二叉樹和三叉樹的期權(quán)定價方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七章 期權(quán)定價的二叉樹和三叉樹方法 在這一章中，我們利用二叉樹和三叉樹方法為期權(quán)定價。在第2.1節(jié)中我們已經(jīng)介紹了利用基礎(chǔ)途徑的二叉樹方法解決期權(quán)價格不確定性的模型。二叉樹方法依賴于對相關(guān)隨機過程的離散化并利用計算和內(nèi)存的結(jié)合以滿足易于管理的要求。我們也在，我們必須把原來的單步格方法擴展到多步格方法，但是我們必須校對格使它能夠反映出相關(guān)模型，且這個模型是連續(xù)時間、連續(xù)狀態(tài)的隨機微分方程。然后我們就可以推廣到多步的二叉樹格和三叉樹格。 在7.1節(jié)中，我們從如何利用在離散概率分布的時刻下隨機價格波動校準(zhǔn)簡單的二叉樹格。從這點來看，弄清楚網(wǎng)格技術(shù)和蒙特卡洛模擬之間的聯(lián)系是

2、非常重要的，而利用時刻匹配技術(shù)縮減方差可以看作一種快捷的抽樣排序。然后我們討論內(nèi)存效率的實現(xiàn)是如何設(shè)計的，美式期權(quán)定價是7.2節(jié)的主題。同時，還是要注重它和其他技術(shù)方法的聯(lián)系?，F(xiàn)在我們要做的本質(zhì)上是一個非常簡單滿足動態(tài)規(guī)劃原則的程序，我們將在第10章程序中進(jìn)一步拓展。在7.3節(jié)中，我們把上述方法推廣到雙標(biāo)的資產(chǎn)的情形，雖然這是一個最簡單的情形，但是我們可以從這個情形中看出內(nèi)存控制是這一情形的基礎(chǔ)。另一種一般化的代表是三叉樹格方法，三叉樹格方法可以作為一種更普遍的有限差分方法（具體將在，最后，我們在7.5節(jié)中具體討論網(wǎng)格化方法的優(yōu)勢和劣勢。期權(quán)定價的二叉樹和三叉樹格方法 圖7.1 單時期二叉樹格

3、7.1 二叉樹定價方法 在，我們已經(jīng)考慮過單步二叉樹方法在無套利情況下的期權(quán)定價，這里我們?yōu)榱朔奖阒苯永脠D7.1。其主要思想是復(fù)制兩個資產(chǎn)，一個是無風(fēng)險資產(chǎn)，另一個是相關(guān)股票。利用這兩項資產(chǎn)，我們可以通過它們的組合塑造任何收益率的資產(chǎn)。如果我們令和為任意兩個價格的角標(biāo)，我們可以看到期權(quán)的價格應(yīng)該為則， （7.1）在公式7.1中和是標(biāo)的資產(chǎn)在漲跌兩種情況的期權(quán)價格，是風(fēng)險中性前提下相關(guān)資產(chǎn)升值的概率。為了尋找一個更好的不確定性模型，我們可以增加分類的情況，復(fù)制期權(quán)收益，甚至我們可以使用更多的資產(chǎn)，或允許中間日期交易。第二種可能性更為實際，并且也是必不可少的，例如，對于在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)可以隨時執(zhí)

4、行的美式期權(quán)來說。對其求極限，就會得到連續(xù)時間模型，并且其最后收斂于Blacksholes方程。當(dāng)Blacksholes方程沒有解析解的時候，我們必須采取一些離散化的途徑，比如說可以通過蒙特卡洛模擬從而估計出風(fēng)險中性條件下預(yù)期收益，或者建立一個自適應(yīng)網(wǎng)格的有限差分方法去解決相應(yīng)的PDE模型。就像我們在圖7.2中展示的一樣，多級二叉樹格方法就是一種可以選擇的離散化方法。我們也可以考慮利用樹圖，但是要注意使計算方法易于控制。二叉樹格定價圖7.2 新生成的二叉樹圖這里我們?yōu)榱朔奖懔?。雖然這個不是必須的，但是在后面我們可以看到，這個假設(shè)令模型簡化了很多即每上一步緊接著下一步都會得到相同的初始價格。正如

