

41、示，求如圖所示，求s(t)=f1(t)*f2(t) ，并畫出，并畫出 s(t) 的波形。的波形。)(2tf) 1 (t) 1 (30)(1tf111t0)(ts111t0324第第 3 3 章章 傅里葉變換分析傅里葉變換分析3.4 非周期信號的頻譜分析非周期信號的頻譜分析傅里葉變換傅里葉變換3.2 周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析傅里葉變換傅里葉變換3.3 典型周期信號的頻譜典型周期信號的頻譜3.5、3.6 典型非周期信號的頻譜典型非周期信號的頻譜3.7、3.8 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)3.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換3.9、3.10 取樣信號的傅里葉變換取

42、樣信號的傅里葉變換 從本章起，我們由時域分析進入頻域分析，在頻域分析中，首先討論周期信號的傅里葉級數(shù)，然后討論非周期信號的傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題統(tǒng)稱為傅里葉分析。3.2 周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 任何周期函數(shù)在滿足狄義赫利的條件下，可以展成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)。如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，此時周期函數(shù)所展成的級數(shù)就是“傅里葉級數(shù)”。3.2.1 三角形式的傅里葉級數(shù)三角形式的傅里葉級數(shù)設(shè)周期信號為f(t), 其重復(fù)周期是T1,角頻率11122Tf1110)sincos()(nnntnbtnaatf（

43、1）100)(110TttdttfTa直流分量：余弦分量的幅度：10011cos)(2TttntdtntfTa正弦分量的幅度：10011sin)(2TttntdtntfTb三角形式的傅里葉級數(shù)也可表示成：011( )cos()nnnf tccn t（2）其中22200arctan()nnnnnnbcabcaa以上各式中的積分限一般?。?或10 T1122TT01112201122221( )(cossin)cos()sin)nnnnnnnnnnnnf taantbntabaabntntabab（22200,nnnac cab令令 01110111011( )cos()sin)cos()cos(

44、)sin)sin()cos()nnnnnnnnnnnnnabf tccntntccccntntccnt（則則 1110)sincos()(nnntnbtnaatf根據(jù)歐拉公式：根據(jù)歐拉公式：11111111cos()(),sin()()22jntjntjntjntnteenteej1101( )()22jntjntnnnnnajbajbf taee代入上式得：代入上式得：令11()()2nnF najb則11()()2nnFnajb110111( ) ()()jntjntnf taF neFne3.2.2 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)000Fac)(21nnjnnjbaeFFn1(

45、 )jntnnf tF e（3）011011( )tTjntntFf t edtT其中- 復(fù)振幅nnnncbaF212122)(arctannnnab111011111( )()()()jntjntnnjntnf taF neFneF ne指數(shù)形式：指數(shù)形式：3.2.3 周期信號的頻譜及其特點周期信號的頻譜及其特點1. 周期信號的頻譜周期信號的頻譜ntjnneFtf1)(（3）1110)sincos()(nnntnbtnaatf（1）110)cos()(nnntncctf（2） 為了能既方便又明確地表示一個信號中含有哪些頻率分量，各頻率分量所占的比重怎樣，就可以畫出頻譜圖來直觀地表示。 如果以

46、頻率為橫軸，以幅度或相位為縱軸，繪出 及 等的變化關(guān)系，便可直觀地看出各頻率分量的相對大小和相位情況，這樣的圖就稱為三角形式表示的信號的幅度頻譜幅度頻譜和相位頻譜。相位頻譜。ncn例例3-1 求題圖所示的周期矩形信號的三角形式與指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，并畫求題圖所示的周期矩形信號的三角形式與指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，并畫出各自的頻譜圖。出各自的頻譜圖。解：解：一個周期內(nèi) 的表達式為：)(tf11122202)(TtTETtEtf0)(11010TdttfTa0cos)(21011TntdtntfTa6 , 4 , 205 , 3 , 12sin)(21011nnnEtdtntfTbTn2E2E21T

47、21T0)(tft1Tnncb)5 , 3 , 1(2)arctan(nabnnn因此)5sin513sin31(sin2sin12)(1115 , 3 , 11ttEtnnEtfn或11,3,521( )cos()2nEf tntn6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnE(1,3,5)2(1, 3, 5)2nnn 6, 4, 205, 3, 12)(21nnnjEbjjbaFnnnn111133( )33jtjtjtjtEEEEf tejejjjee (1, 3, 5)nEFnn )5, 3, 1(2)5 , 3 , 1(2nnn)5, 3, 1(nnEFn)5 , 3 , 1(2n

