(完整版)初中數(shù)學(xué)相關(guān)定理及證明

1、1高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理、公式及結(jié)論證明一、三角函數(shù)部分1.正弦定理證明內(nèi)容：在ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，則b!_sinAsinBsinC證明：1.利用三角形的高證明正弦定理(1)當(dāng)ABC銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CDbsinACDasinB。由此，得ab同理可得b,sinAsinBsinCsinB故有MsinAsinBsinC.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.(2)當(dāng)ABC鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高,交AB的延長(zhǎng)線丁點(diǎn)D,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，由此，得b_同理可得_cb_sinAsinABC,sinCsinABCZBAB=90,ZC=

2、ZB,2有CDasinCBDasinABC,CDbsinA。3.sinC=sinB=sinCsinB故有asinAsinBcsinC2.余弦定理證明a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC證明：如圖在ABC中，-22a2aBC(ACAB)(ACAB)|AC|2AC?ABAB2.*2AC2AC?ABcosAAB.22.bc2bccosAa2b2c22bccosA所以b2a2c22accosBc2a2b22abcosC3.兩角和（差）的余弦公式證明如圖在單位圓中設(shè)P(cos,sin),Q(cos,sin則：OP?OQOP?OQcos()cos()csinC2R

3、-同理，可得2RbsinAsinB3.向量法證明正弦定理2R-asinAbsinBcsinC2R.uuuuOCuiurACcos(A90o)bsinAuuuuOCuurBCsinBasinBasinBbsinAabcbsinAsinB同理sinCsinB內(nèi)容：在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,2R同理可證:2,22abc2bccosA22,2八，cab2abcosCyQ(cosp.sinpQ(cosp.sinp) )4OP?OQcoscossinsincos(:)coscossinsin在單位圓中設(shè)P(cos,sin)，Q(cos，-sin)則：OP?OQpP?OQcos()co

4、s()OP?OQcoscossin sincos(:)coscossinsin(或)cos()cos()4.兩角和（差）的正弦公式證明二、兩角和（差）的正弦公式證明內(nèi)容：sin（)sincoscossin,sin()sincoscossin證明：sin()cos-()海質(zhì))cos()cossin()sinsincoscossinsin()cos-()cos(-)海偵)cossin)sinsincoscossin5.兩角和（差）的正切公式證明tantan,內(nèi)谷：tan(),tan(1tantan證明:sincoscossin,、sin()sincoscossincoscoscoscostanta

5、ntan()cos()coscossinsincoscossinsin1tantancoscoscoscostantan1tantantan(sincoscossin)sin()sincoscossincoscoscoscostantancos()coscossinsincoscossinsin1tantancoscoscoscoscos12sin2用代替2,得2,得sin一C22cos2cos1231:sin()-sincos()costan()tan如圖：設(shè)的終邊與單位圓(半徑為單位長(zhǎng)度1的園)交丁點(diǎn)P(x,y),則角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P(x,-y).由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即

6、可得sin=y,cos=x,sin(-)=-y,cos(-)=x,所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosa由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的-誘導(dǎo)公式。公式：tan()tan它刻畫了角180o+與角的正弦值(或余弦值)之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是：以角終邊的反向延長(zhǎng)線為終邊的角的正弦值(或余弦值)與角的正弦值(或圓交丁點(diǎn)P(x,y),則角終邊的反向延長(zhǎng)線，即6.半角公式證明內(nèi)容：sin-21cos,cos21cost1cos2,成2,1cos2sin1cos1cos2sin證明：由二倍角公式cos2cos212sin22 cos21sin(-sincos()-cossintan2co

7、s27.誘導(dǎo)公式sin?2cos22cos?2cos222sin1costansincossin?2sincos?2sin1cos2sincos,cos22y(4-5-2)(4-5-1)6d)(a2d).(a(n1)d)d)(an2d).(an(n1)d)nana1nn個(gè)證明：由題意,Sna1(a1+得：2Sna1反過來可寫為：Sna”(a”7所以，Sn180o+角的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P(-x,-y)(如圖4-5-1).由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y,cos=x,sin(180o+)=-y,cos(180o+)=-x,所以:sin(180o+)=-sin,cos(180o+)

8、=-cos由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的誘導(dǎo)公式。相應(yīng)誘導(dǎo)公式公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等sin(2k兀+初=sina1kzcos公式二：sin (兀+小= =sina公式三：sin (a)=sinakztan(2k兀+8=tanakztan(R+a=tana利用公式二和公式二可以得到Tt-a與a的二角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin(TTa)=sinacos(Tta)=cosatanTta)=tana公式五:利用公式一和公式二可以得到2兀-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin(2TtoO=sinacos(2ta)=cosatan(2兀一a)=tana公式六：兀/2

9、土質(zhì)a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin(TT/2+X=cosacos(兀/2+X=sinatan(TT/2+=cotsin(兀/a)=cosacos(兀/a)=sinatan(兀 12a)=cota.數(shù)列部分1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明內(nèi)容：an是等差數(shù)歹0,公差為d,首項(xiàng)為a,Sn為其n前項(xiàng)和，則Snn(n1)d2n(aan)2把a(bǔ)na(n1)d代入中,得Snann(nn(a2an)公式cos(兀+d=cosa(2k兀+初=cosa82.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明9當(dāng)q1時(shí)。很明顯Snnana，(q1)所以，Sn=aanqa(1qn)(1q1q，q三.立體幾何部分1.三垂線定理及其逆定理內(nèi)容：在