5、我們從圖中看到的一樣，我們僅用了有限個價格步。這個有可能就是實施該方法的優(yōu)勢。但是，我們該怎么恰當(dāng)?shù)拇_定和的值呢，我們應(yīng)該利用近似相關(guān)的連續(xù)過程去校對網(wǎng)格。二叉樹格方法應(yīng)該是風(fēng)險中性過程一個良好的相似。因此，我們應(yīng)以這樣的方式參數(shù)設(shè)置晶格，即保持著連續(xù)時間模型的一些基本屬性，這一過程就叫做校準(zhǔn)。從開始，經(jīng)過一個小的時間步，從2.5節(jié)我們可以看到新價格是一個隨機變量，且利用對數(shù)正態(tài)對數(shù)分布的特性，我們得到 (7.2)和 （7.3）一個合理的要求是這些離散的動態(tài)點必須和它們的時刻相匹配。要注意的是，我們只有兩個個等式，卻有3個參數(shù)，p,u和d,所以三個變量有一個為自由變量，我們令，這樣做是為了計算

6、簡便，但不是必須的。在網(wǎng)格點上，我們有：，和（7.2）聯(lián)立得注意，是風(fēng)險中性條件下的概率，它不依賴于真實浮動，為了和方差匹配，在晶格上我們看到從（7.3）中我們也可以看到把最后兩個等式聯(lián)立可得最終得到將帶入最后一個等式的右側(cè)，化簡得最后我們得到這樣的等式其中，利用，可以轉(zhuǎn)化為二次方程：方程的一個跟為利用一階條件拓展，只受的影響，我們可以簡化表達(dá)式，對平方根近似化簡可得因此但是對于二階條件，我們對拓展，最終獲得參數(shù) ， ， ， （7.4）這就是著名的CRR公示這里強調(diào)一下：這個方法以及文獻(xiàn)中所用的參數(shù)都不是唯一的，例如我們可以取，經(jīng)計算可得：， ， 這就是杰諾-拉德參數(shù)，此外，我們一直在努力結(jié)束

7、涉及計算以及線性方程組的計算，通過對數(shù)轉(zhuǎn)換的方法，我們盡量的避免這些困難。在以后，我們都將采用這個方法。 假設(shè)無風(fēng)險利率和波動是時間常數(shù)，我們所得的結(jié)果適用于整個晶格參數(shù)，為一個期權(quán)定價，我們需要對標(biāo)的資產(chǎn)制定一個網(wǎng)格，然后從以往的時間倒推。事實上，期權(quán)價格在到期日的時候已經(jīng)知道了，那時已經(jīng)給出了期權(quán)的收益。因此，我們利用方程(7.1)按每一個時間步倒推遞歸，直到到達(dá)我們的初始節(jié)點。二叉樹格方法在歐式看漲期權(quán)得到最佳的應(yīng)用。例7.1假設(shè)我們假設(shè)為一個歐式看漲期權(quán)定價，存續(xù)期為5個月，利用B-S模型，我們知道結(jié)果是：如果我們想用二叉樹格方法逼近結(jié)果的話，我們首先就要定義格參數(shù)，假定每個時間步為一

8、個月，然后對股票價格產(chǎn)生的格和選項值顯示在圖7.3，在晶格的最右面是期權(quán)的價格，為了便于計算，讓我們考慮如何從最后一層至第二層逐層倒推：在遞歸后，我們看到，由此計算出的期權(quán)價格大約為6.36，結(jié)果不太接近確切價格，一個更好的改進(jìn)近似就是縮小時間步長。為了更好的在MATLAB中實現(xiàn)這一方法，我們需要一個向前倒推的代數(shù)式。令為在節(jié)點的期權(quán)的價值，其中j為第j個時期 ,i表示為在j時期內(nèi)上升了i。我們利用倒推思想，N是我們考慮的時間步，因此總共有N+1格，即整個期權(quán)存續(xù)期。在這樣的定義下，晶格點的標(biāo)的資產(chǎn)價格即為，在存續(xù)期內(nèi)，我們有： ， 時間逆推（下降時間標(biāo)j）,我們得到 （7.5）這些工作在MA

9、TLAB中生成非常簡單，代碼在圖7.4給出，唯一要注意的一點是，矩陣索引在MATLAB中要從一開始，這需要一個微小的調(diào)整。7.3 歐式看漲期權(quán)的二叉樹格function price, lattice = LatticeEurCall(SO,K,r,T,sigma,N) deltaT = T/N; u=exp(sigma * sqrt (deltaT) ; d=l/u; p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d) ; lattice = zeros(N+l,N+l); for i=O:N end for j=N-1 : -1 : 0 for i=O:j lattice(i+l,N+l

