海倫公式的推導(dǎo)和應(yīng)用

1、精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類.工作計(jì)劃類文檔,歡迎閱讀下戲海倫公式的推導(dǎo)和應(yīng)用海倫公式海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫一秦九韶公式， 傳說(shuō)是古代的敘拉古國(guó)王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式， 利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求取三角形面積。 但根據(jù)MorrisKline在1908年出版的著作考證，這條公式其實(shí)是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表。 我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”， 它與海倫公式基本一樣。 假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a、b、c,三角形的 面 積S可 以 下 公 式 求 得 ：S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)而公式里的p為半周長(zhǎng)：p=(a+b+c)/2注1：度量

2、論)手抄本中用s作為半周長(zhǎng)，所以S=/p(p-a)(p-b)(p-c)和精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載=精選公文范文管理類，工作總結(jié)類.工作計(jì)劃類文檔,歡迎閱讀下栽=2S=Js(s.a)(s-b)(s c)兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長(zhǎng)。于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形， 所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。 比如說(shuō)測(cè)量土地的面積的時(shí)候， 不用測(cè)三角形的高， 只需測(cè)兩點(diǎn)間的距離， 就可以方便地導(dǎo)出答案。 證明： 與海倫在他的著作度量論)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來(lái)證明。 設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C,

3、則余弦定理為cosC=(a+b-c)/2abS=l/2*ab*sinC=l/2*ab*/(l cosC)=l/2*ab*/l (a+b-c)/4a*b=l/4*/4a*b-(a+b-c)=l/4*(2ab+aD+bD-c)(2ab-a-b+c)=l/4*/(a+b)Acc-(a-b)=l/4*J(a+b+c)(a+b c)(a-b+c)(.a+b+c)精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔,感謝閱讀下載精選公文范文,管理類，工作總結(jié)類.工作計(jì)劃類文檔.歡迎閱讀下栽3設(shè)p=(a+b+c)/2貝ijp=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=

4、(a+b-c)/2,上式=J(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=P(P-a)(p-b)(p-c)所 以 ， 三 角 形ABC面 積S=/p(p-a)(p-b)(p-c)證明：我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”。 它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在九章算術(shù)中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)， 于土地的面積并不是的三角形， 要找出它來(lái)并非易事。 所以他們想到了三角形的三條邊。 如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。 但是怎樣根據(jù)三邊的長(zhǎng)度來(lái)求三角形的面積？直到南宋， 我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家九韶提出了“三斜求積術(shù)”。秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為

5、小斜、中斜和大斜。術(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方,取相減后余數(shù)的一半， 自乘而得一個(gè)數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔,感謝閱讀下載的那個(gè)。 相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類.工作計(jì)劃類文檔,歡迎閱讀下戲“實(shí)， 作1作為隅， 開(kāi)平方后即得面積。所謂“實(shí)、 “隅”指的是， 在方程px2=qk,p為隅”，q為“實(shí)以、a,b,c表示三角形面 積 、 大 斜 、 中 斜 、 小 斜 ， 所 以q=l/4c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2當(dāng)P=1時(shí) ，2=q,SA=A/(1/4C2a2-(

6、c2+a2-b2/2)2因 式分解得l/16(c+a)2-b2b2-(c-a)2=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=l/8S(c+a+b 2b)(b+c+a-2a)(b+a+c 2c)=p(p-a)(p-b)(p-c根號(hào)下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)代入解得s=83海倫公式的幾種另證及其推廣關(guān)于三角形的面積計(jì)算公式在解題中主要應(yīng)用的有：設(shè)AABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，ha為a邊上的高，R、i分別為AABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p=(a+b+c),貝USAABC=1/2aha=1/2abxsinC=1/2rp=精選公文范文，管理類，工

7、作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔,歡迎閱讀下栽52R2sinAsinBsinC=寸P(P-a)(p-b)(p-c)其中，SABC=lp(p-a)(p-b)(p-c)就是著名的海倫公式， 在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作 測(cè)地術(shù) 中有記載。海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。一、海倫公式的證明證一勾股定理如右圖勾股定理證明海倫公式。 證二： 斯氏定理如右圖。斯氏定理證明海倫公式證三：余弦定理分析：變形S=可知，運(yùn)用余弦定理c2=a2+b22abcosC對(duì)其進(jìn)行證明。證明：要證明S=則要證S=abxsinC此時(shí)S=abxsinC為三角形計(jì)算公式，故得證。證

8、四：恒等式恒等式證明恒等式證明(2)證五：半角定理.,證一，x=c=pcy=a=paz=b=pb二r3=/.r=ASAABC=r-p=故得證。二、海倫公式的推廣于精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔,感謝閱讀下載精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類.工作計(jì)劃類文檔,歡迎閱讀下栽6在實(shí)際應(yīng)用中，往往需計(jì)算四邊形的面積，所以需要對(duì)海倫公式進(jìn)行推廣。 于三角形內(nèi)接于圓， 所以猜想海倫公式的推廣為： 在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中， 設(shè)？=， 則S四邊形=據(jù)猜想進(jìn)行證明。延長(zhǎng)DA,CB交于點(diǎn)E。=f=180oAECDf=SAEAB形，得：所以，海倫公式的推廣得證。三、海倫公式的推廣的應(yīng)用海倫

9、公式的推廣在實(shí)際解題中有著廣泛的應(yīng)用， 特別是在有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的各種綜合題中， 直接運(yùn)用海倫公式的推廣往往事倍功半。例題：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè)BC=精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類.工作計(jì)劃類文檔,歡迎閱讀下栽7精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載海倫公式的推廣，得：(4-x)(2+x)2=27x412x216x+27=0 x2(x2一1)llx(x1)27(x1)=0(xI)(x3+x2llx27)=0 x=1或x3+x2llx27=0當(dāng)x=l時(shí),AD=BC=1.四邊形可能為

10、等腰梯形。 在程序中實(shí)現(xiàn)(VBS):dima,b,c,p,q,sa=inputbox( 請(qǐng) 輸 入 三 角 形 第 一 邊 的 長(zhǎng) 度b=inputbox(請(qǐng)輸入三角形第二邊的長(zhǎng)度c=inputbox(請(qǐng)輸入三角形第三邊的長(zhǎng)度a=l*ab=l*bc=l*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=(l/4)*qmsgbox(三鬲形商禎為,三角形面積在VC市實(shí)現(xiàn)#include#includemain()inta,b,c,s;printf(輸入第現(xiàn)根證明：如圖，設(shè)EA=eEBVZ1+Z2=180。Z2+Z3Z1=23.EAB.=解得：e=于S四邊形ABCD=將，跟b=代入公式變AS四邊形ABCD=精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類.工作計(jì)劃類文檔,歡迎閱讀下栽精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔,感謝閱讀下載-8一 邊nscanf(printf(輸 入 第 二 邊nscanf(printf(輸入第三