10、平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。證明：已知：如圖(9),直線l與平面相交與點(diǎn)A,l在上的射影OA垂直丁a,a求證：la證明：過P作PO垂直丁.PCLaPda乂aOA,P6OA=Oa上平面POAal2.求證：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該直線平行.內(nèi)容:annai,(q1)是等比數(shù)列，公比為q，首項(xiàng)為ai,Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn=a1anqa1(1qn)iq.，(q1)1q證明:Snaqaq2%qn1qSnaq2aq3aqaqn一得:(1q)Snnaaq,當(dāng)q1時(shí)，Snnaaq1qM1qn

11、)1q把a(bǔ)naqn1代入中，得Snaanq1q10如圖所示：已知aP,a在平面，=b,求證：aPb.證明QaP,a和沒有公共點(diǎn)，又Qb在內(nèi),a和b也沒有公共點(diǎn),而a和b都在內(nèi)，a和b也沒有公共點(diǎn),aPb.3.求證：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行如圖所示：已知P,a,b.求證：aPb.證明：Qa和b分別在平面、內(nèi)且P,a和b不相交，_、，又Qa和b都在平面內(nèi)，aPb.、/TV4.求證：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它分如線的疝線垂少/另一個(gè)平面如圖所示：已知，=MN,AEft內(nèi)，ABMN于B點(diǎn)。求證：AB.證明：在平面內(nèi)做直線BCMN,貝UABC是二面角-

12、MN-的平面角，Q,ABC=90,ABBC又ABMN,AB5.求證：如果兩條直線同垂直丁一個(gè)平面，那么這兩條直線平行如圖所示：已知a,b，垂足分別為A、B.求證：aPb.證明：假設(shè)a和b不平行，過B點(diǎn)作a的平行線b由異面直線垂直定義，b與平面內(nèi)過點(diǎn)A的任意直線都垂直，也即有b,blbB,故直線b與b與確定一個(gè)平面，記I=l,在平面內(nèi)，過B點(diǎn)有且僅有一條11直線垂直于I,故直線b與b重合，所以ab.12四、解析幾何部分1.點(diǎn)到直線距離公式證明內(nèi)容：已知直線l:AxByC0,直線外一點(diǎn)M(xo,y。).則其到直線l的距離為AxoByoCA2B2向量法證明1:0,直線外一點(diǎn)M(xo，yo).直線上一

13、點(diǎn)P(x,y).可得直線的一個(gè)方向向量為v(B,A)，設(shè)其法向量為n(s,t)則V?nBsAto,可得直線一法向量為n(A,B),nABn的單位向重為nt(，22,2)nVA2B2A2B2由題意，點(diǎn)M到直線的距離為PM在n；上的射影,因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在直線上，所以C(AxBy)證明2:設(shè)直線l:AxByCo(Ao,Bo)的一個(gè)法向量；(1鳥，ArLuw山xE()i|nPQ|x1x。A(yo)l|AWxo)B(、y)|,Q直線上任意一點(diǎn)，d|n|廣薩國(guó)史1A2QP 點(diǎn)在直線 l 上，AxiB.Co,從而 d 施暨慫：取A2B2.A2B2證明3:根據(jù)定義，點(diǎn)P到直線l的距離是點(diǎn)P到直線l的垂線段

14、的長(zhǎng)，如圖1,的方程：yyo普xxo)與聯(lián)立方程組設(shè)直線l:AxByC所以，dPM?noA(xx)B(yoy).A2B2AxoByo(AxBy)g.A2B2所以，把代入中，得dAxoByoC.A2B2設(shè)點(diǎn)P到直線l的垂線為l，垂足為Q,由l可知l的斜率為-A13解得交點(diǎn)Q(B2Xo2ABy2知心2ABZBC)A2B2A2B214五、平面向量部分1.平行向量定理內(nèi)容：若兩個(gè)向量(與坐標(biāo)軸不平行)平行,則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行。證明：設(shè)a,b是非零向量，且a(x1,y1),b若a/b，則存在實(shí)數(shù)使ab，且由平面向量基本定理可知x1iy1j(x2iy2j)若

15、yi。,y2。(即向量a,b不與坐標(biāo)軸平行)貝U也臭yiy22.平面向量基本定理內(nèi)容：如果,&是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)丁這一平面內(nèi)的任意一向量a,存在唯對(duì)頭數(shù)i,2,使得aie2僉.證明：如圖過平面內(nèi)一點(diǎn)O,作OAei,OBe2,OCOCOMONOCiOA2OB即a餌2巳.3.共線向量定理內(nèi)容：如圖A,B,C為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且A,B不重合，點(diǎn)P為平.2、2Ay。ABx。BC、2ACXo）（一守甘一y。）-22|PQ|2（BxoABy。AC（土0）（A2D2ABAB2_2_2_2A2（AxoBy。C）2B2（Ax。By。C）2PQ|AxoByoC|A2B22_22（AB）2_22（AB）2（Ax。 By。 C） A2B2My?）x?iy?j.Xix2，yiy2Dy2x2得：xiy2x2yi。a,過點(diǎn)C分別作直線OA和直線OB的平行線，交OA于點(diǎn)M交OB丁點(diǎn)N,有且只有一組實(shí)數(shù)，使得OMiOA,ON2OB15點(diǎn)，若C在直線AB上，則有PCPA(i)PB證明：由題意，BC與BA共線，BCBABCPCPB,BAPAPBPCPB(PAPB)化簡(jiǎn)為：PCPA(1)PB六、柯西不等式若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，貝U(a2b2)(c2d2)(acbd)2或|acbd|Ja2b2c2d2/A/y/k:t2.2、/2.2、222.2.22.2.2證法：(綜合法)(ab)(c