10、)=max(O , SO*(u-i)*(d-(N-i) - K); lattice(i+l,j+l) = exp(-r*deltaT) * . (p * lattice(i+2,j+2) + (1-p) * lattice(i+l,j+2); end end price = lattice(1,l) ;圖7.4 MATLAB代碼為歐式看漲期權(quán)定價歐式看漲期權(quán)接收到通常我們所定義的參數(shù)和在此情況下的時間步N，通過增加最后一個參數(shù)，我們得到了更為精確的價格（同一計算時間的增加）。 6.3595 6.1140更有趣的是探討二叉樹方法計算的價格如何收斂于正確價格的。我們可以通過圖7.5的代碼和圖7.6

11、的結(jié)果輸出來看出。在這種情況下，我們看到隨著時間步的增加的震蕩情況。我們剛才討論的執(zhí)行結(jié)果也有一些缺陷。首先，它使用的是一個大型的矩陣存儲格，但是其中近一半為空，我們把返回的整個存儲格作為一個輸出參數(shù)，這個也許對與之相關(guān)的圖7.3非常有用，但是可能在實際運用中毫無作用，實際上為我們只需要連續(xù)的兩個存儲層存儲所需資料就能有所改善。在內(nèi)循環(huán)中，我們用貼現(xiàn)系數(shù)乘以時間的風(fēng)險中性概率，我們可以通過循環(huán)外計算節(jié)省時間。我們將努力在7.3節(jié)中進(jìn)行改進(jìn)，在下一節(jié)中，我們將把二叉樹方法運用到其它非標(biāo)準(zhǔn)型期權(quán)定價中。C0mpLatticeBLS.m SO = 50; K = 50; r = 0.1; sigma

12、 = 0.4; T = 5/12; N=50 ; BlsC = blsprice (SO,K,r ,T, Sigma) ; LatticeC = zeros(1,N); for i=(l:N) end plot(l:N, ones(l,N)*BlsC); hold on; plot(l:N, LatticeC); Latt iceC (i) = Latt iceEurCal1 (SO, K , r , T, sigma, i)圖7.5 腳本檢查減少的二叉樹格的精確性圖7.6 二叉樹方法中精確價格和增加了時間步后相似價格的差距7.1.2 把倆者結(jié)合起來，為后付費期權(quán)定價在這里，我們無紅利股票的付

13、費后期權(quán) 這個例子是建立在（參考文獻(xiàn)5 第13章 練習(xí)11）。后付費期權(quán)的特點是預(yù)先不支付擔(dān)保金，當(dāng)合約成立以后，將在以后支付。如果期權(quán)的存期滿后，則期權(quán)必須執(zhí)行，并歸還擔(dān)保金，否則期權(quán)就毫無價值可言，因為沒有擔(dān)保金。請注意，期權(quán)持有者的凈盈利可以是負(fù)數(shù)，當(dāng)期權(quán)的收益小于擔(dān)保金的時候就會出現(xiàn)凈盈利為負(fù)。在無套利的情況下，如果凈回報總是為負(fù)，我們不能擁有一份在時刻價值為0的合約，我們怎么樣才能找到公平的擔(dān)保金價值呢？給出一個擔(dān)保金為，則回報是：對于每一個給定的價格，我們都可以利用二叉樹方法算出期權(quán)價格，現(xiàn)在我們必須尋找到一個值，使得在風(fēng)險中性的前提下，于相關(guān)的期望回報為0：注意這里的貼現(xiàn)因子，因

14、為利率是恒定的，因此貼現(xiàn)因子并沒有任何作用。為了解決這個含的方程，我們對晶格利用二分法解決非線性方程組（見，我們建立一個函數(shù)對給定條件下的期望進(jìn)行估計；MATLAB代碼在圖7.7中給出。讓我們考慮一個標(biāo)的資產(chǎn)為股票的期權(quán)，股票的價格為12美元，波動率為20%；無風(fēng)險利率為10%；執(zhí)行價格為14美元；存續(xù)期為10個月。我們用二叉樹方法為其定價，取時間步長為一個月，所以總共有10個時間步。當(dāng)給定的時候，我們可以建立匿名函數(shù)返回貼現(xiàn)后的回報。然后我們利用二分法，以fzero為出發(fā)點進(jìn)行探討。f = (PI Lll(P,12,14,0.1, 0.2, 10/12, 10) f = (P) Lll(P,

15、l2,14,0.1, 0.2, 10/12, 10) fzero(f ,2) ans 2.0432exercise 11 chapter 13 from Luenberger, Investment Science % exercise 11, chapter 13, from Luenberger, Investment Sciencefunction ExpPayoff = L11(premium,S0,K,r,sigma,T,N)deltaT = T/N;u=exp(sigma * sqrt(deltaT);d=1/u;p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d);lattic