48、n6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnEcnnFE3E5E113151131522n1513111315nc113150E232E52E0113152n2. 周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點（1）離散性 - 頻譜是離散的而不是連續(xù)的，這種頻譜 稱為離散頻譜。（2）諧波性 - 譜線出現(xiàn)在基波頻率 的整數(shù)倍上。1（3）收斂性 - 幅度譜的譜線幅度隨著 而逐漸 衰減到零。n3.2.4 波形的對稱性與諧波特性的關(guān)系波形的對稱性與諧波特性的關(guān)系 已知信號f(t)展為傅里葉級數(shù)的時候，如果f(t)是實函數(shù)而且它的波形滿足某種對稱性，則在傅里葉級數(shù)中有些項將不出現(xiàn)，留下的各項系數(shù)的表示式也將變

49、得比較簡單。波形的對稱性有兩類，一類是對整周期對稱；另一類是對半周期對稱。（1）偶函數(shù)）偶函數(shù))()(tftf20112211111cos)(4cos)(2TTTntdtntfTtdtntfTa1121122( )sin0TTnbf tntdtT 所以，在偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不會有正弦項，只可能含有（直流）和余弦分量。2012210111)(2)(1TTTdttfTdttfTa（2）奇函數(shù)）奇函數(shù))()(tftf1112211011224( )sin( )sinTTTnbf tntdtf tntdtTT 所以，在奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不會含有直流與余弦分量，只可能包含正弦分量。（3）奇諧函數(shù)）奇

50、諧函數(shù))()2(1tfTtf或)()2(1tfTtf1120121( )0TTaf t dtT1121122( )cos0TTnaf tntdtT（3）奇諧函數(shù)）奇諧函數(shù))()2(1tfTtf)(tft21T1T21T例如)2(1Ttft21T1T21T)()2(1tfTtft21T1T21T)5 , 3 , 1(cos)(4)6 ,4,2(020111ntdtntfTnaTn20111)5 , 3 , 1(sin)(4)6 ,4,2(0TnntdtntfTnb 可見，在奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中，只會含有基波和奇次諧波的正弦、余弦分量，而不會包含直流和偶次諧波分量。00a 在偶諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)

51、中，只會含有（直流）與偶次諧波的正弦、余弦分量，而不會包含奇次諧波分量。（4）偶諧函數(shù)）偶諧函數(shù))()2(1tfTtf21T21T41T41T)(tft例例3-2：21T21Tt21T1T21)(tft1T)(tf121T3.2.5 吉伯斯（吉伯斯（Gibbs）現(xiàn)象）現(xiàn)象)(tft2E2E21T8.95%En=1n=3n=5)5sin513sin31(sin2)(111ttEtfn=1:tEtf1sin2)(n=3:)3sin31(sin2)(11ttEtfn=5:)5sin513sin31(sin2)(111ttEtf演示3.3 典型周期信號的頻譜典型周期信號的頻譜3.3.1 周期矩形脈沖信

52、號周期矩形脈沖信號(1) 周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)t)(tf2221T21T1T1TE120120102)(21TEEdtTdttfTaT0nb11221100111442( )coscosSa()2TnnnEaf tntdtEntdtcTTT111112( )Sa() cos2nnEEf tntTT 周期矩形脈沖信號的三角形式傅里葉級數(shù)為 f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為)2(Sa21)(2111nTEajbaFnnnnntjnenTEtf1)2(Sa)(11（2）頻譜圖）頻譜圖)2(Sa211nTEcn)2(Sa11nTEFnnc1TE12TE11224nF

53、1TE11224nc1TE12TE11224nF1TE1122424n24n24（3）頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系）頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系（T1, ） 1.若 不變， 擴大一倍，即 1T8411TTt)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tfE1Tnc4E8E124 2.若 不變， 減小一半，即 1T8411TTt)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tf12TE1Tnc4E8E12 譜線間隔 只與周期 有關(guān)，且與 成反比；零值點頻率 只與 有關(guān)，且與 成反比；而譜線幅度與 和 都有關(guān)系，且與 成反比與 成正比。)2(11T1T1T21T1T3.4 非周期信號的頻譜分析非周期信號的頻

54、譜分析傅里葉變換傅里葉變換t)(tf2221T21T1T1TE1Tt)(tf22E1T1T112T譜線間隔0211T0譜線間隔周期信號的離散譜非周期信號的連續(xù)譜由于,1T0)(1221111TTtjnndtetfTF演示頻譜密度函數(shù)22111111)(limlimTTtjnTnTdtetfTF連續(xù)頻率離散頻率時，當(dāng)11nT則dtetfTFtjnT)(lim11記為)(jFF f(t)dtetftj)(- 非周期信號非周期信號f(t) 的的傅里葉變換傅里葉變換)(tf- 傅里葉逆變換傅里葉逆變換dejFjFtj)(21)(F 1)()()(jejFjF)(jF- 幅度譜幅度譜)(- 相位譜相位譜