16、e = zeros(N+1,N+1);for i=0:N if (S0*(ui)*(d(N-i) = K) lattice(i+1,N+1)=S0*(ui)*(d(N-i) - K - premium; endendfor j=N-1:-1:0 for i=0:j lattice(i+1,j+1) = p * lattice(i+2,j+2) + (1-p) * lattice(i+1,j+2); endendExpPayoff = lattice(1,1);圖7.7 用二叉樹方法為后支付期權(quán)定價的MATLAB代碼7.1.3 二叉樹方法的一個執(zhí)行改進(jìn)我們原來使用過的改進(jìn)后的二叉樹方法現(xiàn)在也可以

17、改進(jìn)了（從CPU運行時間和內(nèi)存要求上）。首先，循環(huán)中沒有必要重復(fù)計算貼現(xiàn)的概率，我們可以乘以貼現(xiàn)因子和概率一次來計算。此外，我們可以看到，隨著對二叉樹晶格的校準(zhǔn)，即令ud=1，我們可以使用向量而不是二維矩陣來記憶資產(chǎn)價格從而節(jié)約存儲。例如在圖7.3中，我們看到只有11個不同的值用于標(biāo)的資產(chǎn)價格。用此種格校準(zhǔn)，如果有N個時間步，則我們就有了2N+1個不同的價格。因此，他們可以存儲在單一列中，可以節(jié)省相當(dāng)大的存儲空間。如果我們需要1000步來準(zhǔn)確估計，那么1000*1000的矩陣就和2001項的向量有了很大的差距。一個可行性方案存儲價格的方法可以見圖7.8。這些數(shù)字如圖所示是在矢量的位置。1是存儲

18、中的最小值，造成步驟序列是下跌序列。我們可以看到奇數(shù)項對應(yīng)的是最后一層，偶數(shù)項對應(yīng)的是倒數(shù)第二層。在格上是奇數(shù)還是偶數(shù)取決于時間步。圖7.8 節(jié)省存儲的二叉樹格 同樣方法可以用來存儲期權(quán)價值。原則上，我們應(yīng)該使用倆個向量對應(yīng)時間的連續(xù)倆個層。但是，我們可以利用讓偶數(shù)的元素一層，奇數(shù)的元素另一層，這樣就可以使用含有2N+1個元素的向量了。由此產(chǎn)生的代碼可以看圖7.9。下面是我們上述工作的一些評論。 *我們預(yù)先計算的，包括貼現(xiàn)概率等等的數(shù)量不變（在代碼第一部分）。 *當(dāng)我們編寫標(biāo)的資產(chǎn)價格的載體SVals時，我們從最小的元素開始，即；然后乘以u;為了更好的準(zhǔn)確性，最好把存到中間元素SVals（N+

19、1）中，然后繼續(xù)正推或者倒推。 *注意的是我們在與調(diào)用值（通過索引）計算的時候分為2步，其數(shù)額為交替奇數(shù)和偶數(shù)索引值連續(xù)對應(yīng)層。 *當(dāng)?shù)狡跁r間為T的時候，我們只須考慮CVals數(shù)組中的2（N-T）+1個核心元素。期權(quán)的價格是儲存在格中的，它對應(yīng)的是與之相對應(yīng)的格位置。我們可以檢查一下一個計算上更有效率的版本。blsprice(50,50,0.1,5/12,0.4) ans = function price = SmartEurLattice(S0,K,r,T,sigma,N)% Precompute invariant quantitiesdeltaT = T/N;u=exp(sigma *

20、sqrt(deltaT);d=1/u;p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d);discount = exp(-r*deltaT);p_u = discount*p;p_d = discount*(1-p);% set up S valuesSVals = zeros(2*N+1,1);SVals(1) = S0*dN;for i=2:2*N+1 SVals(i) = u*SVals(i-1);end% set up terminal CALL valuesCVals = zeros(2*N+1,1);for i=1:2:2*N+1 CVals(i) = max(SVals(i)

21、-K,0);end% work backwardsfor tau=1:N for i= (tau+1):2:(2*N+1-tau) CVals(i) = p_u*CVals(i+1) + p_d*CVals(i-1); endendprice = CVals(N+1);SVals(i) = u*SVals(i-l); CVals(i) = max(SVals(i)-K,O) ; for i= (tau+l):2: (2*N+l-tau) end CVals(i) = p-u*CVals(i+l) + p-d*CVals(i-l) ; end price = CVals(N+l);6.1165

22、tic,LatticeEurCa11(50,50,0.1,5/12,0.4,2000,toc)ans = 6.1159 Elapsed time is 0. seconds. tic,SmartEurLattice(50,50,0.1,5/12,0.4,2000),toc ans = 6.1159 Elapsed time is 0. seconds.圖7.9 歐式看漲期權(quán)二叉樹方法的改進(jìn)代碼 我們可以通過矢量代碼尋求進(jìn)一步的改善，或者采取不同的方法。我們不會追求這樣的方法以避免模糊的代碼，但是我們把握容易的方法以尋求進(jìn)一步改進(jìn)。也許在節(jié)省CPU處理時間上效果并不明顯，但是當(dāng)處理多維期權(quán)定價的

23、時候?qū)?nèi)存的節(jié)省就顯得非常必要。7.2 用二叉樹方法對美式期權(quán)定價 利用二叉樹技術(shù)為美式期權(quán)定價我們已經(jīng)在上一節(jié)講過，是相當(dāng)簡單的。唯一個關(guān)鍵點就是如何解釋早期的運動 相對應(yīng)的看漲期權(quán)我們不敢興趣，因為我們可以證明，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行時沒有意義的，除非在期權(quán)存續(xù)期內(nèi)存在股息支付。在這里，我們解決的是標(biāo)的資產(chǎn)為無紅利支付股票的普通美式看跌期權(quán)的定價問題?？紤]在最后一個晶格層的點（1,N）。如果期權(quán)獲利，這顯然是最佳的執(zhí)行點。因此，在最后一層我們有：是該節(jié)點的標(biāo)的資產(chǎn)價格?，F(xiàn)在我們考慮一個在倒數(shù)第二層的點。如果期權(quán)沒有獲利即，我們就不執(zhí)行。如果期權(quán)已經(jīng)盈利，我們就想知道是現(xiàn)在立即執(zhí)行好，還是將來

24、在某個機會執(zhí)行獲取更大的收益更好。換句話說，我們必須解決一個最優(yōu)停止問題，在每個時間步上，我們必須觀察這個動態(tài)系統(tǒng)，從而決定是否應(yīng)該立即執(zhí)行，以保持現(xiàn)有收益，或者繼續(xù)存有期權(quán)。解決這個問題有個簡單的方法，就是通過比較直接的回報（期權(quán)的內(nèi)在價值）和繼續(xù)持有的價值。如果我們繼續(xù)持有資產(chǎn)，我們擁有的資產(chǎn)價值為：（備注：相應(yīng)的看漲期權(quán)我們不感興趣，因為可以證明，提前執(zhí)行是從來沒有最優(yōu)選擇的，除非股息在期權(quán)的存續(xù)期支付。）這里和都是風(fēng)險中性概率，我們應(yīng)該執(zhí)行，如果內(nèi)在價值大于繼續(xù)持有的價值。因此期權(quán)在從第二到最后一層節(jié)點上的價值為同樣的事情會在任意層的遞歸過程中發(fā)生。這意味著，我們應(yīng)該從最后一層開始，在

25、那里期權(quán)的價值就是期權(quán)的收益。然后我們應(yīng)該對時間倒推通過對通常期望稍加修改的方程（7.5） （7.6）這種想法看似簡單，但它是一個所謂動態(tài)規(guī)劃原則的普遍運用。我們將會在第10章看到動態(tài)規(guī)劃原則在理論上多么的有效，但是有時卻由于”維數(shù)災(zāi)”而很難運用。在二叉樹格中，我們使用了一個對相關(guān)隨機過程的簡單離散化，動態(tài)規(guī)劃看起來微不足道。事實上，我們的推理有些誤導(dǎo)，因為我們已經(jīng)采取了期權(quán)持有的觀點是愿意行使其期權(quán)的最佳狀態(tài)。但我們要問為什么我們只注重預(yù)期價值，而忽略風(fēng)險厭惡。一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碛善鋵崨]那么簡單，它應(yīng)該包括無套利理論和期權(quán)賣方應(yīng)該也關(guān)系他最糟糕的情況，就是期權(quán)持有人最優(yōu)化執(zhí)行他的期權(quán)。撇開理論的問