55、周期信號：周期信號：ntjnneFtf1)(1001)(11TtttjnndtetfTF傅里葉變換：傅里葉變換：dtetfjFtj)()(- 連續(xù)譜- 離散譜nF與 的關(guān)系：)(jF11lim)(TFjFnT11)(nnTjFF3.5典型非周期信號的頻譜典型非周期信號的頻譜 一、單邊指數(shù)信號一、單邊指數(shù)信號)(000)(tuettetfttjdteedtetfjFtjttj1)()(0)(tf1t221()F j)arctan()(221)(jF)arctan()()(jF/1)(2/2/ 二、雙邊指數(shù)信號二、雙邊指數(shù)信號( )tf te222)(jF)(tf1t)(jF/2 三、對稱矩形脈沖

56、信號三、對稱矩形脈沖信號202)(ttEtf)2(Sa)(22EdtEejFtj)(tfE2/2/tE)(jF2424周期矩形脈沖信號：11Sa()2nnEFTnFjF與)(之間滿足如下關(guān)系：11)(nnTjFF1,2fBB四、符號函數(shù)四、符號函數(shù)10sgn( )10ttt)sgn( t11t)(tf1ttete)(tf1t)(1tf1ttete1)()()sgn()()(1tuetuettftftt2200112)()()(jdteedteetfjFtjttjtF)()()(tuetuetfatat2212)(jjFjjFjF2)(lim)(102)(jF0202)()(jF)(223.6

57、沖激函數(shù)和沖激偶函數(shù)沖激函數(shù)和沖激偶函數(shù)()( )1jtFjt edt 單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，也就是說，在整個頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻的。這種頻譜常常被叫做“均勻譜”或“白色頻譜”。(1）沖激函數(shù)的傅里葉變換）沖激函數(shù)的傅里葉變換)(1tf/12/2/t11()Sa()2F j24240)(tt)1(011)(jF演示(2）沖激函數(shù)的傅里葉逆變換）沖激函數(shù)的傅里葉逆變換)()(1jF)1(21)(1tft21)(21)()(1detftjF或),(21F12() F1)(2tft)(2)(2jF)2()(1tf12/2/t)2(Sa)(1jF2424)(tft1)2()(2)(jF（3）沖激

58、偶的傅里葉變換）沖激偶的傅里葉變換, 1)(tF即：dettj21)(上式兩邊對t 求導(dǎo)得：dejtdtdtj)(21)(F( )tj同理：nnjt)()()(F五、階躍信號五、階躍信號)sgn(2121)(ttuj1)(11() ( )sgn( )22Fju ttFFF)(22)(jF)(3.7 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì)3.7.1 線性線性若11 ( )(),f tF jFF),()(22jFtfF則)()()()(22112211jFajFatfatfa02f()(2)tR(t)=1010F()=R ()=11例如：0(1)t3.7.2 對稱性對稱性又如：)(tfE2/2/

59、tE)(tR2424tE)()(RF2424)(2fE22/2/)2(Sa)()2()2()(ERtutuEtf)2()2(2)()2(Sa)(uuEtRtEtRF 利用傅里葉變換的對稱性，可以將求傅里葉逆變換的問題轉(zhuǎn)化為求傅里葉變利用傅里葉變換的對稱性，可以將求傅里葉逆變換的問題轉(zhuǎn)化為求傅里葉變換來進行。換來進行。1( ) ( )2tf tF tF即1() ( )2fF tF ( )2()F tfF ( )( )f tFF若則F例例3-33-3：求)sgn(1j解：解：( )sgn( )F tjt22 ( )F tjjFtt1221F11sgn( ) ( )2tjF tF3.7.3 奇偶虛實

60、性奇偶虛實性設(shè))()()()()(jXRejFjFj其中)()(arctan)(, )()()(22RXXRjFdtetfjFtj)()(因為dtttfjdtttfjF)sin()()cos()()(所以則dtttfXdtttfR)sin()()()cos()()(兩種特定關(guān)系：兩種特定關(guān)系：1. 若f(t)是實函數(shù)，或虛函數(shù) f(t)= j g(t)，則 是偶函數(shù),)(jF( ) 是奇函數(shù)。2. 若f(t)是 t的 實偶函數(shù)，則 必為 的實偶函數(shù))(jF ()( )F jR 若f(t)是 t 的實奇函數(shù)，則 必為 的虛奇函數(shù))(jF)()(jXjF例如：tetf)(222)(jF（實偶）（實偶）00