26、題，其實很容易采用我們已經(jīng)做出來的歐式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)。結(jié)果代碼顯示在圖7.10.我們以不同的方式輕微初始化晶格，但唯一顯著的變化就是后面的時間步長，我們比較了持有價值和內(nèi)在價值。金融工具箱為我們提供了一個binprice函數(shù)，利用該函數(shù)可以給普通美式看漲和看跌期權(quán)定價且允許連續(xù)紅利。我們可以通過比較美式看跌期權(quán)格定價和binprice去檢驗我們的實現(xiàn)： SO = 50; K = 50; r = 0 . 0 5 ; T = 5/12; sigma = 0.4; N = 1000; price = AmPut Lattice (SO, K, r , T , sigma, N) price

27、= p, 01 = binprice(SO,K,r,T,T/N,sigma,O); 4.6739 416 OPTION PRICING BY BINOMIAL AND TRINOMIAL LATTICESfunction price = AmPutLattice(SO,K,r,T,sigma,N) % Precompute invariant quantities deltaT = T/N; u=exp(sigma * sqrt(de1taT) ; d=l/u; p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d) ; discount = exp(-r*deltaT); p-u = dis

28、count*p; p-d = discount*(l-p) ; % set up S values SVals = zeros (2*N+1,1 ; SVals(N+l) = SO; for i=l:N SVals(N+l+i) = u*SVals(N+i); SVals (N+l-i) = d*SVals (N+2-i) ; end % set up terminal values PVals = zeros (2*N+1,1) ; for i=1:2:2*N+1 end % work backwards for tau=l:N PVals(i) = max(K-SVals(i) ,O) ;

29、 for i= (tau+l) :2: (2*N+l-tau) hold = p-u*PVals(i+l) + p-d*PVals(i-l); PVals(i) = max(hold, K-SVals(i); end end price = PVals(N+l);圖7.10 二叉樹方法為美式看跌期權(quán)定價的matlab代碼。 o ( l , l ) ans = 4.6739該函數(shù)binprice需要一個標(biāo)志，表明如果選擇看跌（標(biāo)志設(shè)置為0）或選擇看漲（標(biāo)志設(shè)置為1）。此條件為上面條件的一個快速反應(yīng)。這里計算函數(shù)binprice需要期權(quán)的存續(xù)期T和時間步長，令。我們忽略了可用于分紅比例的期權(quán)參數(shù)。

30、輸出的binprice是倆個價格，一個是標(biāo)的資產(chǎn)的價格，一個是期權(quán)的價值；重要的一點是當(dāng)時間步很小的時候，利用分號控制屏幕上的輸出。7.3 利用二叉樹方法為雙標(biāo)的期權(quán)定價為了說明晶格技術(shù)擴展到多維期權(quán)，這里我們考慮兩種資產(chǎn)的美式利差期權(quán)。這種期權(quán)的回報為：基本方法可以推廣到許多種期權(quán)，但是不包括強依賴路徑的期權(quán)。為了進(jìn)一步推廣，我們也考慮持續(xù)股息收益率和。其實我們并沒有對問題進(jìn)行很大的改變，因為我們只是調(diào)整了風(fēng)險中性的動態(tài)，這里我們關(guān)于它的方程（2.42）。這里兩個維納過程是相互關(guān)聯(lián)的，且（見為了避免我們在校準(zhǔn)過程中涉及到非線性問題所遇到的困難，我們對資產(chǎn)價格進(jìn)行對數(shù)化處理。令 ，利用伊藤引理

31、，我們得到兩個隨機微分方程：這里現(xiàn)在，作為典型的二叉樹格，我們假設(shè)這兩個資產(chǎn)上升或者下降在價格方面的對數(shù)數(shù)額為，校準(zhǔn)格。我們對一 ,二階的距進(jìn)行匹配。這兩只股票可能上行或者低走。因此每個節(jié)點有4個數(shù)值和4個概率，。我們首先需要一個關(guān)于增量預(yù)期的匹配條件：這里我們要區(qū)別隨機變量和他們的現(xiàn)值。然后我們需要一個相似的二階條件： ，這里我們用到了常用恒等式，我們也忽略了高階無窮小的。當(dāng)概率趨近于1的時候，這些方程將被極大的簡化：， 我們還應(yīng)該說明協(xié)方差，以及與它等價的交叉向量：現(xiàn)在我們對4個未知概率有4個等式：這些方程可以通過反轉(zhuǎn)矩陣解決，或者通過適當(dāng)?shù)木€性方程組組合。得出：這些條件有個直觀的解釋。就

32、是當(dāng)相對波動較大的時候，與其正相關(guān)的概率也跳躍較大。例如在向上浮動，向下浮動的概率下，即成為一個負(fù)標(biāo)志（即向上浮動越大，就越向下跳），并呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，使得這一聯(lián)動成為可能，類似的考慮也適合于p， d ，u 。即當(dāng)p，d，u越小，正相關(guān)的浮動就越大。二叉樹格方法的需要仔細(xì)的內(nèi)存管理控制，因為我們不能隨意的存儲一個多維矩陣。由于上線倆個資產(chǎn)的浮動的絕對值是相同的，我們就可以利用我在已在，在二叉樹方法中，我們運用的是價格，不是價格的對數(shù)。因此，上升的價格為：這里。概率的百分號在主循環(huán)之外。兩個相關(guān)資產(chǎn)的價值存儲在兩個向量S1val和S2vals，這個定價的方法完全相似于對普通期權(quán)的定價。期權(quán)的價格將

33、存儲于二叉樹格矩陣中，這個矩陣經(jīng)過期權(quán)收益的初始化，這里令i指資產(chǎn)1，j指資產(chǎn)2。我們可以用兩個連續(xù)的一次矩陣，因此奇數(shù)層和偶數(shù)層都是連續(xù)層且交替使用。因為這是一個美式期權(quán)，我們在風(fēng)險中性的前提下計算出來的繼續(xù)持有的價值要和與期權(quán)的內(nèi)在價值進(jìn)行比較。為了檢測執(zhí)行的具體情況，我們用下面這個例子 該例子引用于（藏考文獻(xiàn)一 p47-51） s10 = 100; s20 = 100; K = 1; r = 0 . 0 6 ; sigmal = 0.2; sigma2 = 0.3; rho = 0.5; q l = 0.03; q2 = 0.04; AmSpreadLattice (S10 ,S20 ,

34、K,r ,T, sigmal , sigma2,rho ,ql .q2,N) T = 1; N = 3 ; ans = 10.0448function price = AmSpreadLattice 610, S20 ,K ,r ,T, sigma1 , sigma2 ,rho ,ql, q2, N) 1 Precompute invariant quantities deltaT = T/N; nu1 = r - ql - 0.5*sigmal-2; nu2 = r - q2 - 0.5*sigma2-2; ul = exp(sigmal*sqrt(deltaT) ; dl = l / u

35、l ; u2 = exp(sigma2*sqrt(deltaT); d2 = l/u2; discount = exp(-r*deltaT) ; p-uu = discount*O.25*(1 + sqrt(deltaT)*(nul/sigmal + nu2/sigma2) + rho); p-ud = discount*O.25*(1 + sqrt(deltaT)*(nul/sigmal - nu2/sigma2) - rho); p-du = discount*0.25*(1 + sqrt(deltaT)*(-nul/sigmal + nu2/sigma2) - rho); p-dd =

36、discount*O.25*(1 + sqrt(deltaT)*(-nul/sigmal - nu2/sigma2) + rho); % set up S values Slvals = zeros(2*N+l,l); S2vals = zeros(2*N+1,1) ; Slvals(1) = SlO*dl-N; S2vals(l) = S20*d2-N; for i=2:2*N+1 Slvals(i) = ul*Slvals(i-l) ; S2vals(i) = u2*S2vals(i-l) ; end % set up terminal values Cvals = zeros(2*N+1

37、,2*N+i); for i=1:2:2*N+1 for j=1: 2 : 2*N+1 end end % roll back for tau= 1 : N Cvals(i, j) = max(Slvals(i)-S2vals(j)-K,O); for i= (tau+l) :2: (2*N+l-tau) for j= (tau+l) :2: (2*N+l-tau) hold = p-uu * Cvals(i+l,j+l) + p-ud * Cvals(i+l,j-1) + . p-du * Cvals(i-l,j+l) + p-dd * Cvals(i-1,j-1); Cvals(i,j)

38、= max(ho1d. Slvals(i) - S2vals(j) - K); end end end price = Cvals(N+l,N+l);圖7.11 利用二叉樹方法給美式利差期權(quán)定價的matlab代碼 顯然，三個步驟是不夠獲得可以接受的近似結(jié)果的，但是通過層與層檢查，并通過這個例子了解矩陣Cvals管理存儲格。在matlab中，我們可以逐步調(diào)試，就可以顯示我們得到的基本信息。最初的晶格是為清晰度準(zhǔn)備的，我們用一個星號標(biāo)記其中無關(guān)的數(shù)據(jù)（當(dāng)顯示與調(diào)試你會看到一些數(shù)字有Cvals）:經(jīng)過一次循環(huán)，一次次逼近結(jié)果，相關(guān)數(shù)據(jù)是：請注意，新的價值是作為臨近4個值的平均值獲得的，其中存儲的數(shù)據(jù)

39、在下一時間層，然后回到一個步驟，我們有：格中最后的結(jié)果為：我們可以看到，我們正在處理一個金字塔結(jié)構(gòu)的遞歸排序工作，我們經(jīng)歷了一個比較小的可以接受的內(nèi)存浪費。圖7.12單時段三叉樹7.4 三叉樹方法定價在二叉樹上衍生三叉樹想法是十分自然的。每個節(jié)點有3個下節(jié)點，即價格向上，向下和保持不變（這只是一種可能的選擇）。晶格的校準(zhǔn)以這樣一種方式以便重組和匹配基本連續(xù)隨機變量的前兩個時刻。增加的新自由度，可用于改善銜接或提出額外條件。這種方法的最大作用是對障礙期權(quán)，我們可以在晶格中求障礙值。這里非常方便的處理隨機微分過程。經(jīng)過一個小的時間步，我們有3個方向移動，相對應(yīng)的價格對數(shù)增量形式為,0, 三種，與之

40、相應(yīng)的價格本身的乘法。這三種等價的方向?qū)?yīng)的風(fēng)險中性概率為,和。樹圖的結(jié)構(gòu)見圖7.12。這里給出一般方程： ，這里，我們寫出這時刻相對應(yīng)的方程為：求解得：圖7.12 單步三叉樹圖7.13 三叉樹方法的全例 我們看到更多的自由度來決定。事實上，這證明了我們可以獨立的選擇和。通常我們?nèi)?。這種關(guān)系在我們處理有限差分的時候非常好用。我們也應(yīng)該注意到，一個隨意的取值會導(dǎo)致負(fù)的概率。作為一個例子，我們考慮給一個標(biāo)的資產(chǎn)為無紅利支付股票的偶是看漲期權(quán)定價：，,以及。如果我們建一個的三叉樹格，我們得到圖7.13，這里：， ， 實現(xiàn)這一三叉樹算法的MATLAB代碼見圖7.14.像往常一樣，概率的百分比不計入主循

41、環(huán)。這里我們有個觀察數(shù)據(jù)是必需的，不像二叉樹，我們必須儲存?zhèn)z個連續(xù)的時間層，因為在奇數(shù)列和偶數(shù)列之間沒有互換。從此，我們使用的是兩列數(shù)組有2n + 1行，其中的列的作用可能在現(xiàn)在或?qū)?。我們利用增量?交換的作用兩個層次：是由變量索引了解和kthen，對值1和2交替。下面是改進(jìn)后格計算： S O =100 ; K=100; r=0.06; T = l ; sigma=0.3; deltaX = 0.2; EuCallTrinomial(SO,K,r,T,sigma,N,deltaX) ans = N=3; 14.6494function price = EuCallTrinomial(SO,K

42、,r,T,sigma,N,deltaX) % Precompute invariant quantities deltaT = T/N; nu = r - 0.5*sigma-2; discount = exp(-r*deltaT) ; p-u = discount*0.5*(sigma2*deltaT+nu2*deltaT-2)/deltaX2 + . nu*deltaT/deltaX) ; p-rn = discount*(l - (sigma2*deltaT+nu2*deltaT-2)/deltaX-2); p-d = discount*0.5*(sigma2*deltaT+nu2*de

43、ltaT2)/deltaX2 - . . . % set up S values (at maturity) Svals = zeros(2*N+l, 1) ; Svals(1) = SO*exp(-N*deltaX); exp-dX = exp(de1taX); for j=2: 2*N+1 Svals(j) = exp-dX*Svals(j-1) ; end % set up lattice and terminal values Cvals = zeros(2*N+1,2); t = mod(N,2)+1; for j=1:2*N+1 end for t=N-1 : -1 : 0 ; n

44、u*delt aT/delt ax) ; Cvals(j ,t) = rnax(Svals(j)-K,O); know = mod(t.2)+1; knext = mod(t+l,2)+1; for j = N-t+l:N+t+l Cvals(j ,know) = p-d*Cvals(j-l,knext)+p-m*Cvals(j,knext)+. . . p-u*Cvals(j+l,knext); end end price = Cvals(N+1,1);圖7.14 利用三叉樹為歐式看漲期權(quán)定價的MATLAB代碼我們注意到對的選擇是為了方便應(yīng)用。如下看到的經(jīng)驗法則有一定的道理： blspr ice (SO, K , r , T, sigma) ans = 14.7171 N=100; deltaX = 0.2; EuCallTrinomial(SO,K,r,T,sigma,N,delta)() ans = 14.071